Scattering Rutherford

Lezione 7

Collisioni tra particelle e loro effetti

G. Bosia

Universita’ di Torino

Processi collisionali

Le collisioni tra particelle sono i meccanismi che danno origine ai processi di diffusione e di trasporto di particelle ed energia nel plasma. Sono inoltre responsabili per la

resistività macroscopica del plasma.

L’ analisi di questi processi e’ complessa perché gli effetti macroscopici sono il risultato integrato di diversi tipi di collisione fra particelle di velocità e masse diverse , che

incidono a angoli diversi delle collisioni

In un plasma coesistono due o più specie di particelle ionizzate (elettroni e vari tipi di ioni che possono interagire con collisioni a lungo range (lunghezza di scala : λ_D = 7.5 10² (T/n)^1/2 cm^-3) elastiche, come le collisioni columbiane e-e, e-i, i-i…. o anelastiche (scambio di carica , ricombinazione-ionizzazione, (lunghezza di scala: raggio di Bohr : a₀ ~ 5 10^-9 cm) , reazioni nucleari (lunghezza di scala : 5 10^-13cm). L’ incidenza sui fenomeni macroscopici dipende dalle sezioni d’ urto dei vari processi .

I processi collisioni Coulumbiani (scattering Rutherford) sono i meccanismi a piu’ alta sezione d’ urto in plasmi termonucleari e saranno pertanto presi in considerazione.in questa lezione.

Scattering Rutherford

Il processo di scattering Rutherford tra una particella di massa m₁ e carica Z₁e ed una particella di massa m₂ e carica Z₂ e’ studiata imponendo la conservazione di energia ed impulso durante la collisione.

Richiamiamo le formule fondamentali:

Il moto nel sistema di riferimento del centro di massa delle due particelle che collidono puo’ essere

rappresentato da quella di una particella fittizia di massa (“ridotta”)

in moto nel campo di forze. Se il campo di forza e’

columbiano F( r) ~ r^--2 , la traiettoria e’ iperbolica con direzione asintotica

Dove b e’ il parametro d’ urto e b₀ il parametro µ m1 m2⋅

m1 m2+

b 0 Z 1 Z 2⋅ ⋅e² µ⋅v²

(VII-1)

(VII-2)

v m.1 v.1⋅ + m.2 v.2⋅ m.1 m.2+

tan θ 2

 



 



b 0 v( )

b b.0 q.1 q.2⋅ 4⋅ επ⋅ .0

1 µ⋅v² con ⋅

Scattering Rutherford

Le particelle che incidono con un parametro d’ urto b - b+db sono deflesse ad un angolo θ − θ+dθ, ovvero nell’ angolo solidodΩ = 2π sin(θ)|dθ|. Pertanto la sezione d’urto

differenziale relativa alla diffusione nell’ angolo θ, dσ sara’:

dσ =2πbdb =2πb(db/dθ) db

Se si introduce la sezione d’urto di diffusione per unita’ di angolo solido

σ = (dσ/dΩ) = (b|db/dθ|)/sin(θ) Si arriva alla sezione d’urto di diffusione

che Rutherford utilizzò per dimostrare la struttura orbtale dell’

atomo di H.

(VII- 3)

Geometria di scattering (VII- 4)

(VII- 5) ^σ

b0²

4 sin θ 2

 



 



4

⋅

q1 q2⋅

8⋅ επ⋅ µ0⋅ ⋅v² sin θ 2

 



 



2

⋅

 

 



 

 



2

Effetti delle collisioni

Note :

1) La forte dipendenza da θ della sezione d’ urto fa prevedere che, nel nostro caso di collisioni multiple, l’ effetto dello scattering a piccoli angoli sia molto piu’ importante di quelli di scattering a grandi angoli.

2) σ cresce come v ^–4. Dato che le collisioni che avvengono per unita’ di tempo e’

proporzionale a <v

σ

>, e’ prevedibile che gli effetti collisionali diminuiscano all’

aumentare della temperatura. A parità di densità in un plasma di alta temperatura ci sono meno collisioni. Questo effetto ha conseguenze pratiche importanti.

3) Se fissiamo v e θ ,

σ

decresce all’ aumentare del parametro di collisione b. Pertanto dovremo attenderci che per collisioni con b > λ_Dnon vi sia una significativa interazione collisionale tra particelle.

