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Consideriamo un esperimenento il cui spazio campione ` e Ω e Siano e 1 , . . . , e k gli eventi elementari

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Academic year: 2021

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Testo completo

(1)

Variabili casuali

Consideriamo un esperimenento il cui spazio campione ` e Ω e Siano e 1 , . . . , e k gli eventi elementari

e i ∩ e j = φ

e 1 ∪ e 2 ∪ · · · e k = Ω P(e 1 ∪ e 2 ∪ · · · e k ) = P k

i =1 P(e i ) = P k

i =1 p i = 1

Definizione: Una variabile casuale (univariata) ` e una regola che associa ad ogni evento un unico numero reale

X : e i 7−→ x ∈ R

Una v.c. ` e discreta se i valori che essa assume sono in numero discreto (finito o numerabile).

Una v.c. ` e continua se pu` o assumere un qualsiasi valore in un

intervallo.

(2)

Funzione di probabilit` a

Soffermiamoci per il momento alle v.c. discrete.

Definizione: La funzione (o distribuzione) di probabilit` a di una v.

c. discreta X , p(x ), esprime la probabilit` a che X = x p(x ) = P(X = x )

Una variabile casuale discreta ` e nota se lo ` e la sua

distribuzione di probabilit` a, ovvero se sono noti i singoli valori

assunti con le rispettive probabilit` a.

(3)

Variabile casuale discreta

X p

i

x

1

p

1

x

2

p

2

· · · · · · x

k

p

k

A fine di rispettare i postulati, deve essere p i ≥ 0,

k

X

i =1

p i = 1.

(4)

Variabile casuale discreta: esempio

Da un’urna contenente 5 palline bianche e 5 nere estraggo due palline, con reinserimento. Lo spazio campione ` e Ω = {e 1 = BB, e 2 = BN, e 3 = NB, e 4 = NN}

P(e i ) = 1 2 · 1 2 = 1 4 .

Associamo all’esperimento descritto la v.c.

X =“numero di palline nere estratte”

e 1 7−→ 0

e 2 7−→ 1 p(0) = P(X = 0) = P(e 1 ) = 1 4

e 3 7−→ 1 p(1) = P(X = 1) = P(e 2 ) + P(e 3 ) = 1 2 e 4 7−→ 2 p(2) = P(X = 2) = P(e 4 ) = 1

4

X 0 1 2

p

i

1/4 1/2 1/4

(5)

Variabile casuale discreta: esempio 2

Dalla stessa urna di prima estraggo due palline, questa volta senza reinserimento. Lo spazio campione ` e

Ω = {e 1 = B 1 B 2 , e 2 = B 1 N 2 , e 3 = N 1 B 2 , e 4 = N 1 N 2 } Associamo all’esperimento descritto la v.c.

X =“numero di palline nere estratte”

p(0) = P(B 1 B 2 ) = P(B 1 )P(B 2 |B 1 ) = 1 2 · 4

9 = 2 9 p(1) = P(B 1 )P(N 2 |B 1 ) + P(N 1 )P(B 2 |N 1 ) = 1

2 · 5 9 + 1

2 · 5 9 = 5

9 p(2) = P(N 1 )P(N 2 |N 1 ) = 1

2 · 4 9 = 2

9

X 0 1 2

p

i

2/9 5/9 2/9

(6)

Funzione di ripartizione

Definizione: La funzione di ripartizione di una v.c. X ` e tale che F : x 7−→ F (x ) = P(X ≤ x )

Esempio:

X 0 1 2

p

i

1/4 1/2 1/4

F (x ) =

 

 

0 se x < 0

p(0) = 1 4 se 0 ≤ x < 1 p(0) + p(1) = 3 4 se 1 ≤ x < 2

1 se x ≥ 2

(7)

Propriet` a della funzione di ripartizione

Relazione tra f.r. e distribuzione di probabilit` a F (x 0 ) = X

x ≤x

0

P(X = x )

0 ≤ F (x ) ≤ 1

F ` e una funzione non decrescente ovvero

x 1 < x 2 ⇒ F (x 1 ) ≤ F (x 2 )

(8)

Media e varianza di una variabile casuale discreta

Media: EX = P

x xp(x );

Varianza: var X = P

x (x − EX ) 2 p(x ) = P

x x 2 p(x ) − (EX ) 2 Scarto quadratico medio: ` e la radice quadrata della varianza Per trasformate lineari di v.c., Y = a + bX , si ha

EY = a + bEX var Y = b 2 var X V.c. standardizzata: Z = X −EX

var X

EZ = 0, var Z = 1.

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