1) In un sistema di coordinate sferiche `e dato il seguente campo elettrostatico: E = a/r ˆer+ a/(r tan θ) ˆeθ per r &lt

Testo n. 0 - Cognome e Nome:

UNIVERSIT `A DEGLI STUDI DI PISA - FACOLT `A DI INGEGNERIA INGEGNERIA AEROSPAZIALE: CORSO DI FISICA E ELETTRONICA

INGEGNERIA DELLA SICUREZZA INDUSTRIALE E NUCLEARE:

CORSO DI ELETTROMAGNETISMO Prova n. 2 - 24/11/2007

Negli esercizi seguenti le coordinate polari sferiche vengono indicate con i simboli r,θ,φ, dove r `e la distanza dall’origine, θ `e l’angolo polare (colatitudine) e φ `e l’azimut; le coordinate cilindriche vengono indicate con i simboli ρ,φ,z, dove ρ `e la distanza dall’asse polare, φ `e l’azimut e z `e la quota; le coordinate cartesiane vengono indicate con i simboli x,y,z. Quando pi`u tipi di coordinate sono usati nello stesso esercizio, salvo avviso contrario i diversi sistemi sono associati nel modo usuale: origini coincidenti, assi polari coincidenti tra loro e coincidenti con l’asse z, origine degli azimut coincidente con il semiasse x > 0, ecc.

1) In un sistema di coordinate sferiche `e dato il seguente campo elettrostatico: E = a/r ˆe_r+ a/(r tan θ) ˆe_θ per r < r0 e E = (a/r + b/r²) ˆer+ a/(r tan θ) ˆeθper r > r0, dove a = 11.3 V, b = 3.16 V · m e r0 = 0.824 m.

Determinare la densit`a della distribuzione di carica lineare, in pC/m, uniformemente presente sull’asse polare.

A 0 B 269 C 449 D 629 E 809 F 989

2) Nel caso del problema precedente (1) determinare la densit`a di carica superficiale, in pC/m², nel punto di coordinate r = r₀, θ = 0.617 rad, φ = 0.

A 0 B 23.2 C 41.2 D 59.2 E 77.2 F 95.2

3) In un sistema di coordinate cilindriche `e data una distribuzione volumetrica di carica elettrica con la seguente densit`a: ρc = k cos²φ, con k = 9.81 µC/m³, per ρ < 2 cm e ρc= 0 altrove. Si consideri un cilindro S, di altezza 19.8 cm e raggio 4.34 cm, avente come asse l’asse z. Determinare il flusso del campo elettrico, in V · m, uscente da S attraverso le sue basi.

A 0 B 210 C 390 D 570 E 750 F 930

4) Nel caso del problema precedente (3) determinare il flusso del campo elettrico, in V · m, uscente da S attraverso la sua superficie laterale.

A 0 B 138 C 318 D 498 E 678 F 858

5) Determinare il lavoro, in joule, necessario per comprimere dal raggio 5.41×10⁻³ m al raggio 2.73×10⁻³m una distribuzione superficiale sferica e uniforme di carica elettrica q = 3.28 × 10⁻⁹ C

A 0 B 1.57 × 10⁻⁶ C 3.37 × 10⁻⁶ D 5.17 × 10⁻⁶ E 6.97 × 10⁻⁶ F 8.77 × 10⁻⁶

6) In un sistema di coordinate cilindriche `e dato il seguente potenziale elettrostatico: V = V₀sin kρ + V₀cos hφ, con V₀ = 4.17 V, k = 4.49 m⁻¹ e h = 1.08. Determinare il modulo del campo elettrico, in V/m, nel punto P di coordinate ρ = ρ0 = 26.6 cm, φ = φ0 = 0.950 rad e z = z0 = 21.5 cm.

A 0 B 16.0 C 34.0 D 52.0 E 70.0 F 88.0

7) Nella situazione del problema precedente (6), si consideri ora una particella, di massa 4.59 g e carica 3.62 × 10⁻⁴ C, vincolata a muoversi senza attrito lungo la semiretta φ = φ₀, z = z₀. La particella viene lanciata dal punto P nel verso della coordinata ρ crescente. La velocit`a iniziale impressa alla particella `e quella minima necessaria affinch`e la particella raggiunga il punto Q di coordinata ρ = ρ0+3π/k. Determinare con quale velocit`a, in m/s, la particella raggiunge il punto Q.

A 0 B 1.13 C 2.93 D 4.73 E 6.53 F 8.33

8) Tre sottili lamine conduttrici A, B e C hanno forma sferica e raggi rispettivi R_A= 2.56 cm, R_B = 5.42 cm e R_C = 6.50 cm. Le tre sfere sono concentriche e la sfera esterna C `e messa a terra. Sulla sfera A viene depositata una carica di 1.08 nC e sulla sfera B una carica di 2.40 nC. All’equilibrio elettrostatico determinare il potenziale della sfera A in volt.

A 0 B 116 C 296 D 476 E 656 F 836

9) In un sistema di coordinate sferiche, le armature A e B di un condensatore conico sono definite dalle seguenti relazioni: 3.66 cm < r < 11.6 cm, 0.385 rad < φ < 3.02 rad (valide per entrambe le armature) e θ = θ_A = π/4 rad per l’armatura A, θ = θ_B = θ_A+ 1.99 mrad per l’armatura B. Dopo aver caricato il condensatore con una carica Q si osserva che il campo elettrico all’interno del condensatore, a parte piccoli effetti di bordo, vale E = E_θˆe_θ, con E_θ= a/(r sin θ) e a = 4.38 V. Determinare la carica Q in coulomb.

A 0 B 2.71 × 10⁻¹² C 4.51 × 10⁻¹² D 6.31 × 10⁻¹² E 8.11 × 10⁻¹² F 9.91 × 10⁻¹²

10) Nel caso del problema precedente (9) determinare la capacit`a del condensatore in nF.

(Vale la relazione d/dx ln[tan(x/2)] = 1/ sin x)

A 0 B 0.119 C 0.299 D 0.479 E 0.659 F 0.839

Testo n. 0