4) Il parametro b₀ e’ assunto come lunghezza di scala di avvicinamento tra le particelle che collidono e dipende dal tipo di particelle che urtano. Per una collisione elettrone- protone µ ~ m_e , b₀ ~ e²/m_ev² , e σ₉₀~ π b₀ = π e²/m_ev^2… Pertanto in un plasma di protoni ed elettroni avvengono tre tipi di collisione con parametri d’ urto diverse: ione – ione, elettrone-elettrone, elettrone-ione, ione-elettrone)

Effetti delle collisioni

6) In un plasma completamente ionizzato lo scattering a 90° in seguito ad urto singolo e’ molto meno probabile di una deflessione finale a 90° gradi dovuta ad una

successione stocastica di deflessioni a piccoli angoli, perché il raggio di interazione effettivo di una singola carica e’ ~ λ_De per plasmi a temperature di interesse termo nucleare e’ λ_D >> b₀. La maggior parte degli eventi di diffusione avviene pertanto ad angoli << 90°

Collisioni multiple

Valutiamo, sulla base dei risultati ottenuti, gli effetti di collisioni multiple in un plasma completamente ionizzato Dalle 2) per piccoli angoli:

In un processo stocastico di collisioni multiple, la diffusione delle particelle rispetto la direzione di origine avviene secondo l’ angolo quadratico medio

Dove F(θ) e’ il numero di collisioni ad angolo θ e θ +d θcompresi tra un valore minimo θ_min e un valor massimo θ_max

Se n e’ la densita’ di particelle per unita’ di volume del plasma con cui una particella in arrivo interagisce, il numero di collisioni all’angolo θe θ +d θ e’ pari al numero di collisioni che avvengono con parametro d’urto compreso tra b e b+db e pertanto, su una distanza L:

θ min θ max

θ θ²⋅F

( )

θ

⌠

⌡ d

< θ²>

F

( )

θ ^dθ n L⋅ σ θ⋅

( )

dΩ n L⋅ ⋅ π2⋅ ⋅b⋅db (VII- 6)

(VII- 7)

(VII- 8)

θ 2 b.0⋅ b

q.1 q.2⋅ 2⋅ επ⋅ .0⋅ µb⋅ ⋅v²

Collisioni multiple

Sostituendo la 2) e 4) nella 7) si ottiene :

La quantita’ ln(Λ)Λ)Λ)Λ) = viene spesso indicata come “logaritmo di Coulomb”

Λ−−>∞ per b_max --> ∞ (ovvero per q_min --> 0) . Questo e’ dovuto al lungo range del

potenziale columbiano (~1/r). Nel nostro caso tuttavia e’ stato dimostrato che il raggio di interazione collisionale di una singola carica con quelle circostanti e’ λ_Ded e’ quindi

naturale assumere:

b_max= λ_D

Il valore minimo b_min(θ< θ_max) si sceglie tenendo conto che, dato l’ andamento della sezione d’ urto, si considerano solo piccoli angoli, che corrispondono a parametri di impatto superiori a un certo valore.

Se si assume

(ovvero si considerano solo angoli θ < π/2),

<θ ²>

(VII- 9)

(VII-10) b_min= _b0

q1 q2⋅ 4⋅ επ⋅ 0

1 µ⋅v²

⋅

= ^{n L}⋅ ⋅ π2⋅ ⋅b.0

θ.min θ.max

θ θ²⋅F

( )

θ

⌠

⌡ d

 

 

 

 

⋅ n L⋅ ⋅ π8⋅ ⋅b.0²

b.min b.max

1 b b

⌠

⌡

⋅ d n L⋅ ⋅ π8⋅ ⋅b.0²⋅lnΛ

Collisioni multiple

Si ottiene infine :

Se si pone < θ ²> = (π/2)² nella 9) , utilizzando i valori della 10) si ottiene la distanza che un la carica deve percorrere per essere deflessa di 90° in una successione di piccoli urti

A cui corrisponde una sezione d’urto effettiva :

Se ora si confronta con la sezione d’urto ad urto singolo che produce una deflessione di 90°

e dato che per un plasma termonucleare quantità ln(Λ) ∼ 20 e’ molto più probabile che una carica diffonda a 90°per effetto di collisioni multiple che per effetto di una

collisione singola

(VII-12) ^{L 90°}

π

32 n⋅ ⋅b o²ln

( )

