Risoluzione 1. Il sostegno della curva `e dato dall’intersezione

Risoluzione 1. Il sostegno della curva `e dato dall’intersezione

8 >

<

> :

x ² + y ² + z ² = 2y y = z + 1

x 0

, 8 >

<

> :

x ² + (z + 1) ² + z ² = 2(z + 1) y = z + 1

x 0

, 8 >

<

> :

x ² + 2z ² = 1 y = z + 1

x 0

Possiamo usare le coordinare polari ellittiche per parametrizzare l’ellisse x ² + 2z ² = 1, ponendo x = cos t, z = p ¹

2 sin t, con t 2 [ ^⇡ ₂ , ^⇡ ₂ ] dato che per tali valori risulta x 0. Otteniamo quindi una parametrizzazione della curva ponendo

'(t) = (cos t, 1 + p ¹

2 sin t, p ¹

2 sin t) t 2 [ ^⇡ ₂ , ^⇡ ₂ ].

Con tale parametrizzazione abbiamo che il punto P (1, 1, 0) corrisponde a '(0) dove, essendo ' ⁰ (t) = ( sin t, p ¹

2 cos t, p ¹

2 cos t), risulta T = ' ⁰ (0) = (0, p ¹ 2 , p ¹

2 ). Dunque il vettore tangente verifica T · j = ^{p 1} ₂ > 0 e l’orientamento della curva determinato dalla parametrizzazione scelta

`e quello richiesto.

2. Il sostegno della curva `e dato dall’intersezione 8 >

<

> :

4x ² + y ² = 2y z = x + 1

y 1

, 8 >

> <

> >

:

x

1 4

+ (y 1) ² = 1 z = x + 1

y 1

Possiamo usare le coordinare polari ellittiche per parametrizzare l’ellisse ^x

+ (y 1) ² = 1, ponendo x = ¹ ₂ cos t, y = 1 + sin t, con t 2 [0, ⇡] poich`e per tali valori risulta y 1. Otteniamo quindi una parametrizzazione della curva ponendo

'(t) = ( ¹ ₂ cos t, 1 + sin t, 1 + ¹ ₂ cos t) t 2 [0, ⇡].

Risulta allora che P = (0, 2, 1) = '( ^⇡ ₂ ) e poich`e ' <sup>0</sup> (t) = ( <sup>1</sup> <sub>2</sub> sin t, cos t, <sup>1</sup> <sub>2</sub> sin t), otteniamo T = ' <sup>0</sup> ( <sup>⇡</sup> <sub>2</sub> ) = ( <sup>1</sup> <sub>2</sub> , 0, <sup>1</sup> <sub>2</sub> ). Dunque il vettore tangente verifica T · k = <sup>1</sup> <sub>2</sub> < 0 e l’orientamento della curva determinato dalla parametrizzazione scelta `e opposto a quello richiesto. Sar` a quindi sufficiente considerare la curva opposta

(t) = ( ')(t) = '( t) = ( ¹ ₂ cos t, 1 sin t, 1 + ¹ ₂ cos t) t 2 [ ⇡, 0]

per ottenere la parametrizzazione richiesta.

3. La curva '(t) = ( _1+t ^t

, _1+t ^t

), t 2 [ 2, 2], `e di classe C ¹ in [ 2, 2] con ' ⁰ (t) =

✓ 2t(1 + t ² ) 2t · t ²

(1 + t ² ) ² , 3t ² (1 + t ² ) 2t · t ³ (1 + t ² ) ²

◆

=

✓ 2t

(1 + t ² ) ² , t ² (3 + t ² ) (1 + t ² ) ²

◆ .

Risulta pertanto ' ⁰ (t) = 0 se e solo se t = 0 e dunque che la curva `e regolare a tratti. La curva

non risulta chiusa essendo '( 2) = ( ⁴ ₅ , ⁸ ₅ ) 6= '(2) = ( ⁴ ₅ , ⁸ ₅ ) ma risulta semplice, dato che se

t 6= s allora _1+t ^t

6= _1+s ^s

e quindi '(t) 6= '(s).

