DINAMICA SINGOLA VERTEBRA,
Nel presente capitolo vengono illustrati i modelli relativi alla dinamica della singola vertebra e l’implementazione
In questo primo paragrafo viene esposto il modello relativo al sistema composto dal solo motore, rappres
Figura 26: Schema a blocchi del mode in uscita la posizione angolare del rotore
Il motore è un servomotore DC (corrente continua) controllato in PWM. Lo schema elettrico di riferiment relativa equazione deriva
del circuito.
Figura 27: Schema elettrico di riferimento per un motore in corrente continua.
In figura 27:
V(t)
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CAPITOLO 2:
SINGOLA VERTEBRA, MODELLI SVILUPPATI
Nel presente capitolo vengono illustrati i modelli relativi alla dinamica della bra e l’implementazione di tali modelli in ambiente MATLAB.
2.1: MODELLO MOTORE
In questo primo paragrafo viene esposto il modello relativo al sistema composto dal solo motore, rappresentato nello schema di figura 26.
a blocchi del modello del motore. In ingresso abbiamo la tensione e angolare del rotore, Θ(t).
Il motore è un servomotore DC (corrente continua) del gruppo F . Lo schema elettrico di riferimento è quello in figura 27 deriva dall’applicazione della legge di Kirchoff sull’unica maglia
: Schema elettrico di riferimento per un motore in corrente continua.
MOTORE
MODELLI SVILUPPATI
Nel presente capitolo vengono illustrati i modelli relativi alla dinamica della di tali modelli in ambiente MATLAB.
In questo primo paragrafo viene esposto il modello relativo al sistema composto
In ingresso abbiamo la tensione, V(t),
del gruppo Faulhaber o è quello in figura 27; la irchoff sull’unica maglia
: Schema elettrico di riferimento per un motore in corrente continua.
Θ(t)
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• fcm è la forza contro-elettro-motrice
• Θ rappresenta la velocità di rotazione del rotore.
Per ricavare l’andamento della posizione angolare Θ(t), impostiamo il bilancio del momento angolare sul rotore:
ΓΘ
• rappresenta il momento motore (associato alla corrente, vedi sottomodello.)
• Matt è il momento d’attrito agente sul rotore (vedi sottomodello).
• Γrot è il momento d’inerzia del rotore.
Per e fcm s’introducono sottomodelli tipici dei motori DC.
1 ⁄ Θ
Il momento resistente, Matt, è modellizzato con un termine di dissipazione lineare in funzione di Θ.
Θ
Per risolvere il problema che ha come incognite I e Θ vanno risolte le equazioni differenziali ordinarie ricavate dai due equilibri precedenti. Ai fini dell’integrazione delle equazioni differenziali rendiamo il sistema del primo ordine considerando come incognite: I, Θ, Θ.
! Θ
" Θ
#
$%&'%()
*
! "
" +,-/%.--
012
#
Il sistema di equazioni differenziale in questione è integrato numericamente usando un metodo di Runge-Kutta del 4° ordine con avanzamento adattivo.
L’integrazione è eseguita tramite il comando ode45, disponibile in MATLAB. La sintassi di tale comando è: [T,Y]=ode45(odefun,tspan,y0). In esso:
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• tspan è un vettore che indica il tempo d’inizio e fine dell’integrazione se così definito: tspan[to tf], oppure gli istanti in cui vogliamo conoscere la soluzione; se vogliamo ottenerla a tempi specifici t1, t2 etc., tspan sarà così definito tspan[to t1 t2… tf].
• Odefun(t,y) è la funzione (che va scritta dall’utente) in cui si codifica il membro destro dell’equazione 3456789, ;.
• y0 è la condizione iniziale, tipicamente [V(t=0)/R, 0, 0].
• In uscita ode45 restituisce un vettore dei tempi T e la corrispondente soluzione Y. Y è quindi una matrice con un numero di colonne pari al numero d’incognite e un numero di righe pari alla quantità di soluzioni trovate tra t0 e tf.
Il valore dei parametri che compaiono nel modello in questione quali: induttanza (L), resistenza (R) e le costanti [mNm/A] e [rpm/V], sono stati presi dal datasheet del motore. Il termine α è un coefficiente regolabile in fase di calibrazione del modello.
• L=2.1 mH
• R=1.30 Ω
• KM=7.15 mNm/A
• Kn=1.34*103rpm/V
• α=2.6*10-8 N*m*s
Per sviluppare il codice consideriamo una tensione a forma di onda quadra a una certa frequenza, che oscilla tra i valori ±12 V (tensione nominale del motore da datasheet).
È possibile controllare con un certo grado di dettaglio l’integrazione, definendo delle ulteriori opzioni nel comando ode45. In particolare è possibile specificare una tolleranza relativa, ossia la precisione della soluzione. Nelle nostre simulazioni questa vale 10-8. Inoltre è possibile definire una funzione da chiamare in corrispondenza del salvataggio di ciascun elemento della soluzione Y. Tale opportunità è estremamente vantaggiosa, perché consente di osservare l’andamento di altre grandezze oltre alle soluzioni, quali, ad esempio, il momento
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motore, la forza contro-elettro-motrice, la potenza, etc, agli istanti di tempo definiti per la soluzione.
