Risoluzione 1. Il sostegno della nostra curva `e dato dall’intersezione

(1)

Risoluzione 1. Il sostegno della nostra curva `e dato dall’intersezione

8 >

<

> :

x ² + y ² + z ² = 2y y = z + 1

x 0

, 8 >

<

> :

x ² + (z + 1) ² + z ² = 2(z + 1) y = z + 1

x 0

, 8 >

<

> :

x ² + 2z ² = 1 y = z + 1

x 0

Possiamo usare le coordinare polari ellittiche per parametrizzare l’ellisse x ² + 2z ² = 1, ponendo x = cos t, z = ^p ¹ ₂ sin t, con t 2 [ ^⇡ ₂ , ^⇡ ₂ ] dato che per tali valori risulta x 0.

Otteniamo quindi una parametrizzazione della curva ponendo '(t) = (cos t, 1 + ^p ¹ ₂ sin t, ^p ¹ ₂ sin t) t 2 [ ^⇡ ₂ , ^⇡ ₂ ].

Con tale parametrizzazione abbiamo che il punto P (1, 1, 0) corrisponde a '(0) dove, essendo ' ⁰ (t) = ( sin t, ^p ¹ ₂ cos t, ^p ¹ ₂ cos t), risulta T = ' ⁰ (0) = (0, ^p ¹ ₂ , ^p ¹ ₂ ). Dunque il vettore tangente verifica T · j = ^p ¹ ₂ > 0 e l’orientamento della curva determinato dalla parametrizzazione scelta `e quello richiesto.

2. Il sostegno della curva `e dato dall’intersezione 8 >

<

> :

4x ² + y ² = 2y z = x + 1

y 1

, 8 >

<

> :

x

²

1 4

+ (y 1) ² = 1 z = x + 1

y 1

Possiamo usare le coordinare polari ellittiche per parametrizzare l’ellisse ^x

1² 4

+ (y 1) ² = 1, ponendo x = ¹ ₂ cos t, y = 1 + sin t, con t 2 [0, ⇡] poich`e per tali valori risulta y 1.

Otteniamo quindi una parametrizzazione della curva ponendo '(t) = ( ¹ ₂ cos t, 1 + sin t, 1 + ¹ ₂ cos t) t 2 [0, ⇡].

Risulta allora che P = (0, 2, 1) = '( ^⇡ ₂ ) e poichè ' ⁰ (t) = ( ¹ ₂ sin t, cos t, ¹ ₂ sin t), otte- niamo T = ' ⁰ ( ^⇡ ₂ ) = ( ¹ ₂ , 0, ¹ ₂ ). Dunque il vettore tangente verifica T · k = ¹ ₂ < 0 e l’orientamento della curva determinato dalla parametrizzazione scelta è opposto a quello richiesto. Sarà quindi sufficiente considerare la curva opposta

(t) = ( ')(t) = '( t) = ( ¹ ₂ cos t, 1 sin t, 1 + ¹ ₂ cos t) t 2 [ ⇡, 0]

per ottenere la parametrizzazione richiesta.

3. La curva '(t) = (t ² , t ³ , t ² ) `e di classe C ¹ in [0, 1] ed essendo ' ⁰ (t) = (2t, 3t ² , 2t) = (0, 0, 0)

solo per t = 0, la curva risulta regolare a tratti in [0, 1]. La curva `e semplice poich`e se

t ₁ 6= t 2 allora t ³ ₁ 6= t ³ 2 e quindi '(t ₁ ) 6= '(t 2 ). La curva non `e chiusa essendo '(0) =

(2)

Essendo di classe C ¹ , la lunghezza della curva `e data da L(') =

Z 1

0 k' ⁰ (t) kdt = Z 1

0 p 8t ² + 9t ⁴ dt = Z 1

0 t p

8 + 9t ² dt

= ₁₈ ¹ h

2 3 (8 + 9t ² )

³²

i 1

0 = ₂₇ ¹ (17 p

17 8 p 8)

4. La curva, il cui sostegno `e rappresentato in figura, possiamo vederla come unione delle curve 1 , avente per sostegno l’arco di circonferenza {(x, y) 2 R ² | x ² + y ² = 2, x 2 [0, 1]},

2 con sostegno il segmento {(x, y) 2 R ² | x = 0, y 2 [0, p

2] }, e 3 con sostegno l’arco di parabola {(x, y) 2 R ² | y = x ² , x 2 [0, 1]}.

