Consideriamo un esperimenento il cui spazio campione ` e Ω e Siano e 1 , . . . , e k gli eventi elementari

Variabili casuali

Consideriamo un esperimenento il cui spazio campione ` e Ω e Siano e ₁ , . . . , e _k gli eventi elementari

e _i ∩ e _j = φ

e 1 ∪ e ₂ ∪ · · · e _k = Ω P(e ₁ ∪ e ₂ ∪ · · · e _k ) = P k

i =1 P(e _i ) = P k

i =1 p _i = 1

Definizione: Una variabile casuale (univariata) ` e una regola che associa ad ogni evento un unico numero reale

X : e _i 7−→ x ∈ R

Una v.c. ` e discreta se i valori che essa assume sono in numero discreto (finito o numerabile).

Una v.c. ` e continua se pu` o assumere un qualsiasi valore in un

intervallo.

Funzione di probabilit` a

Soffermiamoci per il momento alle v.c. discrete.

Definizione: La funzione (o distribuzione) di probabilit` a di una v.

c. discreta X , p(x ), esprime la probabilit` a che X = x p(x ) = P(X = x )

Una variabile casuale discreta ` e nota se lo ` e la sua

distribuzione di probabilit` a, ovvero se sono noti i singoli valori

assunti con le rispettive probabilit` a.

Variabile casuale discreta

X p

x

p

x

p

· · · · · · x

p

A fine di rispettare i postulati, deve essere p i ≥ 0,

k

X

i =1

p _i = 1.

Variabile casuale discreta: esempio

Da un’urna contenente 5 palline bianche e 5 nere estraggo due palline, con reinserimento. Lo spazio campione ` e Ω = {e ₁ = BB, e ₂ = BN, e ₃ = NB, e ₄ = NN}

P(e _i ) = ¹ ₂ · ¹ ₂ = ¹ ₄ .

Associamo all’esperimento descritto la v.c.

X =“numero di palline nere estratte”

e ₁ 7−→ 0

e 2 7−→ 1 p(0) = P(X = 0) = P(e 1 ) = 1 4

e 3 7−→ 1 p(1) = P(X = 1) = P(e 2 ) + P(e 3 ) = 1 2 e 4 7−→ 2 p(2) = P(X = 2) = P(e 4 ) = 1

4

X 0 1 2

p

1/4 1/2 1/4

Variabile casuale discreta: esempio 2

Dalla stessa urna di prima estraggo due palline, questa volta senza reinserimento. Lo spazio campione ` e

Ω = {e 1 = B 1 B 2 , e 2 = B 1 N 2 , e 3 = N 1 B 2 , e 4 = N 1 N 2 } Associamo all’esperimento descritto la v.c.

X =“numero di palline nere estratte”

p(0) = P(B 1 B 2 ) = P(B 1 )P(B 2 |B ₁ ) = 1 2 · 4

9 = 2 9 p(1) = P(B 1 )P(N 2 |B ₁ ) + P(N 1 )P(B 2 |N ₁ ) = 1

2 · 5 9 + 1

2 · 5 9 = 5

9 p(2) = P(N 1 )P(N 2 |N ₁ ) = 1

2 · 4 9 = 2

9

X 0 1 2

p

2/9 5/9 2/9

Funzione di ripartizione

Definizione: La funzione di ripartizione di una v.c. X ` e tale che F : x 7−→ F (x ) = P(X ≤ x )

Esempio:

X 0 1 2

p

1/4 1/2 1/4

F (x ) =



 



 



0 se x < 0

p(0) = ¹ ₄ se 0 ≤ x < 1 p(0) + p(1) = ³ ₄ se 1 ≤ x < 2

1 se x ≥ 2

Propriet` a della funzione di ripartizione

Relazione tra f.r. e distribuzione di probabilit` a F (x ₀ ) = X

x ≤x

P(X = x )

0 ≤ F (x ) ≤ 1

F ` e una funzione non decrescente ovvero

x ₁ < x ₂ ⇒ F (x ₁ ) ≤ F (x ₂ )

Media e varianza di una variabile casuale discreta

Media: EX = P

x xp(x );

Varianza: var X = P

x (x − EX ) ² p(x ) = P

x x ² p(x ) − (EX ) ² Scarto quadratico medio: ` e la radice quadrata della varianza Per trasformate lineari di v.c., Y = a + bX , si ha

EY = a + bEX var Y = b ² var X V.c. standardizzata: Z = ^{√ X −EX}

var X

EZ = 0, var Z = 1.