Registro delle Lezioni di Analisi Matematica 2 (a.a. 2015/16) SETTIMANA 1:
- Richiami sullo spazio Rn come spazio metrico e vettoriale. Coordinate polari e polari ellittiche di un punto nel piano.
- Curve in Rn, sostegno di una curva. Interpretazione cinematica. Curve semplici e chiuse, orientamento di una curva. Equazioni cartesiane e polari di una curva piana.
Curve di classe C1 e C1 a tratti. Retta tangente e vettore tangente al sostegno di una curva regolare. Punto regolare di una curva. Curve regolari e regolari a tratti.
Esempi: circonferenza, ellisse, cuspide, cicloide, astroide, elica cilindrica, cardioide e spirale.
SETTIMANA 2:
- Curve equivalenti, curva geometrica e proprietà geometriche di una curva.
- Lunghezza di una curva e Teorema di rettificabilità.
- Ascissa curvilinea e proprietà delle curve parametrizzate mediante ascissa curvilinea.
- Versore normale, curvatura, piano osculatore e circonferenza osculatrice per una curva in R^3
- Versore binormale e torsione per una curva in R^3. Equazioni di Frenet.
SETTIMANA 3:
- Versore normale orientato e curvatura orientata per una curva in R^2.
- Topologia di Rn: definizione di intorno circolare, di insieme aperto, chiuso, limitato, compatto. Punti interni, punti esterni, punti di frontiera. Interno, frontiera e chiusura di un insieme. Proprieta' elementari ed esempi.
- Funzioni di due variabili reali: dominio, immagine, grafico, insiemi di livello e curve di livello. Punti di accumulazione e punti isolati, limite per funzioni di due variabili. Unicita' del limite, algebra dei limiti. Condizione necessaria per l'esistenza del limite, passaggio alle coordinate polari e condizione necessaria e sufficiente per il calcolo dei limiti.
- Funzioni continue, continuità’ parziale. Teorema della permanenza del segno, massimi e minimi assoluti e Teorema di Weierstrass. Insiemi aperti connessi, connessi per archi, convessi e stellati. Teorema dei valori intermedi (dim).
- Funzioni derivabili parzialmente e vettore gradiente. Significato geometrico della derivata parziale.
SETTIMANA 4:
- Derivata direzionale e significato geometrico.
- Funzioni differenziabili, interpretazione geometrica. Derivabilita' delle funzioni differenziabili (dim), Formula di Taylor del primo ordine e piano tangente. Condizione equivalente alla differenziabilità. Proprietà di continuità delle funzioni differenziabili (dim) e Teorema del gradiente (dim). Interpretazione geometrica del gradiente.Teorema del differenziale (dim). Primo Teorema di derivazione delle funzioni composte (dim). Vettore gradiente e curve di livello. Teorema sulle funzioni con gradiente nullo in un aperto connesso (dim).
SETTIMANA 5:
-Secondo Teorema di derivazione delle funzioni composte.
- Massimi e minimi relativi. Teorema sulla condizione necessaria per l'esistenza di massimi e minimi relativi (dim).
Derivate parziali seconde, Teorema di Schwartz e matrice hessiana.
- Formula di Taylor del II ordine. Matrici definite positive e negative e matrici indefinite.
Teorema di caratterizzazione delle matrici definite positive e negative. Teorema sulla condizione sufficiente per l'esistenza di massimi e minimi relativi (dim).
- Test delle derivate parziali seconde per l'esistenza di massimi e minimi relativi. Ricerca di massimi e minimi relativi, esempi.
