Meccanica 7

Meccanica 7

28 marzo 2011

Corpi estesi. Forze interne al sistema

Centro di massa e suo significato dinamico

1° eq. cardinale. Conservazione della quantita` di moto Sistemi continui. Densita` di materia

Massa inerziale definita indipendentemente dal peso Momento angolare e di forza. Cambio di polo

Coppia di forze

Momento delle forze interne

Sistema di forze parallele. Centro di forza

Sistemi di punti

• Finora abbiamo considerato sistemi formati da un solo punto materiale

• Ora considereremo sistemi formati da più punti materiali

• Accanto alle forze che si esercitano tra il sistema e l’ambiente, dette forze esterne

(rispetto al sistema) abbiamo ora forze che si esercitano tra punti appartenenti al sistema, dette pertanto forze interne

2

Forze interne ed esterne

• Per ogni punto i del sistema diciamo Fⁱ la forza totale agente sul punto

• Questa puo` essere pensata come somma di due termini, uno dovuto alle forze interne al sistema e uno dovuto a quelle esterne

• Sia le forze interne che esterne possono essere conservative o dissipative

E i I

i

i F F

F  





3

Risultante delle forze interne

• Abbiamo un primo importante teorema: la risultante di tutte le forze interne di un sistema e` nulla

• Questo e` conseguenza del 3^o principio della dinamica: ad una forza agente sul punto i e

dovuta al punto j, corrisponde la forza coniugata uguale e opposta alla precedente

• La risultante della coppia e` zero e quindi la somma delle risultanti e` pure zero

 0

i I

Fi

I

fij

    



I n I

n I

n I

I I

n I

I

n j

I nj j

I j j

I j n

i j i

I ij n

i

I i

f f

f f

f f

f f

f

f f

f f

F

) 1 ( 2

1 2

23 21

1 13

12

2 2 1

1 ,...

1 ,...

1

...

...

...

...

...









 









































    



























 

I

fji

4

Grandezze meccaniche del sistema

• Per ogni punto Pi del sistema possiamo definire le grandezze meccaniche QM, momento angolare, energia cinetica

• Possiamo ora definire le corrispondenti grandezza meccaniche del sistema come somma delle

grandezze dei punti componenti – Massa:

– QM:

– Momento angolare:

– Energia cinetica:







i

i i i

i m v

p

P  







i

i i i

i

i r m v

L

L   

2

2 1

i i

i i

i m v

K

K ^









i

mi

M

5

Centro di massa

• E` un punto ideale dello spazio la cui posizione e` definita da

• Attenzione che questa e` un’uguaglianza vettoriale

• Cio` significa che le coordinate del CM (p.e.

in un sistema cartesiano) sono







i

i i

i i

CM m

r m r











i i i

i i

CM m

x m

x







i i i

i i

CM m

y m

y







i i i

i i

CM m

z m z

Media dei raggi vettori pesata sulle masse dei punti

6

Velocita` del CM

• Calcoliamo la velocita` del CM

• Ne deriva l’importante teorema: la QM di un sistema e` uguale alla QM del CM, considerato come un punto materiale di massa M e velocita` v

M P m

v m m

dt r m d dt

r v d

i

i i

i i

i i i

i i CM CM

 



     









Media delle

velocita` pesata sulle masse dei punti

vCM

M P 



7

Media delle accelerazioni pesata sulle masse dei punti

Accelerazione del CM

• Calcoliamo l’accelerazione del CM

• Ricordiamo la 2

legge della dinamica per il punto generico i

• e introduciamola nell’equazione precedente

M a m m

dt v m d dt

v

a d ⁱ

i i

i i i

i i CM CM











 

 

E i I

i i

i

ia F F F

m       

8

Moto del CM

• Troviamo

• L’ultima uguaglianza deriva dal fatto che la risultante delle forze interne e` nulla

• D’altra parte

 

i

E i I

i i

i i

CM m a F F F F F

a

M 





dt P p d

dt d dt

p d dt

v m d a

m a

M

i i i

i i

i i i

i i CM

 



 

 









9

Prima equazione della dinamica dei sistemi

• Abbiamo ottenuto l’importante teorema:

• Il CM si muove come un punto materiale in

cui sia concentrata tutta la massa del sistema e a cui sia applicata la risultante delle forze esterne