Nella successiva fase di post-processing si generano i grafici che illustrano l’andamento delle variabili di stato (I, Θ, Θ) e delle variabili osservate ( ad esempio V, fcm, Mmot, Matt e potenza dissipata).
In figura 29 viene riportato il grafico dell’andamento di Θ(t) ottenuto lanciando il programma per tensione massima pari a 12 V, frequenza dell’onda quadra pari a 10 Hz e numero di cicli pari a 3 (figura 28). La posizione angolare del rotore oscilla intorno ad un valore medio non nullo per la deriva iniziale; sia la distanza picco- picco sia il valor medio aumentano al diminuire della frequenza. Il programma gira in circa 10 secondi, a secondo della durata del fenomeno da simulare, su un notebook di ultima generazione.
Figura 28: Tensione in ingresso al sistema. Onda quadra a frequenza 10 Hz e ampiezza 12 V.
Figura 29: Esempio di andamento della frequenza della tensione
semiperiodi di onda quadra.
2.2: MODELLO
Il passo successivo consiste nello studio della dinamica del sistema motore collegato, attraverso il cinematismo, ai due magneti.
stato montato il terzo dei 3 modelli superiore agli altri per design ( pertanto adottato in fase
presentati da ora in avanti si riferiranno a quella configurazione.
Figura 30: Schema a blocchi d
V(t) MOTORE
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ndamento della posizione angolare del rotore rispetto al tempo (onda quadra) di 10 Hz e voltaggio pari a 12 V. Le linee rosse sono semiperiodi di onda quadra.
MODELLO DEL MOTORE E CINEMATISMO
Il passo successivo consiste nello studio della dinamica del sistema
motore collegato, attraverso il cinematismo, ai due magneti. Poiché sul prototipo è il terzo dei 3 modelli di vertebra, descritto precedentemente, superiore agli altri per design (semplicità costruttiva, robustezza) ed è stato pertanto adottato in fase di realizzazione del prototipo, i modelli
presentati da ora in avanti si riferiranno a quella configurazione.
: Schema a blocchi del sistema che va dal motore ai magneti.
MOTORE CINEMATISMO MOTORE
TRASAMISSIONE
DEL MOTO MAGNETI
rispetto al tempo, con Le linee rosse sono
TISMO
Il passo successivo consiste nello studio della dinamica del sistema, composto dal Poiché sul prototipo è descritto precedentemente, che è costruttiva, robustezza) ed è stato i modelli dinamici
MAGNETI α(t)
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Nella figura 30 α(t) è la posizione angolare dei magneti. La parte elettrica rimane invariata, mentre la parte meccanica tiene conto della trasmissione. L’equazione da risolvere in questo caso è la seguente:
8Γ< = Γ>? ;Θ 2AB CB
dove compaiono nuovi sottomodelli:
• Matt rappresenta la forza d’attrito agente sul singolo magnete (che giustifica il termine 2 che tiene conto di entrambi).
• Γext è il momento d’inerzia visto dal rotore, dovuto al cinematismo e ai magneti.
che hanno le seguenti forme:
ABDΘ
Γ>? 2ΓBAB! CB
Inoltre:
• Γmag è il momento d’inerzia di un magnate intorno all’asse di rotazione che li congiunge.
• τg è il rapporto di trasmissione globale del sistema (parametro positivo), che comprende il cinematismo esterno e quello interno del motore:
AB A&E 1 FF⁄ , dove RR è il rapporto di riduzione dichiarato nel datasheet del motore, mentre τRD è il rapporto di trasmissione del cinematismo, pari a 1 nel nostro caso.
• ηg è l’efficienza globale della trasmissione pari al prodotto delle efficienze:
CB C&E C . La prima è stata ricavata tramite un esperimento, esposto nel prossimo paragrafo, la seconda da datasheet.
• β è, come in precedenza, un coefficiente determinato in fase di calibrazione.
In questo modello si trascurano il momento d’inerzia dell’asse che congiunge i due magneti e l’attrito sul rotore, piccolo rispetto a quello agente sui magneti.
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Risolvendo queste equazioni differenziali è possibile risalire, anche in questo caso, all’andamento della variazione angolare del rotore: Θ(t). Una volta ottenuto questo risultato è facile risalire all’andamento dei magneti α(t), tramite la relazione:
89; Θ89; AB
Dove il segno meno deriva dal fatto che per entrambe le grandezze è stato scelto lo stesso verso per le rotazioni positive e che la trasmissione inverte la rotazione.