Nel punto '(1) = ( ¹ ₂ , ¹ ₂ ) abbiamo che ' ⁰ (1) = ( ² ₄ , ⁴ ₄ ) = ( ¹ ₂ , 1), k' ⁰ (1) k = ^p ₂ ⁵ e pertanto il versore tangente sar` a dato da

T(1) = ' ⁰ (1) k' ⁰ (1) k = 2

p 5

✓ 1 2 , 1

◆

=

✓ 1 p 5 , 2

p 5

◆

Le equazioni parametriche della retta tangente in '(1) saranno allora ( x = ¹ ₂ + ¹ ₂ (t 1)

y = ¹ ₂ + (t 1)

mentre l’equazione cartesiana `e 2(x ¹ ₂ ) = y ¹ ₂ ovvero y = 2x ¹ ₂ .

4. La curva '(t) = (t ² , t ³ , t ² ) `e di classe C <sup>1</sup> in [0, 1] ed essendo ' <sup>0</sup> (t) = (2t, 3t <sup>2</sup> , 2t) = (0, 0, 0) solo per t = 0, la curva risulta regolare a tratti in [0, 1]. La curva `e semplice poich`e se t 1 6= t 2 allora t <sup>3</sup> <sub>1</sub> 6= t <sup>3</sup> 2 e quindi '(t <sub>1</sub> ) 6= '(t 2 ). La curva non `e chiusa essendo '(0) = (0, 0, 0) 6= (1, 1, 1) = '(1).

Essendo di classe C ¹ , la lunghezza della curva `e data da L(') =

Z ₁

0 k' ⁰ (t) kdt = Z ₁

0

p 8t ² + 9t ⁴ dt = Z ₁

0

t p

8 + 9t ² dt

= ₁₈ ¹ h

2

3 (8 + 9t ² )

i 1

0 = ₂₇ ¹ (17 p

17 8 p 8)

5. La curva, il cui sostegno `e rappresentato in figura, possiamo vederla come unione delle curve

1 , avente per sostegno l’arco di circonferenza {(x, y) 2 R ² | x ² + y ² = 2, x 2 [0, 1]}, 2 con sostegno il segmento {(x, y) 2 R ² | x = 0, y 2 [0, p

2] }, e 3 con sostegno l’arco di parabola {(x, y) 2 R ² | y = x ² , x 2 [0, 1]}.

Dalla propriet` a di additivit` a abbiamo allora che

L( ) = L( 1 ) + L( 2 ) + L( 3 ).

Dalla geometria elementare abbiamo che L( 1 ) = ^⇡ ₄ · p

2 (dato che l’arco `e sotteso da un angolo di ampiezza ^⇡ ₄ su una circonferenza di raggio p

2) e L( 2 ) = p

2. Per calcolare invece la lunghezza della curva 3 , osserviamo che la curva ha equazione cartesiana y = f (x) = x ² , x 2 [0, 1] e che quindi la sua lunghezza sar` a data da

L( 3 ) = Z 1

0

p 1 + f ⁰ (x) ² dx = Z 1

0

p 1 + 4x ² dx

= ¹ ₄ [2x p

1 + 4x ² + log(2x + p

1 + 4x ² )] ¹ ₀ = ¹ ₄ (2 p

5 + log(2 + p 5)) dove, per calcolare l’integrale si `e usato l’integrale notevole, R p

1 + t ² dt = ¹ ₂ (t p

1 + t ² + log(t + p 1 + t ² )) + c.

6. La curva '(t) = (sin t, cos t, t ² ) `e di classe C ² in [ ⇡, ⇡] con

' ⁰ (t) = (cos t, sin t, 2t) e ' ⁰⁰ (t) = ( sin t, cos t, 2) Dunque, essendo k' ⁰ (t) k = p

1 + 4t ² > 0 e k' ⁰⁰ (t) k = p

5 > 0 per ogni t 2 ( ⇡, ⇡), si ha che la curva risulta regolare e biregolare.

La curva risulta chiusa essendo '(⇡) = (0, 1, ⇡ ² ) = '( ⇡). La curva risulta inoltre semplice poich`e se t <sub>1</sub> , t <sub>2</sub> 2 ( ⇡, ⇡] sono tali che t 1 6= t 2 allora '(t <sub>1</sub> ) 6= '(t 2 ), poich`e se sin t ₁ = sin t ₂ allora t ₁ t ₂ 0 e t ² ₁ 6= t ² 2 .

