Esercizio 1. Si consideri lo schema rappresentato in figura dove G(s) = (s − 1) 2

(1)

Esercizio 1. Si consideri lo schema rappresentato in figura dove G(s) = (s − 1) ²

(s + 4)(s + 8) e il controllore ` e puramente proporzionale: C(s) = K ≥ 0.

y 0 (t) y(t)

- k

+

−

- C(s) ^- G(s) ^-

6

Si tracci il luogo delle radici che rappresenta i poli del sistema a catena chiusa al variare di K ≥ 0. Si calcolino, in particolare, i valori di K per cui il luogo attraversa l’asse immaginario (discutendo la BIBO stabilit` a del sistema a catena chiusa) e i punti doppi con i relativi valori di K. Si dimostri che la parte del luogo compresa fra i due punti doppi ` e una circonferenza.

Soluzione. Il polinomio P _K (s) = D(s) + KN (s) (denominatore della funzione di trasferi- mento a catena chiusa) ha in questo caso la espressione

P K (s) = (s + 4)(s + 8) + K(s − 1) ² = (1 + K)s ² + (12 − 2K)s + 32 + K

Pertanto, per il criterio di Cartesio, la catena chiusa ` e BIBO stabile se e solo se K < K _cr = 6.

I punti doppi si calcolano facilmente imponendo ^dN _ds D = ^dD _ds N , ossia 2(s − 1)(s ² + 12s + 32) = (2s + 12)(s − 1) ²

le cui soluzioni sono s ₁ = 1 (cui corrisponde K = ∞) e le soluzioni di 2(s ² + 12s + 32) = (2s + 12)(s − 1) ossia di 24s + 64 = 10s − 12 ossia s ₂ = −76/14 = −38/7. Il valore di K corrispondente a s ₂ ` e K = −D(s ₂ )/N (s ₂ ) = 4/45 > 0, pertanto anche s ₂ appartiene al luogo.

In questo caso il polinomio P _K (s) = D(s) + KN (s) ha in questo caso la espressione P _K (s) = (s + 4)(s + 8) + K(s − 1) ²

e quindi i suoi zeri si possono calcolare esplicitamente in funzione di K. La parte del luogo fra i due punti doppi corrisponde ai valori di K per i quali gli zeri di P _K (s) non sono reali ossia per k > 4/45. In tal caso gli zeri son dati da

s _1/2 = K − 6 ± j √

45K − 4

1 + K .

Per dimostrare che tale parte di luogo ` e una circonferenza ` e sufficiente calcolare la distanza degli zeri s 1/2 dal punto medio del segmento che congiunge i punti doppi e dimostrare che questa distanza ` e costante (indipendente da K). Tale punto medio ha ascissa (1−38/7)/2 =

−31/14. La distanza di s _1/2 dal punto dell’asse reale di ascissa −31/14 ` e pari a s

( K − 6

1 + K + 31/14) ² + 45K − 4

(1 + K) ² = 45/14 che ` e ovviamente indipendente da K.

Il luogo ha la seguente forma

(2)

−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2

−4

−3

−2

−1 0 1 2 3 4

Root Locus

Real Axis

Imaginary Axis

Figure 1: Luogo delle radici relativo a G(s) = (s − 1) ² (s + 4)(s + 8)

Esercizio 2. Si consideri lo schema rappresentato in figura dove G(s) = 1

(s − 1)(s + 4)(s + 8) e il controllore ` e puramente proporzionale: C(s) = K ≥ 0.

y 0 (t) y(t)

- k

+

−

- C(s) ^- G(s) ^-

6

Si tracci il luogo delle radici che rappresenta i poli del sistema a catena chiusa al variare di K ≥ 0. Si calcolino, in particolare, i valori di K per cui il luogo attraversa l’asse im- maginario (discutendo la BIBO stabilit` a del sistema a catena chiusa) e i punti doppi con i relativi valori di K. Fissato K in modo che il sistema a catena chiusa abbia poli puramente immaginari, si calcolino i poli del sistema a catena chiusa.

Soluzione. Il polinomio P _K (s) = D(s) + KN (s) (denominatore della funzione di trasferi- mento a catena chiusa) ha in questo caso la espressione

P K (s) = (s − 1)(s + 4)(s + 8) + K = s ³ + 11s ² + 20s − 32 + K

(3)

La tabella di Routh relativa a questo polinomio ` e:

3 2 1 0

1 20

11 K − 32

252−K 11

K − 32

Pertanto, la catena chiusa ` e BIBO stabile per 32 = K _cr1 < K < K _cr2 = 252.