• Prima equazione della dinamica dei sistemi

• O prima equazione cardinale della dinamica

E

CM F

dt P a d

M  

  

10

Proprieta` del CM

• Come risulta dalle definizioni di

posizione, velocita` e accelerazione del CM, questo punto ci da` informazioni

sulle proprieta` medie del sistema ma nulla ci dice sul moto dei singoli punti

11

Distribuzione continua di massa

• Come sappiamo la materia è suddivisibile in unità discrete, gli atomi e le molecole

• Nel volume occupato da un corpo macroscopico, c’è un numero estremamente grande di tali

costituenti elementari

• Si può allora ritenere con buona approssimazione che entro questi corpi la massa sia distribuita con continuità

• Questa assunzione permette di applicare i metodi del calcolo differenziale e integrale

• Introduciamo a tale scopo una nuova grandezza

12

Densità di massa

• Massa distribuita in un volume

– Densità spaziale

• Massa distribuita su di una superficie

– Densità superficiale

• Massa distribuita lungo una linea

– Densità lineare

• Dimensioni della densità

V

 M

 dV

 dM





  M A



  dM dA



  dM dl



  M l

omogenea generale

  ^{  ML}



   ^{ ML}



   ^{ ML}

Distribuzione continua di massa

• Viceversa si può trovare la massa:

– in un volume V

– su di una superficie S – lungo una linea L





V

dV

M 



M  dA

S





M  dl

L



14

Centro di massa in un corpo continuo

• Riprendiamo la definizione di CM

• Per un corpo con distribuzione continua di materia bastera` sostituire le

sommatorie con integrali e le masse elementari con masse infinitesime







i i i

i i

CM m

r m r





 





corpo corpo

corpo

CM rdm

dm M dm r

r 



 1

15

Centro di massa in un corpo continuo

• Ove abbiamo indicato con M la massa totale del corpo

• Le masse infinitesime sono contenute in volumi infinitesimi

• Se la densita` e` uniforme, gli integrali si riducono a integrali puramente geometrici





corpo

dm M

dV dm  

 

















corpo corpo

corpo

corpo corpo

corpo corpo

corpo corpo

CM rdV

dV V dV r dV

dV r dV

dV r

dm dm r

r 









 1









16

CM di sottoinsiemi e CM globale

• Cerchiamo il CM di un corpo non connesso

17

1

2

• La prima sommatoria si riferisce al corpo 1 (di massa M₁), la seconda al corpo 2 (di massa M₂)



 



 





  

j j j

k k k

i i i

CM m r m r

r M M m

r 1  1  



 



 



 



 



 



 

    

j j j

k k k

j j j

k k k

CM m r

M M

r M M m

M r M

M m r M

M m M

r M    

2 2

1 1

2 2 1

1 1 1

1

CM di sottoinsiemi e CM globale

• La prima parentesi contiene il CM del corpo 1 e la seconda quella del corpo 2

• Quindi il CM globale e` il CM dei due sottoinsiemi

18

M

r M r

r_CM M¹^{CM1 2}^CM2

 



CM di due corpi puntiformi

• Siano M e m le masse

• Prendiamo come origine la posizione di uno dei due corpi (l’1 p.e.) allora r₁=0

• Quindi il CM giace sulla congiungente dei due punti e la sua distanza da essi e` inversamente

proporzionale alle loro masse

19

2 2

1 r

m M

m m

M

r m r

r_CM M  

 



 

1

r₂ 2

CM di due corpi puntiformi

• Detto

i vettori posizione dei due corpi rispetto al CM si possono scrivere

20

m r M

r M 

 

2

1 2

r₂ CM

r₁

m r M

r m 

 

1 

1

2 r

r

r    

Corpi con alta simmetria

• Se un corpo e` simmetrico rispetto ad un punto, un asse o un piano, il CM giace nel punto, sull’asse o sul piano, rispettivamente

• Se esistono piu` assi o piani di

simmetria, il CM si trova nella loro intersezione

21

Conservazione della QM

• Se il sistema e` isolato, o le forze esterne

hanno risultante nulla, e quindi , la QM si conserva

• In tal caso il CM si muove di moto rettilineo uniforme

• Attenzione: la QM dei singoli punti puo`

cambiare nel tempo, e` la loro somma che rimane costante

 0 dt

P d 

. const P 

 0 FE

M v_CM P

  

22

Conservazione solo in alcune direzioni

• La legge

• E` una legge vettoriale, per cui puo`

accadere che la risultante delle forze esterne, pur non essendo nulla, abbia una o due componenti nulle

• In tal caso la QM si conserva nelle direzioni corrispondenti

FE

dt P

d  



 0

 _k^E

k F

dt

dP P_k  const.