In '(0) = (0, 1, 0) abbiamo

' ⁰ (0) = (1, 0, 0) e ' ⁰⁰ (0) = (0, 1, 2) quindi il versore tangente `e dato da

T(0) = ' ⁰ (0)

k' ⁰ (0) k = (1, 0, 0), il versore binormale `e

B(0) = ' ⁰ (0) ^ ' ⁰⁰ (0)

k' ⁰ (0) ^ ' ⁰⁰ (0) k = (0, ^{p 2}

5 , ^{p 1}

5 ) e il versore normale `e

N(0) = B(0) ^ T(0) = (0, ^{p 1} ₅ , p ² 5 )

Il piano osculatore per '(0) `e il piano ortogonale al versore binormale B(0) passante per '(0) = (0, 1, 0), quindi di equazione

B(0) · (x, y 1, z) = 0 , 2(y 1) + z = 0 , 2y + z = 2 7. Il sostegno della curva `e dato dall’intersezione

( z = x ² + y ²

z = 2x ,

( x ² + y ² = 2x

z = 2x ,

( (x 1) ² + y ² = 1 z = 2x

Possiamo usare le coordinare polari per parametrizzare la circonferenza (x 1) ² +y ² = 1, ponendo x = 1 + cos t, y = sin t, con t 2 [0, 2⇡]. Otteniamo quindi una parametrizzazione della curva ponendo

'(t) = (1 + cos t, sin t, 2 + 2 cos t), t 2 [0, 2⇡].

Risulta allora

' ⁰ (t) = ( sin t, cos t, 2 sin t) e ' ⁰⁰ (t) = ( cos t, sin t, 2 cos t).

Osserviamo la curva non `e parametrizzata mediante ascissa curvilinea dato che k' ⁰ (t) k = p sin ² t + cos ² t + 4 sin ² t = p

1 + 4 sin ² t 6⌘ 1. Il punto P = (1, 1, 2) corrisponde a '( ^⇡ ₂ ), ab- biamo quindi

' ⁰ ( ^⇡ ₂ ) = ( 1, 0, 2), ' ⁰⁰ ( ^⇡ ₂ ) = (0, 1, 0) e ' ⁰ ( ^⇡ ₂ ) ^ ' ⁰⁰ ( ^⇡ ₂ ) = ( 2, 0, 1) e dunque il versore tangente in P `e dato da

T( ^⇡ ₂ ) = ' ⁰ ( ^⇡ ₂ )

k' ⁰ ( ^⇡ ₂ ) k = ( p ¹

5 , 0, p ² 5 ), il versore binormale `e

B( ^⇡ ₂ ) = ' ⁰ ( ^⇡ ₂ ) ^ ' ⁰⁰ ( ^⇡ ₂ )

k' ⁰ ( ^⇡ ₂ ) ^ ' ⁰⁰ ( ^⇡ ₂ ) k = ( p ² 5 , 0, p ¹

5 ) e il versore normale `e

N( ^⇡ ₂ ) = B( ^⇡ ₂ ) ^ T( ^⇡ ₂ ) = (0, 1, 0) Infine, la curvatura `e data da

k( ^⇡ ₂ ) = k' ⁰ ( ^⇡ ₂ ) ^ ' ⁰⁰ ( ^⇡ ₂ ) k k' ⁰ ( ^⇡ ₂ ) k ³ = ¹ ₅ mentre la torsione `e nulla essendo la curva piana.

8. La curva '(t) = ( _1+t ^t

, _1+t ^t

), t 2 [ 2, 2], `e di classe C ¹ in [ 2, 2] con ' ⁰ (t) =

✓ 2t(1 + t ² ) 2t · t ²

(1 + t ² ) ² , 3t ² (1 + t ² ) 2t · t ³ (1 + t ² ) ²

◆

=

✓ 2t

(1 + t ² ) ² , t ² (3 + t ² ) (1 + t ² ) ²

◆ .

