UNIVERSIT `
A DEGLI STUDI DI PISA
Facolt`a di Ingegneria
Corso di Laurea in Ingegneria Aerospaziale
Tesi di Laurea
Studio di traiettorie ottime
per sistemi “tether”
Relatori:
Prof. Giovanni Mengali
Prof. Carlo Casarosa
Correlatore:
Ing. Alessandro A.Quarta
Laureando:
Teresa Pucci
Sommario
La seguente tesi presenta lo studio del moto di un satellite di tipo tether elettrodinamico in condizioni di spinta esclusivamente dovuta all’azione del campo magnetico terrestre. Si sono utilizzati due modelli per schematizzare il campo magnetico terrestre: in un primo momento il modello di dipolo inclinato rispetto all’asse di rotazione terrestre, in un secondo momento di dipolo allineato con l’asse di rotazione terrestre ed in fine il modello di dipolo inclinato in presenza delle azioni perturbative luni-solari. In seguito si sono cercate le condizioni di ottimo per la traiettoria del tether, in particolare si `e cercato di ottimizzare la variazione del semiasse maggiore e di trovare quindi i valori dei parametri di controllo (corrente nel tether e lunghezza dello stesso) che consentissero le migliori prestazioni del mezzo al fine di minimizzare i tempi di volo.
Ringraziamenti
Vorrei ringraziare innanzi tutto il Prof. Giovanni Mengali che mi ha permes-so di svolgere questa Tesi di Laurea, dandomi la sua fiducia e dimostrando sempre la sua professionalit`a e competenza nella materia. Inoltre un grande ringraziamento va all’Ing. Alessandro Quarta, che quotidianamente si `e inter-essato al mio lavoro e al suo corretto svolgimento, dandomi preziosi consigli e seguendomi con grandissima seriet`a. Un grazie anche al Prof. Carlo Casa-rosa e ai ragazzi del laboratorio, in particolare all’Ing. Daniele Seni, all’Ing. Luca Fabbricotti e all’Ing. Martina Chiaramonti. Non basteranno mai i ringraziamenti per la mia famiglia, che mi ha sempre sostenuto sia material-mente, sia con la loro fiducia e stima: senza di loro questo traguardo non sarebbe stato possibile. Ovviamente non posso non ringraziare i miei amici: tutti in qualche modo hanno partecipato a questo momento; tra loro il mio abbraccio pi`u stretto va a Tommaso e a Paola, i miei amici pi`u cari e fidati. Per ultimo, ma non certo d’importanza, voglio ringraziare (anche se mai ab-bastanza) Matteo, che mi `e stato accanto per tutto l’iter universitario e che, meglio di chiunque altro, ha visto le mie gioie e i miei dispiaceri universitari e che mi ha insegnato a crederci sempre, senza mollare mai.
Indice
Sommario I
Ringraziamenti II
Elenco dei simboli V
1 Introduzione 1
1.1 Principi generali . . . 1
1.2 Cenni storici . . . 2
1.3 Applicazioni dei tether . . . 4
1.4 Struttura della Tesi e finalit`a . . . 6
2 Dinamica del tether 7 2.1 Equazioni della dinamica (sistema di coordinate cartesiane) . . 7
2.2 Equazioni della dinamica (sistema di coordinate sferiche) . . . 11
2.3 Dinamica del centro di massa del tether . . . 12
3 Analisi dell’effetto dovuto al campo magnetico terrestre 15 3.1 Modello del campo magnetico terrestre . . . 15
3.2 Influenza del campo magnetico terrestre sul tether . . . 17
4 Analisi di missione nel caso di dipolo inclinato 20 4.1 Scelta dei parametri di controllo . . . 20
4.2 Analisi del sistema . . . 21
4.3 Risultati numerici . . . 23
4.3.1 Grafici relativi al caso di dipolo inclinato . . . 23
4.3.2 Considerazioni . . . 33
5 Analisi di missione semplificata 36 5.1 Spinta puramente circonferenziale . . . 36
5.2 Dipolo allineato . . . 38
6 Perturbazioni luni-solari 51 6.1 Accelerazione di perturbazione . . . 51
6.2 Coordinate solari e lunari . . . 52
6.3 Risultati numerici . . . 55
7 Ottimizzazione locale della traiettoria 66 7.1 Equazioni di perturbazione . . . 66
7.2 Ottimizzazione locale con e ed i costanti . . . 68
7.3 Ottimizzazione locale con e ed i variabili . . . 70
7.4 Considerazioni . . . 72
8 Conclusioni 74
Bibliografia 76
Elenco delle figure 78
Elenco delle tabelle 82
Elenco degli acronimi 83
Elenco dei Simboli
(r,θ,φ) coordinate sferiche
α angolo di inclinazione magnetica
β angolo formato dalla proiezione del versore em sul piano XoY
∆t intervallo di tempo
δ latitudine ellittica
λ longitudine ellittica
µ costante gravitazionale terrestre
µm costante di momento di dipolo magnetico
ν anomalia vera
¯ Sole
Ω ascensione retta del nodo ascendente
ω argomento del perigeo
ωtether velocit`a di rotazione del tether
⊕ Terra ˜
ω velocit`a angolare
ε inclinazione del piano dell’eclittica
Φ risultante delle forze di perturbazione
aT accelerazione dovuta alla spinta del propulsore
a vettore accelerazione
B campo magnetico
em versore dell’asse di dipolo magnetico
eN versore normale al piano dell’orbita
eR versore radiale nel piano dell’orbita
eT versore tangenziale nel piano dell’orbita
F forza di perturbazione
G risultante delle forze gravitazionali
g accelerazione gravitazionale terrestre
r vettore posizione
T forza di tensione
W forza di spinta agente sulle masse di estremit`a
A baricentro della prima massa di estremit`a
a semiasse maggiore
B baricentro della seconda massa di estremit`a
C centro di massa del tether
C∗ costante di integrazione
D differenza tra la longitudine media del sole e della luna
D⊕¯ distanza Terra-Sole
E anomalia eccentrica
e eccentricit`a
E∗ modulo di Young
ET ot energia meccanica totale del sistema
F distanza angolare media della Luna dal nodo ascendente
G2 termine gravitazionale legato all’armonica di secondo grado
I corrente nel tether
i inclinazione
IJK terna di versori del sistema di riferimento geocentrico equatoriale J momento d’inerzia
Jxx,Jyy,Jzz momenti d’inerzia principali
JD data giuliana
L lunghezza del tether
l anomalia media della Luna
l0 anomalia media del Sole
L0 longitudine media della Luna
M anomalia media
m∗ massa del tether
MT ot massa totale del sistema
n moto medio
p semilato retto
Q forza di perturbazione adimensionalizzata
R raggio vettore dal centro della Terra ad un punto
rP raggio della sfera di influenza terrestre
T numero di secoli giuliani
t0 istante iniziale di un intervallo di tempo
tf istante finale di un intervallo di tempo
Ttether periodo del tether
u,v,w componenti del vettore velocit`a rispetto alla terna Bxyz
xyz terna di riferimento di coordinate cartesiane geocentrico-equatoriali