2.2.1: CALCOLO DELL’EFFICIENZA DEL CINEMATISMO
Per ricavare il valore di rendimento delle ruote dentate, ηRD, del modello, abbiamo disposto un semplice esperimento. Si montano le due ruote dentate su altrettanti assi con le estremità appuntite, questi poi vengono fissati, grazie a una morsa, fra due blocchi di polimero autolubrificante in modo che le ruote ingranino. Su ogni asse viene avvolto un cavo di peso trascurabile e incollato all’estremità, in modo da essere sicuri che non scorra sulla superficie dell’asse, all’altra estremità vengono poi agganciati dei pesi.
Se l’accoppiamento fra le ruote fosse ideale e privo di perdite per attrito, il sistema dovrebbe essere all’equilibrio solo se la forza peso alle due estremità del filo fosse identica. Queste, infatti, sarebbero le uniche forze in gioco e, poiché hanno un braccio uguale ma di segno opposto rispetto all’asse di rotazione su cui agiscono, dovrebbe essere identiche per permettere l’equilibrio.
Ovviamente il cinematismo non è ideale e ci saranno delle perdite per attrito. Per quantificarle, quindi, possiamo variare uno dei due pesi con un passo abbastanza fine fino a che il sistema non perde l’equilibrio. A questo punto il rapporto fra i pesi ci permette di ricavare l’efficienza del cinematismo. Facendo questo abbiamo trascurato, a buona ragione, l’energia persa a causa dell’attrito fra gli assi e i blocchi di polimero e a causa della non inestensibilità del filo.
Alla fine dell’esperimento risulta che la massa più piccola (m1) è pari a 498,7 g, mentre la massa di partenza più grande (m2) era 579,9 g, da cui si ricava:
38 C&E GH
GI JΔh
!JΔh!
! 0.86
Tale risultato è stato usato poi nella simulazione MATLAB del sistema.
Figura 31: Vista della configurazione dell’esperimento.
2.2.2: IMPLEMENTAZIONE MATLAB MODELLO MOTORE E CINEMATISMO
La risoluzione del sistema è stata ottenuta anche in questo caso con l’uso di ode45 variando, con le modifiche necessarie, il modello presentato in sezione 2.1. Le equazioni differenziali sono queste:
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! Θ
" Θ
#
Q F
R
! "
"
2AB CB Γ< = Γ>?
#
Il codice calcola in uscita la posizione dei magneti. In figura 32 sono riportati alcuni risultati importanti della simulazione, fatta con frequenza dell’onda quadra pari a 10 Hz e tensione massima pari a 12 V. Si nota facilmente come i magneti ruotino nel verso opposto rispetto al rotore e siano ridotti di un fattore τg. La velocità media a regime è correttamente nulla. Il momento resistente dovuto all’attrito sui magneti è nullo, in quanto, non avendo dati sperimentali di supporto, il termine β è stato posto a zero in questa fase di sviluppo.
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Figura 32: Risultati della simulazione. Dall’alto: tensione al motore, posizione angolare del rotore, velocità angolare del magnete destro (è uguale al sinistro) e posizione angolare del magnete destro (α(t)).
I tempi di esecuzione sono dell’ordine di decine di secondi, su un notebook di ultima generazione, per tre cicli di onda quadra.
Consideriamo un voltaggio come in figura 33, è possibile usare il tool software finora descritto per determinare, ad esempio, le coppie (T, ton/T) che consentono di avere un’escursione Δα data della posizione dei magneti.
Tale valore Δα è calcolato in post-processing (distanza picco-picco assunta dall’oscillazione dei magneti) in funzione della coppia di parametri (T, ton/T) scelti all’inizio della simulazione. Al termine dell’esecuzione viene, quindi, mostrato l’andamento di tale grandezza in funzione dei parametri e visualizzato la zona che
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ci interessa, tramite un grafico di superficie e le rispettive curve di livello (figura 34). Tali grafici sono facilmente ottenuti in MATLAB chiamando le funzioni surf e countour rispettivamente. L’ampiezza delle oscillazioni, come ci aspettavamo, aumenta all’aumentare del rapporto e al diminuire della frequenza. Il programma gira in due ore e mezzo circa in un notebook di ultima generazione, a causa dell’elevato numero di simulazioni (130 coppie T, ton/T).
Come ulteriore esempio il grafico di figura 35 evidenzia, con la linea verde, i valori che determinano oscillazioni di 90°, sfruttando un’opzione del comando MATLAB countour.
Figura 33: Andamento della tensione in ingresso al motore con periodo T pari a 0.5 s e rapporto ton/T pari a 0.6.
ton
T
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Figura 34: Variazione Δα associata alla coppia (T, ton/T) e curve di livello di Δα. Le frequenze provate sono: 1/T=0.1, 0.5, 1, 1.5,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 Hz; mentre i rapporti ton/T sono: 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1; per un totale di 130 esplorazioni.
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Figura 35: La linea verde attraversa i valori delle coppie (T, ton/T) che portano a oscillazioni di ±45°.
