Risoluzione
1. Abbiamo che la curva '(t) = (t3, t2), t 2 [ 1, 1] `e di classe C1 con '0(t) = (3t2, 2t) e quindi k'0(t)k =p
9t4+ 4t2 =|t|p
9t2+ 4. Otteniamo allora Z
x x3ds = Z 1
1
(t3 t9)|t|p
9t2+ 4 dt = 0
essendo l’integranda funzione dispari e l’intervallo d’integrazione simmetrico rispetto all’origine. Al risultato potevamo arrivare subito osservando che la curva risulta sim- metrica rispetto all’asse y e l’integranda antisimmetrica rispetto a tale asse.
2. Una parametrizzazione della curva di sostegno {(x, y) 2 R2 | x2+ y42 = 1, x 0, y 0}
`e data da '(t) = (cos t, 2 sin t), t2 [0, ⇡2]. Si ha che k'0(t)k =p
1 + 3 cos2t e quindi Z
xy ds = Z ⇡2
0
2 sin t cos tp
1 + 3 cos2t dt = 13 Z ⇡2
0
6 sin t cos tp
1 + 3 cos2t dt
= 13h
2
3(1 + 3 cos2t)32i⇡2
0 = 149
3. La curva con sostegno la frontiera di D = {(x, y) | x42 + y2 1, x p
2} `e unione delle curve 1 con sostegno l’arco di ellisse {(x, y) | x42 + y2 = 1, x p
2} e 2 con sostegno il segmento{(p
2, y)| |y| p22}. Dalla propriet`a di additivit`a dell’integrale abbiamo allora
che Z
2x ds = Z
1
2x ds + Z
2
2x ds
Una parametrizzazione della curva 1 `e '1(t) = (2 cos t, sin t), t 2 [ ⇡4,⇡4], mentre una parametrizzazione di 2 `e data '2(t) = (p
2, t), t2 [ p22,p22]. Otteniamo allora che Z
2x ds = Z
1
2x ds + Z
2
2x ds = Z ⇡4
⇡ 4
4 cos tp
3 sin2t + 1 dt + Z p22
p2 2
2p 2 dt
= p43 Z ⇡4
⇡ 4
p3 cos t q
(p
3 sin t)2+ 1 dt + 4
= p23hp
3 sin tp
3 sin2t + 1 + log(p
3 sin t +p
3 sin2t + 1)i⇡4
⇡ 4
+ 4
= 2p 2q
5 2 +p23
✓
log(p26 +q
5
2) log( p26 +q
5 2)