Dalla propriet`a di additivit`a abbiamo allora che

L( ) = L( ¹ ) + L( ² ) + L( ³ ).

Dalla geometria elementare abbiamo che L( 1 ) = ^⇡ ₄ · p

2 (dato che l’arco `e sotteso da un angolo di ampiezza ^⇡ ₄ su una circonferenza di raggio p

2) e L( 2 ) = p

2. Per calcolare invece la lunghezza della curva 3 , osserviamo che la curva ha equazione cartesiana y = f (x) = x ² , x 2 [0, 1] e che quindi la sua lunghezza sar`a data da

L( ³ ) = Z 1

0 p 1 + f ⁰ (x) ² dx = Z 1

0 p 1 + 4x ² dx

= ¹ ₄ [2x p

1 + 4x ² + log(2x + p

1 + 4x ² )] ¹ ₀ = ¹ ₄ (2 p

5 + log(2 + p 5)) dove, per calcolare l’integrale si `e usato l’integrale notevole, R p

1 + t ² dt = ¹ ₂ (t p

1 + t ² + log(t + p

1 + t ² )) + c.

(3)

5. La curva '(t) = (sin t, cos t, t ² ) `e di classe C ² in [ ⇡, ⇡] con

' ⁰ (t) = (cos t, sin t, 2t) e ' ⁰⁰ (t) = ( sin t, cos t, 2) Dunque, essendo k' ⁰ (t) k = p

1 + 4t ² > 0 e k' ⁰⁰ (t) k = p

5 > 0 per ogni t 2 ( ⇡, ⇡), si ha che la curva risulta regolare e biregolare.

La curva risulta chiusa essendo '(⇡) = (0, 1, ⇡ ² ) = '( ⇡). La curva risulta inoltre semplice poich`e se t 1 , t 2 2 ( ⇡, ⇡] sono tali che t 1 6= t 2 allora '(t 1 ) 6= '(t 2 ), poich`e se sin t ₁ = sin t ₂ allora t ₁ t ₂ 0 e t ² ₁ 6= t ² 2 .

In '(0) = (0, 1, 0) abbiamo

' ⁰ (0) = (1, 0, 0) e ' ⁰⁰ (0) = (0, 1, 2) quindi il versore tangente `e dato da

T(0) = ' ⁰ (0)

k' ⁰ (0) k = (1, 0, 0), il versore binormale `e

B(0) = ' ⁰ (0) ^ ' ⁰⁰ (0)

k' ⁰ (0) ^ ' ⁰⁰ (0) k = (0, ^p ² ₅ , ^p ¹ ₅ ) e il versore normale `e

N(0) = B(0) ^ T(0) = (0, ^p ¹ ₅ , ^p ² ₅ )

Il piano osculatore per '(0) `e il piano ortogonale al versore binormale B(0) passante per '(0) = (0, 1, 0), quindi di equazione

B(0) · (x, y 1, z) = 0 , 2(y 1) + z = 0 , 2y + z = 2 6. Il sostegno della curva `e dato dall’intersezione

( z = x ² + y ²

z = 2x ,

( x ² + y ² = 2x

z = 2x ,

( (x 1) ² + y ² = 1 z = 2x

Possiamo usare le coordinare polari per parametrizzare la circonferenza (x 1) ² + y ² = 1, ponendo x = 1 + cos t, y = sin t, con t 2 [0, 2⇡]. Otteniamo quindi una parametrizzazione della curva ponendo

'(t) = (1 + cos t, sin t, 2 + 2 cos t), t 2 [0, 2⇡].

Risulta allora

' ⁰ (t) = ( sin t, cos t, 2 sin t) e ' ⁰⁰ (t) = ( cos t, sin t, 2 cos t).