Λ σ 90°

1 n L 90°⋅

32

π ⋅b 0²⋅ln

( )

Λ

σ90°

σs.90°

8 2 π

 



 



2

⋅ ^⋅ln

( )

Λ (VII-11)

(VII-13)

(VII-15)

Effetti delle collisioni

Per una collisione elettrone-protone µ ~ m_e , b₀ ~ e²/m_ev² , e’:

σ₉₀~π b₀ = π e²/m_ev² = 2.6 10^-18/W (cm²) con

W = ½mv² (keV)

A temperature normalmente ottenute in un plasma di interesse termonucleare σ₉₀ e’

molto più grande della sezione d’ urto di una reazione di fusione.

Per esempio se poniamo W = 30 keV

σ₉₀ = 10^-21 cm² contro σ _D-T = 10^-25 cm²

Questo mostra che i fenomeni di diffusione, che sono competitivi con il confinamento

ordinato del plasma e pertanto sono responsabili dei fenomeni di trasporto dell’ energia e delle particelle, influiscono in un modo essenziale sulle condizioni di confinamento di un plasma termonucleare.

Parametri relativi alle collisioni

Associati alla lunghezza caratteristica di scattering multiplo ci sono diversi altri parametri

:

Libero cammino medio di collisione λλλλ _mfp = 1/nσσσσ che , se la carica viaggia a velocita’ v e’ percorso in un

:

Tempo collisionale ττττ_coll= λλλλ _mfp /v = 1/nvσσσσ

Il parametro inverso e’ la:

Frequenza di collisione νννν_coll= 1/ττττ_coll= nvσσσσ che e’ il parametro piu’ usato.

In particolare e’ significativo, per stabilire la “collisionalita” di un plasma la quantita’

Frequenza di collisione media <νννν_coll> > > > = 1/ττττ_coll= n <v σ(σ(σ(σ(v)>)>)>)>

Valori numerici dei parametri di collisione

Il valore numerico dei tempi di collisione dipende dalle componenti del plasma che interagiscono: Per esempio assumendo per l.c.m. la lunghezza L ₉₀ si ottengono le frequenze di collisione elettrone-elettrone e ione-ione

Con

Per plasmi termonucleari di idrogeno Z_i = 1; m_i = m_p T_e = T_i =10 keV n=10¹⁴ cm^-3

νe.e 4

3⋅n⋅e⁴ 2⋅π me T⋅ ³

⋅ ^⋅ln

( )

Λe ^{2.91 10⋅ − 6 ne} Te^1.5

⋅ ^⋅ln

( )

Λe ^⋅

(

^{cm− 3⋅eV}

)

νi.i 4

3⋅n^⋅

( )

Zi e⋅ ^{4 2⋅π} mi T⋅ ³

⋅ ^⋅ln

( )

Λi ^{6.75 10⋅ − 8 ni Zi⋅ 4} Ti^1.5

⋅ ^⋅ln

( )

Λi ⋅

(

^{cm− 3⋅eV}

)

ν e.e ν i.i

m i me

νe.e 5 kHz⋅ νp.p 166Hz (VII-16)

(VII-17)

Valori numerici dei parametri di collisione

Le frequenze di collisione danno una misura della velocità degli scambi energetici all’

interno della stessa specie e t6ra specie diverse.

Le collisioni elettrone ione ν_e.i hanno frequenze abbastanza vicine a quelle elettrone- elettrone (ν_e.i ~ ν_e.2 ) perché la massa ridotta della collisione e ‘ circa uguale a quella elettronica e n_eZ_i = n_e.

Le differenze sono dovute a fattori numerici che appaiono nei log(Λ).

Le collisioni ione-elettrone hanno invece frequenze di collisione diverse, perché l’

angolo di diffusione nel sistema di riferimento del laboratorio e’ molto diverso da quello nel centro di massa

Si può dimostrare che:

ν i.e

m e m i

 



 



^{⋅ν ei}

m e m i ⋅ν i.i

(VII-18)

