Esercitazione su sezione d’urto e scattering Rutherford

Esercitazione su sezione d’urto e scattering Rutherford

1)  Calcolate la frazione di un fascio incidente di intensità I₀ di particelle α di energia cinetica 5 MeV che Geiger e Marsden si aspettavano di misurare con deflessioni θ>90⁰ utilizzando un foglio d’oro (Z=79, A=197, ρ=19.3 g/cm³) spesso 10^-6 m

2)  Un fascio di particelle α di energia cinetica 6 MeV incide su di un foglio di argento di spessore 1 µm. La corrente di particelle α è 1 nA. Quante particelle α sono contate da un rivelatore a scintillazione di area A=5 mm² a 2 cm dal foglio posizionato ad un angolo θ=70°. Z_Ag=47 ρ=10.5 g/cm³ A=108

3)  Calcolare nello scattering Rutherford la distanza di massimo avvicinamento di una particella al nucleo in funzione dell’angolo θ di deflessione.

4)  Un fascio di neutroni di energia cinetica 0.29 eV, ed intensità 10⁵ s^-1attraversa ortogonalmente un foglio di ²³⁵ ₉₂U, spesso 10^-1 kg/m². Ogni collisione neutrone nucleo può portare solo ad uno dei tre possibili processi

a) Scattering elastico dei neutroni, σ_e=2x10^-30 m²;

b) Cattura del neutrone seguita dall’emissione di un raggio gamma dal nucleo, σ_c=7x10^-27 m²; c) Cattura del neutrone seguita divisione del nucleo in due elementi di fissione, σ_f=2x10^-26 m²; Calcolare:

1) L’attenuazione del fascio di neutroni nell’attraversare il foglio;

2) Il numero di reazioni di fissione che avvengono per secondo nel foglio;

3) Il flusso dei neutroni scatterati elasticamente ad una distanza di 10 m dal foglio assumendo una distribuzione isotropica dei neutroni diffusi

Fisica Nucleare e Subnucleare – Esercitazione 2 Paolo Maestro

5) Una targhetta di rame di spessore 0.1 cm intercetta un fascio di particelle di area 4 cm². Viene osservato scattering nucleare.

a)  Calcolare il numero di centri di scattering intercettati dal fascio

b)  Assumendo una sezione d’urto di 10 mb per una interazione, quale frazione del fascio incidente viene diffusa? ( ρ_Cu = 8.96 g/cm³ A=63)

6) Per un certo bersaglio nucleare il 10^-6% di un fascio di neutroni incidenti è diffuso. Se la densità della targhetta è 4.1×10^-3 kg/m³, A=30 e lo spessore del bersaglio 10^-8 m, calcolare la sezione d’urto totale dei neutroni.

7) Particelle α con energia cinetica T=6 MeV prodotte da una sorgente radioattiva sono scatterate da nuclei di ¹⁹⁷Au. Ci si aspettano deviazioni dalla sezione d’urto di Rutherford? (giustificate matematicamente oltre che fisicamente la risposta)

8) Qual è il parametro di impatto minimo per deflettere una particella a di 5 MeV su di un nucleo di Pb di almeno 1° ? E di almeno 30°? Qual è il rapporto fra le probabilità di una deflessione >30° e una deflessione >1°?

9) Una particella α di energia 10 MeV urta un nucleo di Au. Calcolare i valori dell’energia di rinculo del nucleo per parametri di impatto b=10^-12 cm e b=10^-10 cm.

10) Un elettrone di momento 330 MeV/c è diffuso di un angolo di 10° da un nucleo di calcio (Z=20).

Assumendo che non ci sia rinculo, calcolare il momento trasferito e la lunghezza di de-Broglie ridotta ad esso associata.

Calcolare la sezione d’urto differenziale di Mott e di quale fattore essa è ridotta se il nucleo di calcio (A=40) ha una distribuzione di carica sferica e omogenea.