I punti doppi si calcolano facilmente imponendo ^dN _ds D = ^dD _ds N , ossia 0 = 3s ² + 22s + 20

le cui soluzioni sono s _1/2 = ^−11±

√ 121−60

3 , ossia s ₁ ' −1.07 e s ₂ ' −6.27. Il valore di K corrispondente a s ₁ ` e K = −D(s ₁ )/N (s ₁ ) ' 42 > 0, mentre il valore corrispondente a s ₂ ` e K = −D(s ₂ )/N (s ₂ ) < 0. Quindi, c’` e un solo punto doppio che si trova in: s ₁ ' −1.07. Si noti che il corrispondente valore di K (K ' 42) ` e compreso fra i due valori critici K _cr1 e K _cr2 .

La funzione di trasferimento a catena chiusa ha poli puramente immaginari in corrispon- denza ai due valori critici K _cr1 e K _cr2 .

Per K = K _cr1 i poli del sistema sono gli zeri di P _K

_cr1

(s) = s ³ + 11s ² + 20s, ossia s ₁ = 0 (che

`

e effettivamente puramente immaginario oltre che puramente reale) e s _3/4 = ^−11±

√ 41

2 .

Per K = K _cr2 i poli del sistema sono gli zeri di P _K

_cr2

(s) che si trovano facilmente imponendo che P _K

_cr2

(s) abbia zeri puramente immaginari. Si trova cos`ı in s _1/2 = ±j √

20 e s ₃ = −11.

Il luogo ha la seguente forma

−25 −20 −15 −10 −5 0 5 10

−20

−15

−10

−5 0 5 10 15 20

Root Locus

Real Axis

Imaginary Axis

Figure 2: Luogo delle radici relativo a G(s) = 1

(s − 1)(s + 4)(s + 8)

(4)

Esercizio 3. (contorno delle radici) Si consideri lo schema rappresentato in figura dove si ha G(s) = s + 2 s − 2 e C(s) = ^s+α _s+1 , con α ≥ 0 parametro reale. Si traccino le curve che descrivono le posizioni dei poli del sistema a catena chiusa al variare del parametro α ≥ 0.

y ₀ (t) y(t)

d(t) - i

₊

−

- C(s) ^- G(s) ^{- i}

₊

+

?

- 6

Soluzione. Si noti che NON si tratta di un luogo delle radici. Tuttavia, si pu` o ragionare come segue. La funzione di trasferimento a catena chiusa ` e data da

W (s) = C(s)G(s)

1 + C(s)G(s) = (s + α)(s + 2) 2s ² + (1 + α)s + 2α − 2

Si noti che il denominatore di W (s) ` e una funzione affine di α ossia pu` o essere scritto nella forma D 0 (s) + αN 0 (s):

W (s) = (s + α)(s + 2)

2s ² + (1 + α)s + 2α − 2 = (s + α)(s + 2)

2s ² + s − 2 + α(s + 2) =

1 2 (s + α)(s + 2) s ² + ¹ ₂ s − 1 + ^α ₂ (s + 2) Quindi i poli della funzione di trasferimento a catena chiusa sono gli zeri del polinomio s ² + ¹ ₂ s − 1 + ^α ₂ (s + 2). Si possono dunque definire i polinomi ausiliari

N _a (s) := s + 2 e

D _a (s) := s ² + 1 2 s − 1.

Inoltre si pu` o definire il guadagno ausiliario K _a := α/2 (naturalmente quando α varia tra 0 e infinito anche K _a varia tra 0 e infinito).

Il problema dunque ` e stato riportato ad un luogo delle radici classico riferito al sistema ausiliario G _a (s) := ^N _D

^a

^(s)

a

(s) e al controllore proporzionale K _a .

y 0 (t) y(t)

d(t) - l

+

−

- K _a ^- G _a (s) ^-

₊

^l

+

?

- 6

Si noti che i valori rilevanti del parametro K _a devono andare riportati al parametro originale α. Per esempio, utilizzando il Criterio di Cartesio si trova facilmente che il luogo attraversa l’asse immaginario per K _a = K _acr = 1/2. Pertanto, la C.C. ` e BIBO-stabile per K _a > 1/2. Tuttavia, il parametro originale ` e α = 2K _a . La C.C. ` e quindi BIBO-stabile per α > 2K _acr = 1.

I punti doppi sono in s _1/2 = −2± √

2. I corrispondenti valori del guadagno sono K _{a 1/2} =

7∓4 √

2 . Anche in questo caso i valori rilevanti sono per` o quelli del parametro originale α ossia

(5)

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

Root Locus

Real Axis (seconds⁻¹) Imaginary Axis (seconds−1)

Figure 3: Luogo delle radici relativo a G _a (s).