◆ + 4
= 2p 2 + p2
3(log(p
10 +p
6) log(p
10 p
6)) + 4
4. Dato che '(t) = (cos t, sin t, 2t), t 2 [0,⇡2], abbiamo '0(t) = ( sin t, cos t, 2) e dunque k'0(t)k =p
5. Otteniamo allora Z
xy2ds = Z ⇡2
0
cos t sin2tp
5 dt = p35⇥
sin3t⇤⇡2
0 = p35
5. Una parametrizzazione della curva `e data da '(✓) = (1 + cos ✓, sin ✓, 3 + 2 cos ✓), ✓2 [0, ⇡].
Osservato che '0(✓) =p
1 + 4 sin2✓ abbiamo Z
3x z ds = Z ⇡
0
cos ✓p
1 + 4 sin2✓ d✓ = 12 Z ⇡
0
2 cos ✓p
1 + (2 sin ✓)2d✓
= 14h
2 sin ✓p
1 + 4 sin2✓ + log(2 sin ✓ +p
1 + 4 sin2✓)i⇡ 0 = 0
6. Una parametrizzazione della curva `e data da '(✓) = (cos ✓, sin ✓, cos2✓ + 1), ✓ 2 [ ⇡4,⇡4].
Dato che '0(✓) =p
1 + 4 cos2✓ sin2✓ abbiamo Z
x2 y2ds = Z ⇡4
⇡ 4
(cos2✓ sin2✓)p
1 + 4 cos2✓ sin2✓ d✓
= 12 Z ⇡4
⇡ 4
2 cos(2✓) q
1 + sin2(2✓) d✓
= 14
sin(2✓) q
1 + sin2(2✓) + log(sin(2✓) + q
1 + sin2(2✓))
⇡ 4
⇡ 4
= 14(2p
2 + log(p
2 + 1) log(p
2 1)) 7. Posto x = t, una parametrizzazione della curva `e data da
' : 8>
<
>: x = t y =p
3t2 z = p23t·p
3t2 = 2t3
dove t 2 [0, 2] poich´e per tali valori risulta 0 z = 2t3 16. Dato che k'0(t)k = p1 + 12t2+ 36t2 = 6t2+ 1 otteniamo
Z
x ds = Z 2
0
t(6t2+ 1) dt = Z 2
0
6t3+ t dt =⇥3
2t4+12t2⇤2 0 = 26
8. Per la cicloide '(t) = (r(t sin t), r(1 cos t)), t2 [0, 2⇡], abbiamo che k'0(t)k = 2r sin2t per ogni t2 [0, 2⇡] e quindi
L( ) = Z
ds = Z 2⇡
0
2r sin2tdt = 8r ne segue che il baricentro ha coordinate
xB= 8r1 Z
x ds = 8r1 Z 2⇡
0
r(t sin t)2r sin2t dt = r⇡
e Z Z
9. Possiamo pensare alla lettera L come all’unione delle curve o, avente per sostegno il segmento orizzontale So = {(x, 0) | x 2 [0, `]}, e v, avente per sostegno il segmento verticale Sv = {(0, y) | y 2 [0, 2`]}. Scelta la densit`a di massa v(x, y) = k per la curva
v, avremo che la densit`a della curva o `e o(x, y) = 3k. Con tali scelte risulta m( o) = 3kL( o) = 3k`, x(Bo) = `
2 e y(Bo) = 0 mentre
m( v) = kL( v) = 2k`, x(Bv) = 0 e y(Bv) = `
Dalla propriet`a distributiva dei baricentri abbiamo allora che il baricentro della lettera L
`e il punto di coordinate
x(B) = m( o)x(Bo) + m( v)x(Bv)
m( o) + m( v) = 3k`· 2`
3k` + 2k` = 3`
10 e
y(B) = m( o)y(Bo) + m( v)y(Bv)
m( o) + m( v) = 2k`· `
3k` + 2k` = 2`
5
10. Osserviamo innanzitutto che la curva risulta unione delle curve 1 di sostegno {(x, y) 2 R2 | x2+ y2 = 1, x2 [ 1,12]} e 2 di sostegno{(x, y) 2 R2 | (x 1)2+ y2 = 1, x2 [0,12]}.
Determiniamo le coordinate del baricentro B1 e B2 di tali curve. Una parametrizzazione di 1 `e data da '1(t) = (cos t, sin t), t2 [⇡3,53⇡], quindi
m( 1) = Z
1
1 + x2ds = Z 53⇡
⇡ 3
cos2t + 1 dt =⇥1
2(t + cos t sin t) + t⇤53⇡
⇡ 3
= 2⇡ p43
Osservato poi che la curva `e simmetrica rispetto all’asse x e la densit`a di massa dipende solo da x, possiamo dedurre che y(B1) = 0 mentre
x(B1) = 1 m( 1)
Z
1
x(1 + x2) ds = 1 2⇡ p43
Z 53⇡
⇡ 3
cos t(cos2t + 1) dt
= 1
2⇡ p43 Z 53⇡
⇡ 3
cos t(2 sin2t) dt = 1 2⇡ p43
⇥2 sin t 13 sin3t⇤53⇡
⇡
3 =
p3
4 2p
3 2⇡ p43 (si noti che x(B1) 2 ( 1, 0)). Allo stesso modo, una parametrizzazione di 2 `e data da '2(t) = (1 + cos t, sin t), t2 [23⇡,43⇡], quindi
m( 2) = Z
2
1+x2ds = Z 43⇡
2 3⇡
1+(1+cos t)2dt =⇥1
2(t + cos t sin t) + 2 sin t + 2t⇤43⇡
2
3⇡ = 53⇡ 74p 3
Abbiamo poi, per simmetria, che y(B2) = 0 mentre
x(B2) = 1 m( 2)
Z
2
x(1 + x2) ds = 1
5
3⇡ 74p 3
Z 43⇡
2 3⇡
cos t(1 + (cos t + 1)2) dt
= 1
5
3⇡ 74p 3
Z 43⇡
2 3⇡
cos t(3 + 2 cos t sin2t) dt
= 1
5
3⇡ 74p 3
⇥3 sin t + t + cos t sin t 13sin3t⇤43⇡
2 3⇡ =
2 3⇡ 9p
3 4 5
3⇡ 74p 3
Dalla propriet`a distributiva del baricentro otteniamo allora che le coordinate del baricen- tro B della curva data sono y(B) = 0 e
x(B) = m( 1)x(B1) + m( 2)x(B2) m( 1) + m( 2) = ...
11. Considerata l’elica cilindrica '(t) = (2 cos t, 2 sin t, t), t 2 [0, 4⇡], di densit`a di massa (x, y, z) = z2 abbiamo k'0(t)k =p
5 e dunque m( ) =
Z
z2ds = Z 4⇡
0
t2p
5 dt =p 564⇡33
Essendo la curva simmetrica rispetto all’asse z e la densit`a di massa funzione della sola z, possiamo concludere che il baricentro cade sull’asse z, ovvero che x(B) = y(B) = 0.
Abbiamo poi
z(B) = p3 Z
z3ds = p3
Z 4⇡
t3p
5 dt = 3⇡
12. Una parametrizzazione della curva `e data da '(t) = (p
2 cos t,p
2 cos t, 2 sin t), t 2 [0, ⇡], con k'0(t)k = 2. Abbiamo che
L( ) = Z
ds = Z ⇡
0
2 dt = 2⇡
e il baricentro ha coordinate x(B) = 2⇡1
Z
x ds = 2⇡1 Z ⇡
0
2p
2 cos t dt = 0,
y(B) = 2⇡1 Z
y ds = 2⇡1 Z ⇡
0
2p
2 cos t dt = 0 e
z(B) = 2⇡1 Z
z ds = 2⇡1 Z ⇡
0
4 sin t dt = 4
⇡