(4)

(nota, la curva non `e parametrizzata mediante ascissa curvilinea essendo k' ⁰ (t) k = p sin ² t + cos ² t + 4 sin ² t = p

1 + 4 sin ² t 6⌘ 1). Il punto P = (1, 1, 2) corrisponde a '( ^⇡ ₂ ), abbiamo quindi

' ⁰ ( ^⇡ ₂ ) = ( 1, 0, 2), ' ⁰⁰ ( ^⇡ ₂ ) = (0, 1, 0) e ' ⁰ ( ^⇡ ₂ ) ^ ' ⁰⁰ ( ^⇡ ₂ ) = ( 2, 0, 1) e dunque il versore tangente in P `e dato da

T( ^⇡ ₂ ) = ' ⁰ ( ^⇡ ₂ )

k' ⁰ ( ^⇡ ₂ ) k = ( ^p ¹ ₅ , 0, ^p ² ₅ ), il versore binormale `e

B( ^⇡ ₂ ) = ' ⁰ ( ^⇡ ₂ ) ^ ' ⁰⁰ ( ^⇡ ₂ )

k' ⁰ ( ^⇡ ₂ ) ^ ' ⁰⁰ ( ^⇡ ₂ ) k = ( ^p ² ₅ , 0, ^p ¹ ₅ ) e il versore normale `e

N( ^⇡ ₂ ) = B( ^⇡ ₂ ) ^ T( ^⇡ ₂ ) = (0, 1, 0) Infine, la curvatura `e data da

k( ^⇡ ₂ ) = k' ⁰ ( ^⇡ ₂ ) ^ ' ⁰⁰ ( ^⇡ ₂ ) k k' ⁰ ( ^⇡ ₂ ) k ³ = ¹ ₅ mentre la torsione `e nulla essendo la curva piana.

7. La curva '(t) = (cos ³ t, sin ³ t), t 2 [0, 2⇡], `e di classe C ² in [0, 2⇡] con ' ⁰ (t) = ( 3 sin t cos ² t, 3 cos t sin ² t)

e

' ⁰⁰ (t) = ( 3 cos ³ t + 6 sin ² t cos t, 3 sin ³ t + 6 cos ² t sin t) Risulta allora

'( ^⇡ ₄ ) = ( ₂ ^p ¹ ₂ , ₂ ^p ¹ ₂ ), ' ⁰ ( ^⇡ ₄ ) = ( ₂ ^p ³ ₂ , ₂ ^p ³ ₂ ) e ' ⁰⁰ ( ^⇡ ₄ ) = ( ₂ ^p ³ ₂ , ₂ ^p ³ ₂ ) da cui otteniamo che il versore tangente e normale orientato in '( ^⇡ ₄ ) sono

T( ^⇡ ₄ ) = '( ^⇡ ₄ )

k'( ^⇡ ₄ ) k = ( ^p ¹ ₂ , ^p ¹ ₂ ) e N( ˜ ^⇡ ₄ ) = ( ^p ¹ ₂ , ^p ¹ ₂ ) La curvatura orientata in '( ^⇡ ₄ ) `e

k( ˜ ^⇡ ₄ ) = N ( ˜ ^⇡ ₄ ) · ' ⁰⁰ ( ^⇡ ₄ )

k' ⁰ ( ^⇡ ₄ ) k ² = ⁴ ₉ ( ^p ¹ ₂ , ^p ¹ ₂ ) · ( ₂ ^p ³ ₂ , ₂ ^p ³ ₂ ) = ² ₃ < 0.

(5)

Ne segue che il versore normale N( ^⇡ ₄ ) coincide con N( ˜ ^⇡ ₄ ) = ( ^p ¹ ₂ , ^p ¹ ₂ ), la curvatura k( ^⇡ ₄ )

`e l’opposto della curvatura orientata k( ^⇡ ₄ ) = k( ˜ ^⇡ ₄ ) = ² ₃ . Il raggio di curvatura `e dunque r( ^⇡ ₄ ) = _k( ¹

⇡

4

) = ³ ₂ e il centro della circonferenza osculatrice `e dato da C( ^⇡ ₄ ) = '( ^⇡ ₄ ) + r( ^⇡ ₄ )N( ^⇡ ₄ )) = ( ¹

2 p 2 , ¹

2 p

2 ) + ³ ₂ ( ^p ¹

2 , ^p ¹

2 ) = ( ^p ²

2 , ^p ²

2 ) L’equazione della circonferenza osculatrice in '( ^⇡ ₄ ) sar`a quindi

(x ^p ² ₂ ) ² + (y ^p ² ₂ ) ² = ⁹ ₄ .