Esercizio 4. (contorno delle radici) Si consideri lo schema rappresentato in figura dove si ha G(s) = s − 2

(s + 2) ² e C(s) = _s+10/9 ^s+α , con α ≥ 0 parametro reale. Si traccino le curve che descrivono le posizioni dei poli del sistema a catena chiusa al variare del parametro α ≥ 0.

y ₀ (t) y(t)

d(t) - i

₊

−

- C(s) ^- G(s) ^{- i}

+ +

? - 6

Soluzione. Si noti che NON si tratta di un luogo delle radici. Tuttavia, si pu` o ragionare come segue. La funzione di trasferimento a catena chiusa ` e data da

W (s) = C(s)G(s)

1 + C(s)G(s) = (s + α)(s − 2) D _a (s) + αN _a (s)

con D _a (s) := s ³ + 55/9s ² + 58/9s + 40/9 e N _a (s) := s − 2. Il problema dunque ` e stato riportato ad un luogo delle radici classico riferito al sistema ausiliario G _a (s) := _D ^N

^a

^(s)

a

(s) e al controllore proporzionale C(s) = α.

y ₀ (t) y(t)

d(t) - i

₊

−

- α ^- G _a (s) ^{- i}

+ +

? -

6

(6)

Si noti che il polinomio D a (s) pu` o essere decomposto nella forma D _a (s) = (s + 5)(s ² + 10/9s + 8/9)

I punti multipli si calcolano facilmente imponendo ^dN _ds D = ^dD _ds N . Si trovano cos`ı due punti doppi approssimatamente in −3.1 e −0.74.

Inoltre la catena chiusa ` e BIBO-stabile per α < 20/9.

Il luogo ha la seguente forma

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3

−10

−8

−6

−4

−2 0 2 4 6 8 10

Root Locus

Real Axis (seconds⁻¹) Imaginary Axis (seconds−1)

Esercizio 1. Si consideri lo schema rappresentato in figura dove G(s) = (s − 1) 2

Esercizio 1. Si consideri lo schema rappresentato in figura dove G(s) = (s − 1) 2

(s + 4)(s + 8) e il controllore ` e puramente proporzionale: C(s) = K ≥ 0.

y 0 (t) y(t)

- k

- C(s) - G(s) -

6

Soluzione. Il polinomio P K (s) = D(s) + KN (s) (denominatore della funzione di trasferi- mento a catena chiusa) ha in questo caso la espressione

P K (s) = (s + 4)(s + 8) + K(s − 1) 2 = (1 + K)s 2 + (12 − 2K)s + 32 + K

Pertanto, per il criterio di Cartesio, la catena chiusa ` e BIBO stabile se e solo se K < K cr = 6.

I punti doppi si calcolano facilmente imponendo dN ds D = dD ds N , ossia 2(s − 1)(s 2 + 12s + 32) = (2s + 12)(s − 1) 2

le cui soluzioni sono s 1 = 1 (cui corrisponde K = ∞) e le soluzioni di 2(s 2 + 12s + 32) = (2s + 12)(s − 1) ossia di 24s + 64 = 10s − 12 ossia s 2 = −76/14 = −38/7. Il valore di K corrispondente a s 2 ` e K = −D(s 2 )/N (s 2 ) = 4/45 > 0, pertanto anche s 2 appartiene al luogo.

In questo caso il polinomio P K (s) = D(s) + KN (s) ha in questo caso la espressione P K (s) = (s + 4)(s + 8) + K(s − 1) 2

e quindi i suoi zeri si possono calcolare esplicitamente in funzione di K. La parte del luogo fra i due punti doppi corrisponde ai valori di K per i quali gli zeri di P K (s) non sono reali ossia per k > 4/45. In tal caso gli zeri son dati da

s 1/2 = K − 6 ± j √

45K − 4

1 + K .

Per dimostrare che tale parte di luogo ` e una circonferenza ` e sufficiente calcolare la distanza degli zeri s 1/2 dal punto medio del segmento che congiunge i punti doppi e dimostrare che questa distanza ` e costante (indipendente da K). Tale punto medio ha ascissa (1−38/7)/2 =

−31/14. La distanza di s 1/2 dal punto dell’asse reale di ascissa −31/14 ` e pari a s

( K − 6

1 + K + 31/14) 2 + 45K − 4

(1 + K) 2 = 45/14 che ` e ovviamente indipendente da K.

