(1)Prova intermedia di Analisi Matematica 1 13 novembre 2009 COMPITO 1 1

Prova intermedia di Analisi Matematica 1 13 novembre 2009 COMPITO 1

1. Sia f :]0, +∞[→ R data da

f (x) = 1

√x²+ x + 4 − x − 2. Delle seguenti affermazioni

(a) lim_x→0+f (x) = −∞ (b) lim_x→0+f (x) = +∞ (c) lim_x→+∞f (x) = −²₃ (d) limx→+∞f (x) = −¹₂

le uniche corrette sono

Risp.: A : (a), (c) B : (a), (d) C : (b), (c) D : (b), (d)

2. Il limite

n→+∞lim

n

rn³+ 1 n²− 1

 1 + 1

2n

3n

vale

Risp.: A : e B : +∞ C : e³² D : e³

3. Si consideri l’insieme A =n_|n−2|

2n+1 : n ∈ No

. Allora

Risp.: A : inf A = ¹₂ e max A = 2 B : min A = ¹₂ e max A = 2 C : min A = 0 e sup A = ¹₂ D : min A = 0 e max A = 2

4. Dato il numero complesso z =

^√

3 2 +¹₂i

30 1−i

3

16

, l’insieme delle sue radici quarte `e dato da Risp.: A :

n

e^iπ4, e^i3π4 , e^i5π4 , e^i7π4 o

B :

^√

2 3

4

,

^√

2 3

4

e^iπ2,

^√

2 3

4

e^iπ,

^√

2 3

4

e^i3π2



C : n

1, e^iπ2, e^iπ, e^i3π2 o

D :

^√

2 3

4

e^iπ4,

^√

2 3

4

e^i3π4 ,

^√

2 3

4

e^i5π4 ,

^√

2 3

4

e^i7π4



5. Sia α ∈ R e sia f :]1 − ^π₂, +∞[→ R la funzione definita da

f (x) =



















1 + sin²

 x x − 1



log x se x > 1

α − 1 se x = 1

(e^x−1− 1) tan²(x − 1)

1 − cos(x − 1) se x < 1.

Allora

Risp.: A : f `e continua in x = 1 se e solo se α = 1 B : f ammette una discontinuit`a di salto in x = 1 per ogni α C : f ammette una discontinuit`a di salto in x = 1 se e solo se α 6= 1 e α 6= 2 D : lim_x→1+f (x) non esiste