8. La curva risulta regolare essendo f (x) = x ² (1 x ² ) di classe C ¹ . Una rappresentazione parametrica della curva `e data da '(t) = (t, t ² (1 t ² )), t 2 [ 1, 1] e risulta O = (0, 0) = '(0). Si ha ' ⁰ (t) = (1, 2t 4t ³ ) e dunque che ' ⁰ (0) = (1, 0) ⌘ T(0), il versore tangente coincide con il vettore tangente. Il versore normale orientato `e quindi ˜ N(0) = (0, 1).

Risulta inoltre ' ⁰⁰ (t) = (0, 2 12t ² ), quindi ' ⁰⁰ (0) = (0, 2) e la curvatura orientata sar`a k(0) = ˜ N (0) ˜ · ' ⁰⁰ (0)

k' ⁰ (0) k ² = (0, 1) · (0, 2) = 2 > 0.

Ne segue che il versore normale N(0) coincide con ˜ N(0) = (0, 1), la curvatura k(0) coincide con la curvatura orientata ˜ k(0) = 2. Il raggio di curvatura è dunque r(0) = _k(0) ¹ = ¹ ₂ e il centro della circonferenza osculatrice è dato da C(0) = (0, ¹ ₂ ). L’equazione della circonferenza osculatrice in O sarà quindi

x ² + (y ¹ ₂ ) ² = ¹ ₄ .

(6)

9. La curva di equazione polare ⇢(✓) = sin(2✓), ✓ 2 [0, ^⇡ ₂ ], corrisponde alla curva parametrica '(✓) = (sin(2✓) cos ✓, sin(2✓) sin ✓) con ✓ 2 [0, ^⇡ ₂ ]. Abbiamo che la curva `e di classe C ² con

' ⁰ (✓) = (2 cos(2✓) cos ✓ sin(2✓) sin ✓, 2 cos(2✓) sin ✓ + sin(2✓) cos ✓) e

' ⁰⁰ (✓) = ( 5 sin(2✓) cos ✓ 4 cos(2✓) sin ✓, 5 sin(2✓) sin ✓ + 4 cos(2✓) cos ✓)

Nel punto ( ^p ₂ ² , ^p ₂ ² ) = '( ^⇡ ₄ ) abbiamo allora ' ⁰ ( ^⇡ ₄ ) = ( ^p ₂ ² , ^p ₂ ² ) e ' ⁰⁰ ( ^⇡ ₄ ) = ( ⁵ ^p ₂ ² , ⁵ ^p ₂ ² ) e quindi che il versore tangente e versore normale orientato sono

T( ^⇡ ₄ ) = ' ⁰ ( ^⇡ ₄ )

k' ⁰ ( ^⇡ ₄ ) k = ( ^p ₂ ² , ^p ₂ ² ) e N( ˜ ^⇡ ₄ ) = ( ^p ₂ ² , ^p ₂ ² ) e la curvatura orientata `e

˜ k( ^⇡ ₄ ) = N( ˜ ^⇡ ₄ ) · ' ⁰⁰ ( ^⇡ ₄ )

k' ⁰ ( ^⇡ ₄ ) k ² = ( ^p ₂ ² , ^p ₂ ² ) · ( ⁵ ^p ₂ ² , ⁵ ^p ₂ ² ) = 5 > 0.