Risulta pertanto ' ⁰ (t) = 0 se e solo se t = 0 e dunque che la curva `e regolare a tratti. La curva non risulta chiusa essendo '( 2) = ( ⁴ ₅ , ⁸ ₅ ) 6= '(2) = ( ⁴ ₅ , ⁸ ₅ ) ma risulta semplice, dato che se t 6= s allora _1+t ^t

6= _1+s ^s

e quindi '(t) 6= '(s).

Nel punto '(1) = ( ¹ ₂ , ¹ ₂ ) abbiamo che ' ⁰ (t) = ( ² ₄ , ⁴ ₄ ) = ( ¹ ₂ , 1), k' ⁰ (t) k = ^p ₂ ⁵ e pertanto il versore tangente sar` a dato da

T(1) = ' ⁰ (1) k' ⁰ (1) k = 2

p 5

✓ 1 2 , 1

◆

=

✓ 1 p 5 , 2

p 5

◆

L’equazione parametriche della retta tangente in '(1) saranno allora ( x = ¹ ₂ + ¹ ₂ (t 1)

y = ¹ ₂ + (t 1)

mentre l’equazione cartesiana `e 2(x ¹ ₂ ) = y ¹ ₂ ovvero y = 2x ¹ ₂ .

9. La curva '(t) = (cos ³ t, sin ³ t), t 2 [0, 2⇡], `e di classe C ² in [0, 2⇡] con ' ⁰ (t) = ( 3 sin t cos ² t, 3 cos t sin ² t) e

' ⁰⁰ (t) = ( 3 cos ³ t + 6 sin ² t cos t, 3 sin ³ t + 6 cos ² t sin t) Risulta allora

'( ^⇡ ₄ ) = ( ¹

2 p 2 , ¹

2 p

2 ), ' ⁰ ( ^⇡ ₄ ) = ( ³

2 p 2 , ³

2 p

2 ) e ' ⁰⁰ ( ^⇡ ₄ ) = ( ³

2 p 2 , ³

2 p 2 ) da cui otteniamo che il versore tangente e normale orientato in '( ^⇡ ₄ ) sono

T( ^⇡ ₄ ) = '( ^⇡ ₄ )

k'( ^⇡ ₄ ) k = ( p ¹ 2 , p ¹

2 ) e N( ˜ ^⇡ ₄ ) = ( p ¹ 2 , p ¹

2 ) La curvatura orientata in '( ^⇡ ₄ ) `e

˜ k( ^⇡ ₄ ) = N ( ˜ ^⇡ ₄ ) · ' ⁰⁰ ( ^⇡ ₄ )

k' ⁰ ( ^⇡ ₄ ) k ² = ⁴ ₉ ( p ¹ 2 , p ¹

2 ) · ( ₂ ^{p 3} ₂ , ³

2 p

2 ) = ² ₃ < 0.

Ne segue che il versore normale N( ^⇡ ₄ ) coincide con N( ˜ ^⇡ ₄ ) = ( p ¹ 2 , p ¹

2 ), la curvatura k( ^⇡ ₄ ) `e l’opposto della curvatura orientata k( <sup>⇡</sup> <sub>4</sub> ) = k( ˜ <sup>⇡</sup> <sub>4</sub> ) = <sup>2</sup> <sub>3</sub> . Il raggio di curvatura `e dunque r( ^⇡ ₄ ) =

1

k(

) = ³ ₂ e il centro della circonferenza osculatrice `e dato da C( ^⇡ ₄ ) = '( ^⇡ ₄ ) + r( ^⇡ ₄ )N( ^⇡ ₄ )) = ( ¹

2 p 2 , ¹

2 p

2 ) + ³ ₂ ( ^{p 1}

2 , ^{p 1}

2 ) = ( ^{p 2}

2 , ^{p 2}

2 ) L’equazione della circonferenza osculatrice in '( ^⇡ ₄ ) sar` a quindi

(x p ²

2 ) ² + (y p ²

2 ) ² = ⁹ ₄ .

10. La curva risulta regolare essendo f (x) = x ² (1 x ² ) di classe C ¹ . Una rappresentazione para- metrica della curva `e data da '(t) = (t, t ² (1 t ² )), t 2 [ 1, 1] e risulta O = (0, 0) = '(0).

