Definizione 1 Siano A, B insiemi non vuoti, R una relazione tra elementi di A ed elementi di B. Si dice che R `e una relazione funzionale se e soltanto se
∀a ∈ A ∃|b ∈ B tale che (a, b) ∈ R
Se R `e una relazione funzionale tra A e B, la terna ordinata f = (A, B, R) si dice applicazione o funzione tra A e B. A si dice dominio o insieme di partenza di f , B si dice insieme di arrivo di f . La relazione R si chiama grafico di f .
Quando ci si riferir`a ad applicazioni, si supporr`a implicitamente che l’insieme di partenza e l’insieme di arrivo siano non vuoti.
Esempi: Siano A = {1, 2, 3, 4}, B = {a, b, c, d, e} allora R = {(1, a), (2, b), (2, c), (3, d), (4, e)}
non `e funzionale,
R0 = {(1, a), (2, a), (3, b), (4, c)}
`e funzionale
R00 = {(1, a), (2, b)(4, c)}
non `e funzionale.
D’ora in avanti si user`a la notazione f : A → B
per indicare un’applicazione dall’insieme A all’insieme B. Se, inoltre, Rf `e la relazione funzionale tale che f = (A, B, Rf), si porr`a b = f (a) se e solamente se (a, b) ∈ Rf. In questo caso si dice che b `e l’immagine di a mediante f o il valore assunto da f in a. Pertanto il grafico dell’applicazione f `e:
Rf = {(a, f (a)) | a ∈ A}.
Quindi l’applicazione f0 = (A, B, R0) precedentemente introdotta si scriver`a nel modo seguente:
f0 : A → B tale che f0(1) = a, f0(2) = a, f0(3) = b, f0(4) = c.
Chiaramente due applicazioni f : A → B, g : C → D sono uguali se e soltanto se A = C, B = D e ∀a ∈ A f (a) = g(a).
Si osservi che un’applicazione `e una particolare relazione, mentre non `e vero che una qualsiasi relazione `e un’applicazione.
Esempi
1. Siano X e Y insiemi, c ∈ Y . Allora l’applicazione fc : X → Y tale che ∀x ∈ X fc(x) = c si dice applicazione costante di costante valore c
2. sia X un insieme. Allora l’applicazione
idX : X → X tale che ∀x ∈ X idX(x) = x si dice applicazione identica di X
3. f1 : Z → Z tale che ∀n ∈ Z f1(n) = 2n
4. f2 : Z → Z tale che ∀x ∈ Z f2(x) = x2 non `e un’applicazione
5. f3 : P → Z tale che ∀x ∈ P f3(x) = 2x
6. f4 : Q∗ → Q tale che ∀x ∈ Q f4(x) = 1x
7. f5 : Z → Z tale che ∀a ∈ Z f5(a) = a2.
Definizione 2 Data un’applicazione f : A → B e considerato X ⊆ A, si dice immagine di X mediante f il sottoinsieme di B
f (X) = {b ∈ B | (∃a ∈ X)(b = f (a))} = {f (a) | a ∈ X}.
Se Y ⊆ B, si dice controimmagine (o immagine reciproca) di Y mediante f il sottoinsieme di A
f−1(Y ) = {a ∈ A | f (a) ∈ Y }.
Con riferimento agli esempi precedetemente esaminati:
Esempi 1. ∀A ⊆ X, A 6= ∅, fc(A) = {c}; sia B ⊆ Y , allora fc−1(B) = X se c ∈ B mentre fc−1(B) = ∅ se c /∈ B
2. le immagini e le controimmagini di sottoinsiemi di X mediante l’applicazione identica idX : X → X rimangono invariati
3. f0(A) = {a, b, c}, f0({1, 3}) = {a, b}, f0−1({a, b, c}) = A;
4. f1(N) = P∩N, f1−1(D) = ∅; f3(P) = Z, f3−1(P) = {4n | n ∈ Z} 5. f4(Q∗) = Q∗; f5(Z) = {0, 1, 4, 9, 16, 25, . . . }; f5−1({4}) = {±2}.
PROPRIET `A
Sia f : A → B un’applicazione. Allora per ogni X, X0 ⊆ A, e per ogni Y, Y 0 ⊆ B si ha
1. f (X ∪ X0) = f (X) ∪ f (X0)
2. f (X ∩ X0) ⊆ f (X) ∩ f (X0)
3. f−1(Y ∪ Y 0) = f−1(Y ) ∪ f−1(Y 0)
4.. f−1(Y ∩ Y 0) = f−1(Y ) ∩ f−1(Y 0)
Definizione 3 Si dice che una applicazione f : A → B `e ingettiva o iniettiva se e soltanto se
(1) (∀x, x0 ∈ A) ( x 6= x0 ⇒ f (x) 6= f (x0)).
Equivalentemente (1) pu`o essere scritta:
(∀x, x0 ∈ A) ( f (x) = f (x0) ⇒ x = x0).
Esempi 1. L’applicazione costante fc non `e ingettiva (natural- mente se l’insieme X di partenza ha pi`u di un elemento)
2. l’applicazione identica di un qualunque insieme `e ingettiva
3. f0 non `e ingettiva
4. f1, f3, f4 sono ingettive, mentre f5 non `e ingettiva.
Definizione 4 Si dice che un’applicazione f : A → B `e surgettiva o suriettiva se e soltanto se
(2) (∀y ∈ B) (∃x ∈ A tale che f (x) = y).
Equivalentemente (2) si pu`o scrivere:
f (A) = B.
Esempi 1. Delle applicazioni precedentemente considerate, sol- tanto f3 `e surgettiva.