Il luogo ha la seguente forma

−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2

−4

−3

−2

−1 0 1 2 3 4

Root Locus

Real Axis

Imaginary Axis

Figure 1: Luogo delle radici relativo a G(s) = (s − 1) 2 (s + 4)(s + 8)

Esercizio 2. Si consideri lo schema rappresentato in figura dove G(s) = 1

(s − 1)(s + 4)(s + 8) e il controllore ` e puramente proporzionale: C(s) = K ≥ 0.

y 0 (t) y(t)

- k

- C(s) - G(s) -

6

Soluzione. Il polinomio P K (s) = D(s) + KN (s) (denominatore della funzione di trasferi- mento a catena chiusa) ha in questo caso la espressione

P K (s) = (s − 1)(s + 4)(s + 8) + K = s 3 + 11s 2 + 20s − 32 + K

La tabella di Routh relativa a questo polinomio ` e:

3 2 1 0

1 20

11 K − 32

252−K 11

K − 32

Pertanto, la catena chiusa ` e BIBO stabile per 32 = K cr1 < K < K cr2 = 252.

I punti doppi si calcolano facilmente imponendo dN ds D = dD ds N , ossia 0 = 3s 2 + 22s + 20

le cui soluzioni sono s 1/2 = −11±

√ 121−60

La funzione di trasferimento a catena chiusa ha poli puramente immaginari in corrispon- denza ai due valori critici K cr1 e K cr2 .

Per K = K cr1 i poli del sistema sono gli zeri di P K

(s) = s 3 + 11s 2 + 20s, ossia s 1 = 0 (che

`

e effettivamente puramente immaginario oltre che puramente reale) e s 3/4 = −11±

√ 41

2 .

Per K = K cr2 i poli del sistema sono gli zeri di P K

(s) che si trovano facilmente imponendo che P K

(s) abbia zeri puramente immaginari. Si trova cos`ı in s 1/2 = ±j √

20 e s 3 = −11.

Il luogo ha la seguente forma

Figure 2: Luogo delle radici relativo a G(s) = 1

(s − 1)(s + 4)(s + 8)

Esercizio 3. (contorno delle radici) Si consideri lo schema rappresentato in figura dove si ha G(s) = s + 2 s − 2 e C(s) = s+α s+1 , con α ≥ 0 parametro reale. Si traccino le curve che descrivono le posizioni dei poli del sistema a catena chiusa al variare del parametro α ≥ 0.

y 0 (t) y(t)

d(t) - i

- C(s) - G(s) - i

?

- 6

Soluzione. Si noti che NON si tratta di un luogo delle radici. Tuttavia, si pu` o ragionare come segue. La funzione di trasferimento a catena chiusa ` e data da

W (s) = C(s)G(s)

1 + C(s)G(s) = (s + α)(s + 2) 2s 2 + (1 + α)s + 2α − 2

Si noti che il denominatore di W (s) ` e una funzione affine di α ossia pu` o essere scritto nella forma D 0 (s) + αN 0 (s):

W (s) = (s + α)(s + 2)

2s 2 + (1 + α)s + 2α − 2 = (s + α)(s + 2)

2s 2 + s − 2 + α(s + 2) =

1

2 (s + α)(s + 2) s 2 + 1 2 s − 1 + α 2 (s + 2) Quindi i poli della funzione di trasferimento a catena chiusa sono gli zeri del polinomio s 2 + 1 2 s − 1 + α 2 (s + 2). Si possono dunque definire i polinomi ausiliari

N a (s) := s + 2 e

Esercizio 1. Si consideri lo schema rappresentato in figura dove G(s) = (s − 1) ²

- C(s) ^- G(s) ^-

Soluzione. Il polinomio P _K (s) = D(s) + KN (s) (denominatore della funzione di trasferi- mento a catena chiusa) ha in questo caso la espressione

P K (s) = (s + 4)(s + 8) + K(s − 1) ² = (1 + K)s ² + (12 − 2K)s + 32 + K

Pertanto, per il criterio di Cartesio, la catena chiusa ` e BIBO stabile se e solo se K < K _cr = 6.

I punti doppi si calcolano facilmente imponendo ^dN _ds D = ^dD _ds N , ossia 2(s − 1)(s ² + 12s + 32) = (2s + 12)(s − 1) ²

In questo caso il polinomio P _K (s) = D(s) + KN (s) ha in questo caso la espressione P _K (s) = (s + 4)(s + 8) + K(s − 1) ²

e quindi i suoi zeri si possono calcolare esplicitamente in funzione di K. La parte del luogo fra i due punti doppi corrisponde ai valori di K per i quali gli zeri di P _K (s) non sono reali ossia per k > 4/45. In tal caso gli zeri son dati da

s _1/2 = K − 6 ± j √

−31/14. La distanza di s _1/2 dal punto dell’asse reale di ascissa −31/14 ` e pari a s

1 + K + 31/14) ² + 45K − 4

(1 + K) ² = 45/14 che ` e ovviamente indipendente da K.

