Università degli Studi di Siena
Correzione Prova scritta di Matematica Generale (A.A. 18-19) 19 settembre 2019
Compito unico
) Indichiamo con la proposizione composta e con la proposizione composta , la tavola di verità della proposizione proposta è la seguente:
.
La proposizione composta data è una tautologia.
) In un numero di quattro cifre composto solo con cifre dispari abbiamo per ogni cifra
distinti modi di scelta, i numeri possibili sono pertanto . Se il numero deve presentare almeno una volta la cifra , consideriamo i numeri che non presentano mai la cifra , per tali numeri abbiamo modi distinti per ogni cifra e pertanto tali numeri sono , concludiamo che i numeri che presentano almeno una volta la cifra sono
.
) , ,
.
Per risolvere la disequazione poniamo che equivale a
ovvero ; il fattore è maggiore di per mentre
per , di conseguenza il prodotto è negativo quando
.
)
.
Per , , e è -piccolo sia di che di , pertanto
.
) : , soddisfatta per ,
.
; funzione pari, la studiamo solo per ed operiamo per simmetria.
Segno ed intersezioni con gli assi: se che
equivale a , verificata per , funzione non negativa in ;
, unica intersezione con gli assi nell'origine . Limiti agli estremi del :
, asintoto
verticale di equazione .
Crescenza e decrescenza: .
. Funzione strettamente crescente in . Minimo assoluto in . Concavità e convessità: .
. Funzione strettamente convessa in . Grafico:
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5
grafico funzione
)
7) .
.
8) Il piano tangente alla superficie ha equazione . ,
, . Equazione del piano tangente: , oppure .