Avremo allora che versore normale N( ^⇡ ₄ ) coincide con ˜ N( ^⇡ ₄ ) = ( ^p ₂ ² , ^p ₂ ² ) e la curvatura k( ^⇡ ₄ ) coincide con la curvatura orientata ˜ k( ^⇡ ₄ ) = 5. Il raggio di curvatura `e dunque r( ^⇡ ₄ ) = ¹

k( ⇡

4 ) = ¹ ₅ e il centro della circonferenza osculatrice `e dato da C( ^⇡ ₄ ) = ( ^p ₂ ² , ^p ₂ ² ) + ¹ ₅ ( ^p ₂ ² , ^p ₂ ² ) = ( ² ^p ₅ ² , ² ^p ₅ ² ).

L’equazione della circonferenza osculatrice in ( ^p ₂ ² , ^p ₂ ² ) sar`a quindi

Risoluzione 1. Il sostegno della nostra curva `e dato dall’intersezione

Risoluzione 1. Il sostegno della nostra curva `e dato dall’intersezione

8 >

<

> :

x 2 + y 2 + z 2 = 2y y = z + 1

x 0

, 8 >

<

> :

x 2 + (z + 1) 2 + z 2 = 2(z + 1) y = z + 1

x 0

, 8 >

<

> :

x 2 + 2z 2 = 1 y = z + 1

x 0

Possiamo usare le coordinare polari ellittiche per parametrizzare l’ellisse x 2 + 2z 2 = 1, ponendo x = cos t, z = p 1 2 sin t, con t 2 [ ⇡ 2 , ⇡ 2 ] dato che per tali valori risulta x 0.

Otteniamo quindi una parametrizzazione della curva ponendo '(t) = (cos t, 1 + p 1 2 sin t, p 1 2 sin t) t 2 [ ⇡ 2 , ⇡ 2 ].

2. Il sostegno della curva `e dato dall’intersezione 8 >

<

> :

4x 2 + y 2 = 2y z = x + 1

y 1

, 8 >

<

> :

x

+ (y 1) 2 = 1 z = x + 1

y 1

Possiamo usare le coordinare polari ellittiche per parametrizzare l’ellisse x

+ (y 1) 2 = 1, ponendo x = 1 2 cos t, y = 1 + sin t, con t 2 [0, ⇡] poich`e per tali valori risulta y 1.

Otteniamo quindi una parametrizzazione della curva ponendo '(t) = ( 1 2 cos t, 1 + sin t, 1 + 1 2 cos t) t 2 [0, ⇡].

(t) = ( ')(t) = '( t) = ( 1 2 cos t, 1 sin t, 1 + 1 2 cos t) t 2 [ ⇡, 0]

per ottenere la parametrizzazione richiesta.

3. La curva '(t) = (t 2 , t 3 , t 2 ) `e di classe C 1 in [0, 1] ed essendo ' 0 (t) = (2t, 3t 2 , 2t) = (0, 0, 0)

solo per t = 0, la curva risulta regolare a tratti in [0, 1]. La curva `e semplice poich`e se

t 1 6= t 2 allora t 3 1 6= t 3 2 e quindi '(t 1 ) 6= '(t 2 ). La curva non `e chiusa essendo '(0) =

Essendo di classe C 1 , la lunghezza della curva `e data da L(') =

Z 1

0 k' 0 (t) kdt = Z 1

0

p 8t 2 + 9t 4 dt = Z 1

0

t p

8 + 9t 2 dt

= 18 1 h

2

3 (8 + 9t 2 )

i 1

0 = 27 1 (17 p

17 8 p 8)

4. La curva, il cui sostegno `e rappresentato in figura, possiamo vederla come unione delle curve 1 , avente per sostegno l’arco di circonferenza {(x, y) 2 R 2 | x 2 + y 2 = 2, x 2 [0, 1]},

2 con sostegno il segmento {(x, y) 2 R 2 | x = 0, y 2 [0, p

2] }, e 3 con sostegno l’arco di parabola {(x, y) 2 R 2 | y = x 2 , x 2 [0, 1]}.

Dalla propriet`a di additivit`a abbiamo allora che

L( ) = L( 1 ) + L( 2 ) + L( 3 ).