23

Massa inerziale

• La conservazione della QM permette di definire la massa dinamicamente, senza riferimento al peso

• Consideriamo un sistema costituito da due corpi fermi e da una molla compressa di massa trascurabile che li collega

• Lasciando espandere la molla, la QM del sistema non varia, poiche’ l’unica forza in

gioco, quella della molla, e` interna al sistema

24

Massa inerziale

• Quando la molla ha finito di espandersi

• Passando ai moduli

• Cioe` e` possibile misurare la massa di un corpo qualunque, rispetto ad un corpo

campione, attraverso misure di velocita`

2 0

2 1

1v  m v  m  

2 1 1

2 v

m v m 

25

Massa inerziale

• Analizzando l’urto tra due corpi, Newton

arrivo` alla conclusione che nell’urto tra due corpi isolati, la variazione di velocita` di uno e` in rapporto costante con la variazione

dell’altro

Velocita` iniziali Velocita` finali ²⁶

Massa inerziale

• Newton estese poi la conclusione ad altri tipi di interazione, ad esempio quella elastica

(dovuta ad una molla di massa trascurabile)

27

Massa inerziale

• In ogni interazione tra due punti materiali

isolati, il rapporto delle rispettive variazioni di velocita` ha sempre lo stesso valore e non dipende dal tipo di interazione

• k¹² dipende solo dalla coppia di punti

• (Poiche’ le variazioni di velocita` hanno segno opposto, il segno negativo serve per rendere k¹² positiva)

12 2

1 k

v

v  





28

Massa inerziale

• Se si assegna arbitrariamente una massa m¹ ad uno dei due punti, la massa m² dell’altro puo` quindi essere definita con riferimento al primo

• Sostituendo nella relazione precedente

abbiamo un modo operativo di misura della massa inerziale

1 12 2

m k  m

2 1 1

2

v v m

m



 



29

Momento angolare

• Supponiamo di essere in un sistema inerziale

• Il momento angolare totale di un sistema di punti {Aⁱ} rispetto al polo fisso O e`

• Vogliamo trovare come cambia il momento angolare se lo calcoliamo rispetto ad un altro polo Q





i

i i

O r p

L  

pⁱ

O rⁱ

Aⁱ

30

Notare che la QM e` sempre

quella relativa al sistema

inerziale

Momento angolare

• In generale non e` necessario che il polo Q sia fisso, potendo questo

muoversi di moto arbitrario pⁱ rⁱ’ Q O rⁱ Aⁱ r^Q

• L’espressione del momento angolare rispetto a Q e`

• La relazione tra le distanze di Aⁱ dai due poli e`

• Ove r^Q(t) e` la distanza (orientata e dipendente dal tempo) tra i poli





i

i i

Q r p

L _' 

Q i

i r r

r^'    

31

Momento angolare

• Il calcolo del momento da`

• Il momento dipende dunque dal polo scelto, a meno che la QM non sia nulla

 

 

r L

p r

L p

r p

r

p r

r p

r L

Q O

i i Q

O i

i Q

i

i i

i

i Q

i i

i i

Q

 





 

















 













































32

Momento delle forze

• Il momento risultante di tutte le forze agenti sul sistema di punti {Aⁱ} rispetto al polo fisso O e`

• Similmente a quanto fatto per il momento angolare, vogliamo trovare come cambia il

momento delle forze se lo calcoliamo rispetto al polo (che puo` essere mobile) Q





i

i i

O r F



33

Momento delle forze

• L’espressione del momento delle forze rispetto a Q e`

• Il calcolo da`

• Ove F e` la risultante delle forze: a meno che questa non sia nulla, il momento dipende dal polo





i

i i

Q r F

 ^'



 

 

r

F r

F r

F r

F r

r F

r

Q O

i i Q

O i

i Q

i

i i

i

i Q

i i

i i

Q

 



 

 

 



 

 





















































 ^'

34

Coppia di forze

• Un caso particolare importante e` quello di due forze uguali e opposte (non

agenti sulla stessa retta)