Si ha ' ⁰ (t) = (1, 2t 4t ³ ) e dunque che ' ⁰ (0) = (1, 0) ⌘ T(0), il versore tangente coincide con il vettore tangente. Il versore normale orientato `e quindi ˜ N(0) = (0, 1). Risulta inoltre ' <sup>00</sup> (t) = (0, 2 12t <sup>2</sup> ), quindi ' <sup>00</sup> (0) = (0, 2) e la curvatura orientata sar` a

˜ k(0) = N (0) ˜ · ' ⁰⁰ (0)

k' ⁰ (0) k ² = (0, 1) · (0, 2) = 2 > 0.

Ne segue che il versore normale N(0) coincide con ˜ N(0) = (0, 1), la curvatura k(0) coincide con la curvatura orientata ˜ k(0) = 2. Il raggio di curvatura `e dunque r(0) = <sub>k(0)</sub> <sup>1</sup> = <sup>1</sup> <sub>2</sub> e il centro della circonferenza osculatrice `e dato da C(0) = (0, ¹ ₂ ). L’equazione della circonferenza osculatrice in O sar` a quindi

x ² + (y ¹ ₂ ) ² = ¹ ₄ .

11. La curva di equazione polare ⇢(✓) = sin(2✓), ✓ 2 [0, ^⇡ ₂ ], corrisponde alla curva parametrica '(✓) = (sin(2✓) cos ✓, sin(2✓) sin ✓) con ✓ 2 [0, ^⇡ ₂ ]. Abbiamo che la curva `e di classe C ² con

' ⁰ (✓) = (2 cos(2✓) cos ✓ sin(2✓) sin ✓, 2 cos(2✓) sin ✓ + sin(2✓) cos ✓) e

' ⁰⁰ (✓) = ( 5 sin(2✓) cos ✓ 4 cos(2✓) sin ✓, 5 sin(2✓) sin ✓ + 4 cos(2✓) cos ✓)

Nel punto ( ^p ₂ ² , ^p ₂ ² ) = '( ^⇡ ₄ ) abbiamo allora ' ⁰ ( ^⇡ ₄ ) = ( ^p ₂ ² , ^p ₂ ² ) e ' ⁰⁰ ( ^⇡ ₄ ) = ( ^{5 p} ₂ ² , ^{5 p} ₂ ² ) e quindi che il versore tangente e versore normale orientato sono

T( ^⇡ ₄ ) = ' ⁰ ( ^⇡ ₄ )

k' ⁰ ( ^⇡ ₄ ) k = ( ^p ₂ ² , ^p ₂ ² ) e N( ˜ ^⇡ ₄ ) = ( ^p ₂ ² , ^p ₂ ² ) e la curvatura orientata `e

k( ˜ ^⇡ ₄ ) = N( ˜ ^⇡ ₄ ) · ' ⁰⁰ ( ^⇡ ₄ )

k' ⁰ ( ^⇡ ₄ ) k ² = ( ^p ₂ ² , ^p ₂ ² ) · ( ^{5 p} ₂ ² , ^{5 p} ₂ ² ) = 5 > 0.

Avremo allora che versore normale N( ^⇡ ₄ ) coincide con ˜ N( ^⇡ ₄ ) = ( ^p ₂ ² , ^p ₂ ² ) e la curvatura k( ^⇡ ₄ ) coincide con la curvatura orientata ˜ k( ^⇡ ₄ ) = 5. Il raggio di curvatura `e dunque r( ^⇡ ₄ ) = ¹

k( ⇡ 4 )

= ¹ ₅ e il centro della circonferenza osculatrice `e dato da

C( ^⇡ ₄ ) = ( ^p ₂ ² , ^p ₂ ² ) + ¹ ₅ ( ^p ₂ ² , ^p ₂ ² ) = ( ^{2 p} ₅ ² , ^{2 p} ₅ ² ).

L’equazione della circonferenza osculatrice in ( ^p ₂ ² , ^p ₂ ² ) sar` a quindi

⇣

x ^{2 p} ₅ ² ⌘ 2

+ ⇣

y ^{2 p} ₅ ² ⌘ 2

= ₂₅ ¹ .