Dalla geometria elementare abbiamo che L( 1 ) = ⇡ 4 · p

2 (dato che l’arco `e sotteso da un angolo di ampiezza ⇡ 4 su una circonferenza di raggio p

2) e L( 2 ) = p

2. Per calcolare invece la lunghezza della curva 3 , osserviamo che la curva ha equazione cartesiana y = f (x) = x 2 , x 2 [0, 1] e che quindi la sua lunghezza sar`a data da

L( 3 ) = Z 1

0

p 1 + f 0 (x) 2 dx = Z 1

0

p 1 + 4x 2 dx

= 1 4 [2x p

1 + 4x 2 + log(2x + p

1 + 4x 2 )] 1 0 = 1 4 (2 p

5 + log(2 + p 5)) dove, per calcolare l’integrale si `e usato l’integrale notevole, R p

1 + t 2 dt = 1 2 (t p

1 + t 2 + log(t + p

1 + t 2 )) + c.

5. La curva '(t) = (sin t, cos t, t 2 ) `e di classe C 2 in [ ⇡, ⇡] con

' 0 (t) = (cos t, sin t, 2t) e ' 00 (t) = ( sin t, cos t, 2) Dunque, essendo k' 0 (t) k = p

1 + 4t 2 > 0 e k' 00 (t) k = p

5 > 0 per ogni t 2 ( ⇡, ⇡), si ha che la curva risulta regolare e biregolare.

La curva risulta chiusa essendo '(⇡) = (0, 1, ⇡ 2 ) = '( ⇡). La curva risulta inoltre semplice poich`e se t 1 , t 2 2 ( ⇡, ⇡] sono tali che t 1 6= t 2 allora '(t 1 ) 6= '(t 2 ), poich`e se sin t 1 = sin t 2 allora t 1 t 2 0 e t 2 1 6= t 2 2 .

In '(0) = (0, 1, 0) abbiamo

' 0 (0) = (1, 0, 0) e ' 00 (0) = (0, 1, 2) quindi il versore tangente `e dato da

x ² + y ² + z ² = 2y y = z + 1

x ² + (z + 1) ² + z ² = 2(z + 1) y = z + 1

x ² + 2z ² = 1 y = z + 1

Possiamo usare le coordinare polari ellittiche per parametrizzare l’ellisse x ² + 2z ² = 1, ponendo x = cos t, z = ^p ¹ ₂ sin t, con t 2 [ ^⇡ ₂ , ^⇡ ₂ ] dato che per tali valori risulta x 0.

Otteniamo quindi una parametrizzazione della curva ponendo '(t) = (cos t, 1 + ^p ¹ ₂ sin t, ^p ¹ ₂ sin t) t 2 [ ^⇡ ₂ , ^⇡ ₂ ].

4x ² + y ² = 2y z = x + 1

+ (y 1) ² = 1 z = x + 1

Possiamo usare le coordinare polari ellittiche per parametrizzare l’ellisse ^x

+ (y 1) ² = 1, ponendo x = ¹ ₂ cos t, y = 1 + sin t, con t 2 [0, ⇡] poich`e per tali valori risulta y 1.

Otteniamo quindi una parametrizzazione della curva ponendo '(t) = ( ¹ ₂ cos t, 1 + sin t, 1 + ¹ ₂ cos t) t 2 [0, ⇡].

(t) = ( ')(t) = '( t) = ( ¹ ₂ cos t, 1 sin t, 1 + ¹ ₂ cos t) t 2 [ ⇡, 0]

3. La curva '(t) = (t ² , t ³ , t ² ) `e di classe C ¹ in [0, 1] ed essendo ' ⁰ (t) = (2t, 3t ² , 2t) = (0, 0, 0)

t ₁ 6= t 2 allora t ³ ₁ 6= t ³ 2 e quindi '(t ₁ ) 6= '(t 2 ). La curva non `e chiusa essendo '(0) =

Essendo di classe C ¹ , la lunghezza della curva `e data da L(') =

0 k' ⁰ (t) kdt = Z 1

p 8t ² + 9t ⁴ dt = Z 1

8 + 9t ² dt

= ₁₈ ¹ h

3 (8 + 9t ² )

0 = ₂₇ ¹ (17 p

4. La curva, il cui sostegno `e rappresentato in figura, possiamo vederla come unione delle curve 1 , avente per sostegno l’arco di circonferenza {(x, y) 2 R ² | x ² + y ² = 2, x 2 [0, 1]},

2 con sostegno il segmento {(x, y) 2 R ² | x = 0, y 2 [0, p

2] }, e 3 con sostegno l’arco di parabola {(x, y) 2 R ² | y = x ² , x 2 [0, 1]}.