• In tal caso la risultante e` nulla e il momento e` indipendente dal polo scelto





F r

F r

F r

F

O r

 

 



 

 

 

 





























 

O F¹

F²

r¹ r²

r¹²

35

Coppia di forze

• Il momento risultante e` un vettore

perpendicolare al piano individuato dalle forze e dal vettore r

• Il modulo e`

• Ove b e` il braccio della coppia, ovvero la distanza tra le rette d’azione delle due

forze

b F F

O  r12 1 sin  1

^{  }

F¹

F² r¹²

^O

 b

36

Momento delle forze

• Approfondiamo l’argomento considerando il momento delle forze interne e il momento delle forze esterne, per un polo generico, fisso o in moto

• Dimostriamo ora un importante risultato valido per il momento delle forze interne

E O I

O i

E i i

i

I i i

i

i i

O r F r F r F  

^ 







37

Momento delle forze interne

• Gli addendi della sommatoria

• si possono raggruppare in coppie coniugate secondo il 3^o principio della dinamica

• Il momento relativo a una qualunque di tali coppie e`





i

I i i

I

O r F



I ji j

I ij i

ij r f r f

    



rⁱ

r^j f^ij

f^ji O

e poiche’ le due forze sono uguali ed opposte ^_ij ^





38

Altrimenti il momento non sarebbe

nullo

Momento delle forze interne

• La differenza dei raggi vettori ha la direzione della congiungente i due punti e poiche’ anche le forze di interazione hanno questa direzione, ne segue

• Il momento totale delle forze interne risulta quindi nullo perche’ e` somma di termini tutti nulli

 0

 ^

rⁱ

r^j f^ij

f^ji O

rⁱ-r^j 2 0

1 





 i j i

ij I

O 

^{ }

39

Momento delle forze

• Visto in altro modo, abbiamo l’importante

risultato che, per un polo arbitrario, il momento delle forze e` uguale al solo momento delle

forze esterne

• Questo deriva da due proprieta` della 3^a legge della dinamica:

– Le forze di interazione sono uguali ed opposte – Le forze hanno la stessa retta d’azione

E O

O 

  ^

40

Sistema di forze parallele

• Sia u il versore che individua la direzione delle forze

• La risultante delle forze risulta parallela a u

• Il momento risultante delle forze rispetto ad un polo O

u F u

F u

F F

F

i i i

i i

i   



  



 



 





  

 





r F

r

i i i

i i i

i i i

i i i

O        

 





 













   



41

Sistema di forze parallele

• Introduciamo il centro delle forze parallele

• Si dimostra facilmente che la posizione del centro non dipende dal polo scelto

• Per il momento di forza otteniamo dunque

• Questo significa che un sistema di forze

parallele e` equivalente alla forza risultante F applicata nel centro di forza

 





 

i

i i O

 

 

 

 

 











i i i

i i

C F

F r r





42

CM e peso

• Consideriamo un corpo (p.e. continuo) sottoposto alla forza peso: la risultante di tutte le forze peso agenti su ciascun elemento del corpo e`

• Il centro delle forze peso e` detto centro di gravita` e coincide con il CM

• La forza risultante (il peso) e` applicata a tale punto

g M dm

g P

corpo



 







43

CM

i i

i i i

i i

i i i

i i

i i i

CG r

m m r g

m g m r P

P r

r    

    













CM e peso

• Rispetto ad un polo fisso, il momento risultante e`

• ovvero e` uguale al momento della risultante rispetto allo stesso polo

P r

g M r

g r

M g

dm r dm

g r

P d

r _{CM CM CM}

corpo corpo

corpo

 















 



       



 



 







   



44

Sistema di forze qualsiasi

• Un sistema di forze non parallele, applicate in punti diversi, non puo`

essere rappresentato, in generale, dalla sola risultante delle forze F

• C’e` bisogno di introdurre anche il

vettore risultante dei momenti di forza 

• Detto in altro modo i vettori F e  sono indipendenti fra loro

45

Sistema di forze qualsiasi

• Vale il seguente risultato, che non dimostreremo

• Scelto un polo, un sistema di forze (applicate in punti diversi) e` equivalente ad una forza (uguale alla risultante delle forze) la cui retta d’azione passi per il polo e ad una coppia di momento uguale al risultante dei momenti rispetto al polo

46