2. In generale, fermi restando l’insieme di partenza e ”la legge”, se si considera come insieme di arrivo l’immagine dell’applicazione f , si ottiene una nuova applicazione f] che si dice ridotta di f ed
`e surgettiva. In altre parole se
f : A → B, allora
f] : A → f (A) tale che ∀x ∈ A, f](x) = f (x).
3. In riferimento all’applicazione f0, si ha f0(A) = {a, b, c} ⊂ B e quindi f]0 : A → {a, b, c} tale che
f]0(1) = a, f]0(2) = a, f]0(3) = b, f]0(4) = c
4. (f1)] : Z → P tale che ∀n ∈ Z (f1)](n) = 2n;
5. (f4)] : Q∗ → Q∗ tale che ∀x ∈ Q (f4)](x) = 1x
6. (f5)] : Z → {0, 1, 4, 9, 16, . . . } tale che ∀a ∈ Z (f5)](a) = a2.
Definizione 5 Si dice bigettiva o biettiva o biunivoca ogni ap- plicazione che sia contemporaneamente ingettiva e surgettiva.
Esempi Sono bigettive le applicazioni id, (f1)], f3, (f4)], .
Definizione 6 Siano f : A → B, g : B → C. Si dice composta di f e di g l’applicazione
g ◦ f : A → C tale che ∀a ∈ A (g ◦ f )(a) = g(f (a)).
Esempi 1. f : N → N, tale che ∀n ∈ N f (n) = 2n, g : N → Z tale che ∀x ∈ N g(x) = −x.
Allora
g ◦ f : N → Z tale che ∀n ∈ N (g ◦ f )(n) = g(f (n)) = −2n
2. f : Q r {1} → Q, tale che ∀x ∈ Q r {1} f (x) = x−11 g : Q → Q tale che ∀y ∈ Q g(y) = y2.
Allora
g ◦ f : Q r {1} → Q tale che
∀x ∈ Q r {1} g ◦ f (x) = g(f (x)) = 1
(x − 1)2.
3. f : Z → Z tale che ∀n ∈ Z, f (n) = n2 + n, g : Z → Z tale che ∀m ∈ Z, g(m) = −m.
Allora
(g ◦ f )(n) = g(f (n)) = g(n2 + n) = −n2 − n;
(f ◦ g)(m) = f (g(m)) = f (−m) = (−m)2 + (−m) = m2 − m.
Quindi g ◦ f 6= f ◦ g, essendo, ad esempio,
(g ◦ f )(3) = −12 e (f ◦ g)(3) = 6.
Da questo esempio si vede che in generale, anche se `e possi- bile scambiare l’ordine della composizione di applicazioni, non si ottiene lo stesso risultato.
Osservazione 7 Siano f : A → B, g : B → C, h : C → D. Allora si ha: h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f
Proposizione 8 Siano f : A → B, g : B → C. Allora si ha:
1. f ◦ idA = idB ◦ f = f
2. se f e g sono ingettive, allora g ◦ f `e ingettiva
3. se f e g sono surgettive, allora g ◦ f `e surgettiva
4. se f e g sono bigettive, allora g ◦ f `e bigettiva.
Osservazione 9 Pu`o capitare che la composizione di due ap- plicazioni sia ingettiva, surgettiva o bigettiva senza che le due applicazioni componenti lo siano.
Osservazione 10 La bigettivit`a di un’applicazione f : A → B pu`o essere espressa cos`ı:
∀b ∈ B ∃| a ∈ A tale che f (a) = b. (1) Definizione 11 Un’applicazione f : A → B si dice invertibile se esiste g : B → A tale che
g ◦ f = idA ∧ f ◦ g = idB; (2) l’applicazione g (che si dimostra essere unica) si dice applicazione inversa di f .
Teorema 12 Un’applicazione f : A → B `e invertibile se e soltanto se `e bigettiva.
Per brevit`a si dimostra soltanto l’esistenza dell’applicazione in- versa di un’applicazione bigettiva.
Si supponga che f sia un’applicazione bigettiva. Allora, per (1) si pu`o considerare l’applicazione g : B → A definita ponendo per ogni b ∈ B, g(b) = a, dove a `e l’unico elemento di A tale che f (a) = b. Si verifica facilmente che g verifica (2).
Esempi 1. L’applicazione identica idX : X → X di qualunque insieme X ha se’ stessa come inversa.
2. se f `e un’applicazione bigettiva e ha inversa g, allora anche g
`e bigettiva e ha inversa f
3. l’applicazione (f1)] : Z → P tale che (f1)](n) = 2n `e bigettiva e ha come inversa
g1 : P → Z tale che ∀m ∈ P g1(m) = m 2
4. l’applicazione f3 : P → Z tale che ∀x ∈ P f3(x) = 2x non `e altro che g1 e quindi ha come inversa (f1)]
5. l’applicazione (f4)] : Q∗ → Q∗ tale che ∀x ∈ Q∗ (f4)](x) = 1x `e invertibile ed ha come inversa se’ stessa.
6. La funzione inversa della funzione f : R → R tale che ∀x ∈ R f (x) = 3x `e g : R → R tale che ∀x ∈ R g(x) = x3.
Usualmente si indicher`a con f−1 l’inversa dell’applicazione f .
Osservazione 13 Siano f : A → B, g : B → C due applicazioni bigettive. Allora g ◦ f ha come inversa f−1 ◦ g−1. Infatti:
(g◦f )◦(f−1◦g−1) = g◦(f ◦f−1)◦g−1 = g◦idA◦g−1 = g◦g−1 = idB e analogamente
(f−1 ◦ g−1) ◦ (g ◦ f ) = idA.