L( ) = L( ¹ ) + L( ² ) + L( ³ ).

Dalla geometria elementare abbiamo che L( 1 ) = ^⇡ ₄ · p

2 (dato che l’arco `e sotteso da un angolo di ampiezza ^⇡ ₄ su una circonferenza di raggio p

2. Per calcolare invece la lunghezza della curva 3 , osserviamo che la curva ha equazione cartesiana y = f (x) = x ² , x 2 [0, 1] e che quindi la sua lunghezza sar`a data da

L( ³ ) = Z 1

p 1 + f ⁰ (x) ² dx = Z 1

p 1 + 4x ² dx

= ¹ ₄ [2x p

1 + 4x ² + log(2x + p

1 + 4x ² )] ¹ ₀ = ¹ ₄ (2 p

1 + t ² dt = ¹ ₂ (t p

1 + t ² + log(t + p

1 + t ² )) + c.

5. La curva '(t) = (sin t, cos t, t ² ) `e di classe C ² in [ ⇡, ⇡] con

' ⁰ (t) = (cos t, sin t, 2t) e ' ⁰⁰ (t) = ( sin t, cos t, 2) Dunque, essendo k' ⁰ (t) k = p

1 + 4t ² > 0 e k' ⁰⁰ (t) k = p

La curva risulta chiusa essendo '(⇡) = (0, 1, ⇡ ² ) = '( ⇡). La curva risulta inoltre semplice poich`e se t 1 , t 2 2 ( ⇡, ⇡] sono tali che t 1 6= t 2 allora '(t 1 ) 6= '(t 2 ), poich`e se sin t ₁ = sin t ₂ allora t ₁ t ₂ 0 e t ² ₁ 6= t ² 2 .

' ⁰ (0) = (1, 0, 0) e ' ⁰⁰ (0) = (0, 1, 2) quindi il versore tangente `e dato da

T(0) = ' ⁰ (0)

k' ⁰ (0) k = (1, 0, 0), il versore binormale `e

B(0) = ' ⁰ (0) ^ ' ⁰⁰ (0)

k' ⁰ (0) ^ ' ⁰⁰ (0) k = (0, ^p ² ₅ , ^p ¹ ₅ ) e il versore normale `e

N(0) = B(0) ^ T(0) = (0, ^p ¹ ₅ , ^p ² ₅ )

( z = x ² + y ²

( x ² + y ² = 2x

( (x 1) ² + y ² = 1 z = 2x

Possiamo usare le coordinare polari per parametrizzare la circonferenza (x 1) ² + y ² = 1, ponendo x = 1 + cos t, y = sin t, con t 2 [0, 2⇡]. Otteniamo quindi una parametrizzazione della curva ponendo

' ⁰ (t) = ( sin t, cos t, 2 sin t) e ' ⁰⁰ (t) = ( cos t, sin t, 2 cos t).

(nota, la curva non `e parametrizzata mediante ascissa curvilinea essendo k' ⁰ (t) k = p sin ² t + cos ² t + 4 sin ² t = p

1 + 4 sin ² t 6⌘ 1). Il punto P = (1, 1, 2) corrisponde a '( ^⇡ ₂ ), abbiamo quindi

' ⁰ ( ^⇡ ₂ ) = ( 1, 0, 2), ' ⁰⁰ ( ^⇡ ₂ ) = (0, 1, 0) e ' ⁰ ( ^⇡ ₂ ) ^ ' ⁰⁰ ( ^⇡ ₂ ) = ( 2, 0, 1) e dunque il versore tangente in P `e dato da