Figure 1: Luogo delle radici relativo a G(s) = (s − 1) ² (s + 4)(s + 8)

- C(s) ^- G(s) ^-

Soluzione. Il polinomio P _K (s) = D(s) + KN (s) (denominatore della funzione di trasferi- mento a catena chiusa) ha in questo caso la espressione

P K (s) = (s − 1)(s + 4)(s + 8) + K = s ³ + 11s ² + 20s − 32 + K

Pertanto, la catena chiusa ` e BIBO stabile per 32 = K _cr1 < K < K _cr2 = 252.

I punti doppi si calcolano facilmente imponendo ^dN _ds D = ^dD _ds N , ossia 0 = 3s ² + 22s + 20

le cui soluzioni sono s _1/2 = ^−11±

La funzione di trasferimento a catena chiusa ha poli puramente immaginari in corrispon- denza ai due valori critici K _cr1 e K _cr2 .

Per K = K _cr1 i poli del sistema sono gli zeri di P _K

(s) = s ³ + 11s ² + 20s, ossia s ₁ = 0 (che

e effettivamente puramente immaginario oltre che puramente reale) e s _3/4 = ^−11±

Per K = K _cr2 i poli del sistema sono gli zeri di P _K

(s) che si trovano facilmente imponendo che P _K

(s) abbia zeri puramente immaginari. Si trova cos`ı in s _1/2 = ±j √

20 e s ₃ = −11.

Esercizio 3. (contorno delle radici) Si consideri lo schema rappresentato in figura dove si ha G(s) = s + 2 s − 2 e C(s) = ^s+α _s+1 , con α ≥ 0 parametro reale. Si traccino le curve che descrivono le posizioni dei poli del sistema a catena chiusa al variare del parametro α ≥ 0.

y ₀ (t) y(t)

- C(s) ^- G(s) ^{- i}

1 + C(s)G(s) = (s + α)(s + 2) 2s ² + (1 + α)s + 2α − 2

2s ² + (1 + α)s + 2α − 2 = (s + α)(s + 2)

2s ² + s − 2 + α(s + 2) =

2 (s + α)(s + 2) s ² + ¹ ₂ s − 1 + ^α ₂ (s + 2) Quindi i poli della funzione di trasferimento a catena chiusa sono gli zeri del polinomio s ² + ¹ ₂ s − 1 + ^α ₂ (s + 2). Si possono dunque definire i polinomi ausiliari

N _a (s) := s + 2 e

D _a (s) := s ² + 1 2 s − 1.

Inoltre si pu` o definire il guadagno ausiliario K _a := α/2 (naturalmente quando α varia tra 0 e infinito anche K _a varia tra 0 e infinito).

Il problema dunque ` e stato riportato ad un luogo delle radici classico riferito al sistema ausiliario G _a (s) := ^N _D

^(s)

(s) e al controllore proporzionale K _a .

- K _a ^- G _a (s) ^-

^l

I punti doppi sono in s _1/2 = −2± √

2. I corrispondenti valori del guadagno sono K _{a 1/2} =

Figure 3: Luogo delle radici relativo a G _a (s).

(s + 2) ² e C(s) = _s+10/9 ^s+α , con α ≥ 0 parametro reale. Si traccino le curve che descrivono le posizioni dei poli del sistema a catena chiusa al variare del parametro α ≥ 0.

y ₀ (t) y(t)

- C(s) ^- G(s) ^{- i}

1 + C(s)G(s) = (s + α)(s − 2) D _a (s) + αN _a (s)

con D _a (s) := s ³ + 55/9s ² + 58/9s + 40/9 e N _a (s) := s − 2. Il problema dunque ` e stato riportato ad un luogo delle radici classico riferito al sistema ausiliario G _a (s) := _D ^N

^(s)

y ₀ (t) y(t)

- α ^- G _a (s) ^{- i}

Si noti che il polinomio D a (s) pu` o essere decomposto nella forma D _a (s) = (s + 5)(s ² + 10/9s + 8/9)

I punti multipli si calcolano facilmente imponendo ^dN _ds D = ^dD _ds N . Si trovano cos`ı due punti doppi approssimatamente in −3.1 e −0.74.

Figure 4: Luogo delle radici relativo a G _a (s).