2

Es.1- Calcolare la frazione di un fascio incidente di intensità I₀ di particelle α di energia cinetica 5 MeV che Geiger e Marsden si aspettavano di misurare con deflessioni θ>90⁰ utilizzando un foglio d’oro (Z=79, A=197, ρ=19.3 g/cm³) spesso 10^-6 m

Soluzione

La frazione di particelle α con deflessioni >90° si calcola come rapporto fra l’intensità di particelle diffuse (I_s) e l’intensità iniziale secondo la formula

dove

Utilizzando la formula della sezione d’urto di Rutherford scritta nella forma d

σ

dΩ(E,

θ

197 137 E(MeV)

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

2 1

sin⁴

θ

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

fm²sr⁻¹

I

=Δ ! N

= σ θ > 90° ( ) ^I

ⁿ

^Δx

I

I

= σ θ > 90° ( ) ⁿ

^Δx

σ ( θ > 90°) = d σ dΩ dΩ

θ>90°

∫

σ(θ > 90°) = dσ dΩdΩ

θ>90°

∫

2z² 16

197 137 E(MeV)

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

2

sin⁻⁴ θ 2

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

π π

∫

Fisica Nucleare e Subnucleare – Esercitazione 2 Paolo Maestro

n

= ρ N

A =19.3 6.02 ⋅10

197 = 0.59 ⋅10

cm

= 0.59 ⋅10

m

I

I

= σ θ > 90° ( ) ⁿ

Δx =1620.8×10

× 0.59 ⋅10

×10

= 956.3×10

≈ 10

Una particella α su 10⁴ viene scatterata di θ>90⁰ ! (Nell’esperimento originario 1 su 8000) σ(θ > 90°) = dσ

∫

2z² 16

197 137 E(MeV)

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

2

sin⁻⁴ θ 2

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

π 2 π

∫

2z² 16

197 137 E(MeV)

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

2

fm²sr⁻¹

σ(θ > 90°) = 4π ⁷⁹

2⋅ 2² 16

197 137 × 5

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

2

= 1620.8 fm²sr⁻¹ = 1620.8×10⁻³⁰m²sr⁻¹ sin⁻⁴ θ

2

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

π 2 π

∫

π 2 π

∫

π 2 π

∫

2 2 1

∫

2

1 = 2

Calcoliamo l’integrale

e quindi

La densità di centri di scattering è

Sostituendo i valori trovati

4

Es.2- Un fascio di particelle α di energia cinetica 6 MeV incide su di un foglio di argento di spessore 1 µm. La corrente di particelle α è 1 nA. Quante particelle α sono contate da un rivelatore a scintillazione di area A=5 mm² a 2 cm dal foglio posizionato ad un angolo θ=70°. Z_Ag=47 ρ=10.5 g/cm³ A=108

Soluzione

Calcoliamo la sezione d’urto Rutherford differenziale per particelle α diffuse a 70° da nuclei di Ag:

L’intensità delle particelle α si ottiene dividendo la corrente per la carica +2e di un d

σ

dΩ

(E, θ ) =

16

197 137 E(MeV)

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2

1

sin

θ 2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

fm

sr

d

σ

dΩ

(E, θ ) = 47

⋅ 2

16

197 137 ⋅ 6

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2

1

sin

70°

2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

= 293.06 fm

sr

= 293.06 ⋅10

m

sr

I

= i

Ze = 10

2 ⋅1.6 ⋅10

= 3.125⋅10

s

Fisica Nucleare e Subnucleare – Esercitazione 2 Paolo Maestro

La densità di centri di scattering è

Mentre l’angolo solido sotteso dal rivelatore è

Utilizzando le grandezze calcolate sopra, ricaviamo il numero di particelle a contate dal rivelatore

ΔΩ = A

R

= 5⋅10

2

= 0.0125 sr

Δ ! N

= dσ

dΩ I

n

Δx ΔΩ = 293.06 ⋅10

× 3.125⋅10

× 0.5853⋅10

×10

× 0.0125 = 6.7⋅10

s

n

= ρ ^N

A =10.5 6.02 ⋅10

108 = 0.5853⋅10

cm

= 0.5853⋅10

m

6

Soluzione

La forza di Coulomb è centrale, quindi il momento angolare si conserva

dove v₀ è la velocità iniziale e b il parametro d’urto. Anche l’energia si conserva

Il punto di massimo avvicinamento ovvero di distanza minima dal nucleo si ha quando la componente radiale della velocità è nulla

Es.3- Calcolare nello scattering Rutherford la distanza di massimo avvicinamento di una particella al nucleo in funzione dell’angolo θ di deflessione.

l = m ! ! v × !

r = m "r ˆr + " ( θ ^{r ˆ} θ ) ^× r = m " ^! θ ^r

ˆz l =l

= mv

b

m ! θ ^r

= mv

b ⇒ ! θ = v

b r

E =

1

2

+

4 πε

⁼

1

2

θ

+ 1

2

!r

+

4 πε

= 1

2

!r(r

) = 0 ⇒ ! θ ^(r

) = v

b

r

Fisica Nucleare e Subnucleare – Esercitazione 2 Paolo Maestro

Sostituiamo nell’equazione di conservazione dell’energia

Osserviamo che è la distanza di massimo avvicinamento che si ha per b=0.