T( ^⇡ ₂ ) = ' ⁰ ( ^⇡ ₂ )

k' ⁰ ( ^⇡ ₂ ) k = ( ^p ¹ ₅ , 0, ^p ² ₅ ), il versore binormale `e

B( ^⇡ ₂ ) = ' ⁰ ( ^⇡ ₂ ) ^ ' ⁰⁰ ( ^⇡ ₂ )

k' ⁰ ( ^⇡ ₂ ) ^ ' ⁰⁰ ( ^⇡ ₂ ) k = ( ^p ² ₅ , 0, ^p ¹ ₅ ) e il versore normale `e

N( ^⇡ ₂ ) = B( ^⇡ ₂ ) ^ T( ^⇡ ₂ ) = (0, 1, 0) Infine, la curvatura `e data da

k( ^⇡ ₂ ) = k' ⁰ ( ^⇡ ₂ ) ^ ' ⁰⁰ ( ^⇡ ₂ ) k k' ⁰ ( ^⇡ ₂ ) k ³ = ¹ ₅ mentre la torsione `e nulla essendo la curva piana.

7. La curva '(t) = (cos ³ t, sin ³ t), t 2 [0, 2⇡], `e di classe C ² in [0, 2⇡] con ' ⁰ (t) = ( 3 sin t cos ² t, 3 cos t sin ² t)

' ⁰⁰ (t) = ( 3 cos ³ t + 6 sin ² t cos t, 3 sin ³ t + 6 cos ² t sin t) Risulta allora

'( ^⇡ ₄ ) = ( ₂ ^p ¹ ₂ , ₂ ^p ¹ ₂ ), ' ⁰ ( ^⇡ ₄ ) = ( ₂ ^p ³ ₂ , ₂ ^p ³ ₂ ) e ' ⁰⁰ ( ^⇡ ₄ ) = ( ₂ ^p ³ ₂ , ₂ ^p ³ ₂ ) da cui otteniamo che il versore tangente e normale orientato in '( ^⇡ ₄ ) sono

T( ^⇡ ₄ ) = '( ^⇡ ₄ )

k'( ^⇡ ₄ ) k = ( ^p ¹ ₂ , ^p ¹ ₂ ) e N( ˜ ^⇡ ₄ ) = ( ^p ¹ ₂ , ^p ¹ ₂ ) La curvatura orientata in '( ^⇡ ₄ ) `e

k( ˜ ^⇡ ₄ ) = N ( ˜ ^⇡ ₄ ) · ' ⁰⁰ ( ^⇡ ₄ )

k' ⁰ ( ^⇡ ₄ ) k ² = ⁴ ₉ ( ^p ¹ ₂ , ^p ¹ ₂ ) · ( ₂ ^p ³ ₂ , ₂ ^p ³ ₂ ) = ² ₃ < 0.

Ne segue che il versore normale N( ^⇡ ₄ ) coincide con N( ˜ ^⇡ ₄ ) = ( ^p ¹ ₂ , ^p ¹ ₂ ), la curvatura k( ^⇡ ₄ )

`e l’opposto della curvatura orientata k( ^⇡ ₄ ) = k( ˜ ^⇡ ₄ ) = ² ₃ . Il raggio di curvatura `e dunque r( ^⇡ ₄ ) = _k( ¹

) = ³ ₂ e il centro della circonferenza osculatrice `e dato da C( ^⇡ ₄ ) = '( ^⇡ ₄ ) + r( ^⇡ ₄ )N( ^⇡ ₄ )) = ( ¹

2 p 2 , ¹

2 ) + ³ ₂ ( ^p ¹

2 , ^p ¹

2 ) = ( ^p ²

2 , ^p ²

2 ) L’equazione della circonferenza osculatrice in '( ^⇡ ₄ ) sar`a quindi

(x ^p ² ₂ ) ² + (y ^p ² ₂ ) ² = ⁹ ₄ .

Risulta inoltre ' ⁰⁰ (t) = (0, 2 12t ² ), quindi ' ⁰⁰ (0) = (0, 2) e la curvatura orientata sar`a k(0) = ˜ N (0) ˜ · ' ⁰⁰ (0)

k' ⁰ (0) k ² = (0, 1) · (0, 2) = 2 > 0.

x ² + (y ¹ ₂ ) ² = ¹ ₄ .