Perdite di energia per collisione

Nel corso di una singola collisione, l’ energia cinetica e l’ impulso della particella sono modificati. La variazione di energia cinetica di una particella di massa m₁ e velocità v₁, deflessa ad un angolo θ da una massa m₂ inizialmente a riposo, si ricava dalla

cinematica della collisione alla Rutherford

Si e’ anche visto che l’ effetto collisionale più importante a provocare la diffusione delle particelle a grande angolo e’ quello di collisione multipla. Per calcolare le perdite di energia e’ pertanto necessario sommare le perdite elementari per tutti i parametri d’

urto. Per piccoli angoli di scattering (b/b₀ = b/ b_90° >>1) si ottiene :

ossia:

Si definisce una frequenza di collisione per perdita di energia :

(VII-16) ∆K θ

(VII-17)

(VII-18)

Perdite di impulso per collisione

. La variazione di impulso (in direzione x) di una particella di massa m₁ e velocità v₁, deflessa ad un angolo θ da una massa m₂ inizialmente ferma (v₂ = velocità dopo l’ urto), si ricava dalla cinematica della collisione alla Rutherford

Per il calcolo delle perdite di impulso e’ pertanto necessario sommare le perdite

elementari per tutti i parametri d’ urto come fatto per le perdite di energia cinetica. Per piccoli angoli di scattering (b/b₀ = b/ b_90° >>1) si ottiene :

Pertanto la frequenza di collisione per perdite di impulso e’:

(VII-19) θ

(VII-20)

Rapporti fra frequenze di collisione

Si noti che il rapporto :

(VII-21)

vale:

(VII-22)

Dalla terza condizione si deduce che lo scattering di elettroni causa prevalentemente con una variazione di angolo

p

νK

ν

se se se

Sommario di frequenze di collisione

Applicando le formule precedenti per il caso di collisioni tra elettroni e ioni, si ottiene:

(VII-23)

La frequenza di collisione per perdite di energia e’ un indice di velocità di scambio di energia e di rallentamento delle componenti del plasma. Viene utilizzato per

calcolare i tempi di equilibrio delle temperature the specie diverse

La frequenza di collisione per perdite di impulso e’ un indice della perdita di velocità in una direzione. Viene utilizzata per calcolare la mobilità, la viscosità la

Frequenze di collisione per una distribuzione maxwelliana di particelle

Nelle pagine precedenti si sono calcolate le frequenze di collisione per urti in cui una delle particelle e’ a riposo. Il calcolo degli stessi parametri per un plasma in equilibrio termodinamico si ottiene mediando le quantità ottenute su una distribuzione di velocita’

di tipo maxwelliano : (VII-24)

Per esempio la perdita totale di impulso per elettroni che perdono impulso per collisioni con ioni e’ data da

(VII-25) con;

(VII-26)

come calcolato precedentemente

Frequenze di collisione per un plasma maxwelliano

Si ottiene per le perdite di impulso :

(VII-27)

E per le perdite di energia:

(VII-28)

Un elettrone veloce che si muove in un plasma perde momento ed energia cinetica per collisioni con elettroni ed ioni con frequenze di collisione :

(VII-29)

In assenza di altre forze l’ equazione del moto e’

(VII-30)

ossia si muove sotto l’ effetto di una forza di attrito

(VII-31)

:

Effetti di Run Away

Effetti di Runaway

Si noti che:

• Per Z=1 la perdita di velocità e’ 2/3 sugli elettroni e 1/3 sugli ioni

• La forza di attrito decresce con la velocità

Se il plasma e’ in un campo elettrico E, gli elettroni sono accelerati da una forza (VII-32)

E sono possibili due casi :

Pertanto al di sopra di una energia (VII-33)

gli elettroni sono continuamente accelerati e la forza di attrito decresce progressivamente gli elettroni sono decelerati

gli elettroni sono accelerati

Resistenza di plasma

Un insieme di elettroni in campo elettrico e’ accelerato dal campo e rallentato dalle collisioni. Dato che il movimento degli elettroni e’ di insieme essi non perdono

impulso per collisioni e-e ma solo per collisioni con gli ioni del plasma.La legge del moto e’ pertanto:

(VII-34)

A velocità costante : (VII-35)

Il moto genera una corrente:

(VII-36)

Il plasma si comporta come un mezzo conduttore con conduttività : (VII-37)

Resistività di plasma

Pertanto:

(VII-38)

Ossia :

(VII-39)

Che viene chiamata “Resistività di plasma”

•Note:

• η η η η e’ inversamente proporzionale a T ^3/2

• η η η η non dipende dalla densità del plasma

Resistività di Spitzer

(VII-39)