Inoltre utilizziamo la relazione che lega θ a b, cioè E =

1

2

θ

+

4 πε

= 1 2

1

2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2

r_min²

+

4 πε

= 1 2

r_min²

+

2m πε

= v

r_min²

−

2mv

πε

^{− b}

2

= 0

d

= Zze

2πε

mv

r

− d

r

− d

4 cot θ 2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ = 0

r

=

d

+ d

1+ cot θ 2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ 2

tan θ 2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ = d

2b

r

= d

2 1+ sin

θ 2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

8

Es.4- Un fascio di neutroni di energia cinetica 0.29 eV, ed intensità 10⁵ s^-1attraversa

ortogonalmente un foglio di ²³⁵ ₉₂U, spesso 10^-1 kg/m². Ogni collisione neutrone nucleo può portare solo ad uno dei tre possibili processi

a)  Scattering elastico dei neutroni, σ_e=2x10^-30 m²;

b)  Cattura del neutrone seguita dall’emissione di γ dal nucleo, σ_c=7x10^-27 m²;

c)  Cattura del neutrone seguita divisione del nucleo in due elementi di fissione, σ_f=2x10^-26 m²;

Calcolare:

1)  L’attenuazione del fascio di neutroni nell’attraversare il foglio;

2)  Il numero di reazioni di fissione che avvengono per secondo nel foglio;

3)  Il flusso dei neutroni scatterati elasticamente ad una distanza di 10 m dal foglio assumendo una distribuzione isotropica dei neutroni diffusi.

Fisica Nucleare e Subnucleare – Esercitazione 2 Paolo Maestro

1)  Attenuazione del fascio di neutroni nell’attraversare il foglio.

€

I(x) = I

e

I(x)

I

= e

Intensità dei neutroni trasmessi nell’attraversare uno spessore x di materiale Attenuazione dei neutroni nell’attraversare uno spessore x di materiale

µ x= ρ ^N

A σ x

SI : ρ x spessore massico=10

kg m

σ = σ

+ σ

+ σ

= 2 ×10

+ 7 ×10

+ 2 ×10

= 2.7 ×10

m

µ x=10

6.022 ×10

235×10

2.7 ×10

€

I(x)

I

= e

= 0.9931

10

!N

= I

n

σ

x I

n

xσ

= I

ρx N

A σ

=10

10

6.022 ×10

235×10

2 ×10

s

= 511 s

b) Numero di reazioni di fissione che avvengono per secondo nel foglio

c) Flusso dei neutroni scatterati elasticamente ad una distanza di 10 m dal foglio assumendo una distribuzione isotropica dei neutroni scatterati.

Il numero di scattering elastici che avvengono per secondo nel foglio

Se la distribuzione è isotropica il numero di neutroni scatterati elasticamente per unità di tempo e superficie è costante ed è pari a

φ = !N

4 π d

= 5.11⋅10

4 π ×100 = 4.07 ×10

s

m

!N

= I

n

σ

x = ! N

σ

σ

= 2 ×10

2 ×10

511s

= 5.11×10

s

Fisica Nucleare e Subnucleare – Esercitazione 2 Paolo Maestro

Es 5- Una targhetta di rame di spessore 0.1 cm intercetta un fascio di particelle di area 4 cm². Viene osservato scattering nucleare.

a)  Calcolare il numero di centri di scattering intercettati dal fascio

b)  Assumendo una sezione d’urto di 10 mb per una interazione, quale frazione del fascio incidente viene diffusa? (ρ_Cu = 8.96 g/cm³ A=63)

