Esercizio 454 a. Trova le equazioni delle due circonferenze con il centro sull’asse

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Geometria Analitica Gianluca Ferrari Circonferenza e Parabola

Esercizio 454

a. Trova le equazioni delle due circonferenze con il centro sull’asse 𝑦 tangenti alla parabola e all’asse 𝑥.

Anzitutto, determiniamo l’equazione della parabola noti vertice 𝑉(0; 4) e fuoco 𝐹 (0;¹⁵₄).

{

𝑏 = 0

−Δ 4𝑎 = 4 1 − Δ

4𝑎 =15 4

⟹ { 𝑏 = 0 Δ = −16𝑎

1 − Δ = 15𝑎 ⟹ {𝑎 = −1 𝑏 = 0 𝑐 = 4 La parabola ricercata avrà equazione 𝛾 ∶ 𝑦 = −𝑥²+ 4.

Il centro della circonferenza appartiene all’asse 𝑦, quindi è del tipo 𝐶(0; 𝑦_𝐶) e capita che

−𝑎

2 = 0 ⟹ 𝑎 = 0

Per questo motivo, l’equazione della circonferenza ricercata è del tipo 𝑥²+ 𝑦² + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0.

Siccome la circonferenza ha centro sull’asse 𝑦 ed è tangente all’asse 𝑥, allora l’origine 𝑂(0; 0) appartiene alla circonferenza (si vede con un disegno), da cui, sostituendo le coordinate di 𝑂 nell’equazione si ricava 𝑐 = 0; dunque l’equazione della circonferenza si riconduce ad essere 𝑥²+ 𝑦²+ 𝑏𝑦 = 0.

A questo punto sfruttiamo la condizione di tangenza tra la circonferenza e la parabola, mettendole a sistema e ponendo il Δ = 0.

{𝑥²+ 𝑦²+ 𝑏𝑦 = 0 𝑦 = −𝑥²+ 4

Da qui si deduce che 𝑥² = 4 − 𝑦 e sostituendo nella prima equazione si ha 4 − 𝑦 + 𝑦²+ 𝑏𝑦 = 0

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nonché

𝑦²+ (𝑏 − 1)𝑦 + 4 = 0 Essendo Δ = 0, si ha

(𝑏 − 1)²− 16 = 0 ⟹ 𝑏²− 2𝑏 − 15 = 0 ⟹ (𝑏 − 5)(𝑏 + 3) = 0 Le soluzioni del problema si hanno per 𝑏 = −3 oppure 𝑏 = 5.

Le circonferenze ricercate hanno equazioni 𝒞₁ ∶ 𝑥²+ 𝑦²− 3𝑦 = 0 e 𝒞₂ = 𝑥² + 𝑦²+ 5𝑦 = 0.

b. Determina le coordinate dei punti di contatto tra le due circonferenze e la parabola.

Per determinare i punti di intersezione fra le due coniche basta metterle a sistema – cosa che abbiamo già fatto nel punto precedente, ottenendo l’equazione

𝑦²+ (𝑏 − 1)𝑦 + 4 = 0 Se 𝑏 = −3 abbiamo

𝑦² − 4𝑦 + 4 = 0 ⟹ (𝑦 − 2)² = 0 ⟹ 𝑦 = 2 mentre, ricordando la sostituzione 𝑥² = 4 − 𝑦, si ha

𝑥² = 2 ⟹ 𝑥 = ±√2

Quindi la prima circonferenza e la parabola si intersecano in (±√2; 2).

Se invece 𝑏 = 5 si ha

𝑦² + 4𝑦 + 4 = 0 ⟹ (𝑦 + 2)² = 0 ⟹ 𝑦 = −2 quindi

𝑥² = 6 ⟹ 𝑥 = ±√6

e i punti di intersezione fra la seconda circonferenza e la parabola sono (±√6; −2).

c. Calcola l’area del quadrilatero che ha per vertici i quattro punti appena determinati.

È facile osservare che i punti determinati formano un trapezio, come mostrato nella figura sottostante.

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Calcoliamone l’area nel seguente modo:

𝐴 = (𝐷𝐸 + 𝐹𝐺)ℎ 2 dove 𝐷𝐸 = 2√6, 𝐹𝐺 = 2√2 e ℎ = 4, quindi

𝐴 = (2√6 + 2√2) ⋅4

2= 4(√6 + √2)

Esercizio tratto da:

Bergamini M., Barozzi G., Trifone A., Matematica.blu 2.0 – Seconda edizione, vol. 3, Bologna, Zanichelli, 2016