Soluzione

a) La densità di centri di scattering è

e il numero di centri

b) La frazione di fascio diffusa è data dal rapporto

n

= ρ ^N

A = 8.96 6.02 ⋅10

63 = 0.856 ⋅10

cm

= 0.856 ⋅10

m

N

= n

S Δx = 0.856 ⋅10

× 4 ⋅10

×1⋅10

= 3.42 ⋅10

φ ^(x)

φ

^{= 1− e}

−σ n_bx

( )

σ ⁿ

x = 10 ⋅10

⋅10

× 0.856 ⋅10

× 0.1 = 8.56 ⋅10

<< 1 φ ^(x)

φ

^{= 1− e}

−σ n_bx

( ) ^{≈ σ n}

^{x = 8}

^{56 ⋅10}

12

Es. 6- Per un certo bersaglio nucleare il 10^-6% di un fascio di neutroni incidenti è diffuso. Se la densità della targhetta è 4.1×10^-3 kg/m³, A=30 e lo spessore del bersaglio 10^-8 m, calcolare la sezione d’urto totale dei neutroni.

Soluzione

La frazione di fascio di neutroni diffuso è

Poiché tale frazione <<1, sviluppiamo in serie di potenze al primo ordine l’esponenziale

La densità dei centri di scattering è

Calcoliamo quindi la sezione d’urto

φ ^(x)

φ

^{= 1− e}

−σn_bx

( ) ^{= 10}

σ n

x = φ ^(x) φ

σ = φ (x)

φ

⁼

10

0.823⋅10

×10

= 1.21⋅10

m

= 1.21⋅10

cm

= 1.21⋅10

barn n

= ρ ^N

A = 4.1⋅10

6.02 ⋅10

30 ⋅10

= 0.823⋅10

m

Fisica Nucleare e Subnucleare – Esercitazione 2 Paolo Maestro

Es. 7- Particelle α con energia cinetica T=6 MeV prodotte da una sorgente radioattiva sono scatterate da nuclei di ¹⁹⁷Au. Ci si aspettano deviazioni dalla sezione d’urto di Rutherford? (giustificate matematicamente oltre che fisicamente la risposta)

Soluzione

Il massimo avvicinamento della particella al nucleo si ricava dalla formula

Una stima delle dimensioni del raggio di un nucleo di Au si ottiene dalla formula

Poiché la particella α resta molto distante dal nucleo e quindi dal raggio di azione delle forze nucleari. Pertanto non ci si aspettano deviazioni dalla formula della sezione d’urto di Rutherford.

14

T

= 1

2 mv

= Zze

4πε

d

⇒ d

= Zze

4πε

T

= Zze

!c

4πε

!cT

= Zzα !c T

d

= Zzα !c

T

= 79 × 2 ×197 MeV fm

137× 6 MeV = 37.8 fm R

=1.2 A

fm=1.2 197

fm=7 fm

d

>> R

Es 8- Qual è il parametro di impatto minimo per deflettere una particella a di 5 MeV su di un nucleo di Pb di almeno 1° ? E di almeno 30°? Qual è il rapporto fra le probabilità di una deflessione >30° e una deflessione >1°?

Soluzione

Applichiamo la formula con Z=82 (Pb), z=2, T

tan θ

2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ = Zze

8πε

T

b b = Zze

8πε

T

tan

θ 2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ θ >θ

⇒ b < Zze

8πε

T

tan

θ

2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

θ >1° = 0.017 ⇒ b < 9⋅10

82 × 2 × 1.6⋅10 (

)

2 × 5×1.6⋅10

tan

0.017 2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ = 2706 fm

θ > 30° = 30 × 0.017 ⇒ b < 88 fm

Fisica Nucleare e Subnucleare – Esercitazione 2 Paolo Maestro

Calcoliamo ora le probabilità di deflessione di un angolo > θ₀ utilizzando la sezione d’urto Rutherford

Il rapporto tra le probabilità è uguale al rapporto fra le sezioni d’urto

16

d

σ

dΩ(E,

θ

197 137 E(MeV)

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

2 1

sin⁴

θ

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

fm²sr⁻¹

σ(θ >θ₀) = dσ dΩdΩ

θ>θ0

∫

2z² 16

197 137 E(MeV)

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

2

sin⁻⁴ θ 2

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

θ0

π

∫

= 8π ^Z

2z² 16

197 137 E(MeV)

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

2

sin⁻³ θ 2

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

θ0

π

∫

2z² 16

197 137 E(MeV)

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

2

x⁻³

sinθ0

2 1

∫

= 8π ^Z

2z² 16

197 137 E(MeV)

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

2

−2 x⁻²

sinθ0

2

⎛ 1

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ = 16π ^Z

2z² 16

197 137 E(MeV)

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

2

sin⁻²θ₀ 2 −1

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ fm²sr⁻¹

σ ⁽ θ > 30°)

σ ⁽ θ > 1°) = ( sin

15° −1 )

sin

0.5° −1

( ) ^{= 10}

-3

Es 9- Una particella α di energia 10 MeV urta un nucleo di Au. Calcolare i valori dell’energia di rinculo del nucleo per parametri di impatto b=10^-12 cm e b=10^-10 cm.

Soluzione

Applichiamo la formula

per trovare gli angoli di scattering corrispondenti ai parametri di impatti suddetti.

Z=79 (Au), z=2, T_α=10 MeV

A pag. 44 Lez.1, abbiamo ricavato l’energia acquistata dal nucleo

tan θ 2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ = Zze

8πε

T

b = Zzα!c 2T

b

b =10

cm=10 fm ⇒ tan θ 2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ = Zz α !c

2T

b = 79 × 2 ×197

2 ×137×10 ×10 =1.1359 ⇒ θ = 97.3°

b =10

cm=10

fm ⇒ tan θ 2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ = Zz α !c

2T

b = 79 × 2 ×197

2 ×137×10 ×10

= 0.011359 ⇒ θ =1.3°

E

= 2m

m

( 1− cosθ

)

m

+ m

( )

^E

Fisica Nucleare e Subnucleare – Esercitazione 2 Paolo Maestro 18

L’energia è espressa in funzione dell’angolo di scattering nel SCM, mentre qui abbiamo ricavato l’angolo di scattering del nucleo in SLAB.

La relazione tra i due angoli è stata ricavata a pag.46 Lez. 1

Osservando che si ricava che

Calcoliamo ora l’energia finale del nucleo per i due angoli di scattering calcolati tan

θ

θ

cos

θ

m

= 2 ×10

MeV/c

m

= 4 ×10

MeV/c

⇒ m

m

≈ 50 tan θ

≈ tan θ

⇒ θ

≈ θ

E

= 2m

m

( 1− cosθ

)

m

+ m

( )

^E

^≈

2m

( 1− cosθ

)

m

E

b =10 fm ⇒θ = 97.3° ⇒ E

≈ 2 × 4⋅10

× 1− cos97.3° ( )

2⋅10

10 = 0.45 MeV b =10

fm ⇒θ =1.3° ⇒ E

≈ 2 × 4⋅10

× 1− cos1.3° ( )

2⋅10

10 =1.03⋅10

MeV

Es 10- Un elettrone di momento 330 MeV/c è diffuso di un angolo di 10° da un nucleo di calcio (Z=20). Assumendo che non ci sia rinculo, calcolare il momento trasferito e la lunghezza di de-Broglie ridotta ad esso associata.

Calcolare la sezione d’urto differenziale di Mott e di quale fattore essa è ridotta se il nucleo di calcio (A=40) ha una distribuzione di carica sferica e omogenea.

Soluzione

Il momento trasferito è

La lunghezza d’onda di de-Broglie

Il fattore di forma di una distribuzione di carica sferica e omogenea è

Per calcolare il valore corrispondente a q serve conoscere R.

Possiamo stimarlo dalla relazione

q = 2 psin θ 2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ = 660sin(5

) = 57.5 MeV/c

! = " c

qc = 197.3 MeV fm

57.5 MeV = 3.43 fm

F(q) = 3!³

R³q³ −qR

! cos qR

!

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ + sin qR

!

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥

R =1.2 ⋅ A^1/3

fm = 4.1 fm ⇒

! =

λ ^=1.20

Fisica Nucleare e Subnucleare – Esercitazione 2 Paolo Maestro 20

dσ dΩ

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

Mott

*

= Z

α

( ) !c

4E

sin

θ

2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

cos

θ 2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ F(q

)

= 32.74 fm

sr

F(q) = 3!³

R³q³ −qR

! cos qR

!

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ + sin qR

!

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥ = 0.864