Capitolo 3

3.1 Dipolo a microstriscia

A questo punto, dopo aver analizzato il comportamento di un patch rettangolare valuteremo il comportamento e le performance di un dipolo a microstriscia.

Per facilitare la comprensione e non rendere la trattazione troppo pesante si è scelto di sviluppare l’analisi in due fasi; all’inizio sarà considerato il dipolo a microstriscia in presenza del solo substrato poi successivamente sarà analizzato il comportamento della struttura introducendo anche un dielettrico di copertura.

3.2 Dipolo elettrico senza dielettrico di copertura

Il metodo di analisi usato in questa trattazione si affida all’ottenimento della funzione di GREEN di un dipolo hertziano orizzontale posto su un substrato spesso h e di permittività εr connesso a massa.

Figura 3.1 Substrato su cui è posto il dipolo

Per le antenne stampate la funzione di GREEN corrisponde al campo elettrico prodotto da un dipolo hertziano o da una distribuzione di corrente del tipo:

Attraverso la generalizzazione del metodo di Sommerfeld, in una formulazione a onda piana, la funzione di GREEN (che soddisfa l’equazione delle onde) può essere scritta nella seguente forma:

( )

r = I ⎜_⎝⎛r/ r' ⎟_⎠⎞ J δ

( )

₍

_{( )}

₎

( )

₍

_{( )}

₎

⋅ + ⋅ + − ⋅ ⋅ = ∫∫ h u u u h u u u r r e d k i r r G d d r d d i tanh coth ' 30 ' /

ε

λ

π

λ

(

)

( )

(

)

(

( )

)

( )

(

)

(

)

( )

(

)

⎟⎟_⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + − + − + − − + − ⋅ u k h u u k h u u u h u u u u k h u u k y r d d x d d y x d d y x x r d d x 2 2 2 2 2 2 2 2 tanh tanh tanh tanh λ ε λ λ λ λ λ λ ε λ

dove si ha che:

Ricordiamo che per modo d’onda si intende una particolare configurazione di campo elettrico e magnetico che può coesistere con una data struttura guidante e che può propagarsi all’interno di una certa struttura.

Data una struttura guidante in cui sono state definite le componenti di campo longitudinali e trasversali di campo elettrico e magnetico, si possono individuare tre classi di modi fondamentali:

Modo TEM ⇒ in cui Ez=0 e Hz=0; z è la direzione longitudinale

Modo TE ⇒ in cui Ez=0 ⇒ il campo elettrico è tutto nel piano trasverso

Modo TM ⇒ in cui Hz=0 ⇒ il campo magnetico è tutto nel piano trasverso

Le radici del denominatore della funzione integranda dell’equazione di GREEN forniscono i modi d’onda che si innescano nella struttura.[2]

Si ha infatti che:

Fornisce le radici dei modi TE Fornisce le radici dei modi TM

Attraverso vari passaggi matematici si può dimostrare che se εr è reale, cioè se il substrato è senza perdite, le radici di tali equazioni sono reali e sono posizionate nell’intervallo

Il numero delle radici, (ricavate con procedure numeriche) in funzione del tipo di substrato e del suo spessore è fornito dalle seguenti relazioni:

per t<π/2

(n-1/2)π<t<(n+1/2)π n=1,2,3…. nπ<t<(n+1)π n=0,1,2….

Dove: k0 è il numero d’onda valutato in aria

r d y x k u k u d d d ε λ λ λ λ λ 2 2 2 2 − = − = = y x y x y x y x r y x r y x y x ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ + = + = + = ⋅ = + = ' ' ' 2 2 2 λ λ λ λ λ λ λ λ

( )

( )

0 tanh 0 coth = + = + h u u u h u u u d d r d d

ε

k k < λ < ε _r

{

1 0 + = ⎩ ⎨ ⎧ = n N n N TM TE 1 0 − =k h _r t ε

Osservando le relazioni qui sopra si può notare semplicemente che il modo TM1 risulta essere sempre in cut-off (eccitato).

Dato che per le antenne a microstriscia il campo radiato è diretto verso l’asse delle z positive, se z>>h la funzione di GREEN può essere calcolata usando l’approccio di integrazione a fase stazionaria, che però si rivela inesatto se si vuol valutare la radiazione ad un angolo di ±90° cioè all’interfaccia aria-substrato.[2]

L’aumento dello spessore del substrato causa l’innesco di un maggior numero di modi d’onda di superficie, ciò ha come conseguenza la riduzione dell’efficienza dell’antenna, l’innesco di un maggior numero di lobi nell’andamento della radiazione e l’aumento della banda dell’antenna. Nella sua forma più generale l’equazione integrale per i dipoli a circuito stampato è data da:

In cui L è la lunghezza del dipolo, è la distribuzione di densità di corrente, e infine è la funzione di GREEN già definita in precedenza.

Nel caso di dipolo orientato lungo l’asse x, posto ad un’altezza z=0, alimentato al centro e con substrato spesso h che si estende in direzione delle z negative tale equazione si riduce alla valutazione della componente Ex.

3.2.1 Distribuzione di corrente

Per valutare la corrente all’interno di un dipolo posto su un substrato connesso a massa, deve essere applicato il metodo dei momenti alla seguente equazione di Pocklington:

Dove si ha che α=x;y a seconda che il filo sia diretto lungo x o lungo y.

La distribuzione di corrente deve soddisfare la seguente condizione al contorno: I(0)=I(L)=0. Per risolvere tale equazione l’antenna viene divisa in N intervalli; le funzioni scelte per effettuare l’espansione sono di tipo sinusoidale poiché, così facendo le condizioni al contorno per la corrente sono automaticamente soddisfatte; può inoltre essere ottenuta un’espressione in forma chiusa dei campi.

Una volta conosciuta la distribuzione di corrente sull’antenna, è possibile valutare la corrente Iin ai terminali d’ingresso necessaria per calcolare la Zin.

(

x y z

)

=L∫

[

k I +∇∇

]

⋅G

( ) ( )

r r ⋅J r dr E 0 2 0 / ' ' ' , ,

( )

r' J I xx y y z z ∧ ∧ ∧ + + =

( )

r/ r' G

(

)

∫

( )

⋅ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∂ ∂ Π ∂ + ∂ Π ∂ + Π ⋅ = α α α α α α α α L z _d z k I h y x E , , ' ' 2 2 2 2

Figura 3.2 Distribuzione di corrente in un dipolo Figura 3.3 Distribuzione di corrente in un dipolo stampato Re[I], Im[I] rispetto ad x (in λ0) stampato Re[I], Im[I] rispetto ad x (in λ0) (h=0,1016λ0;εr=3,25) (h=0,1016λ0;εr=1)

Figura 3.4 Distribuzione di corrente in un dipolo Figura 3.5 Distribuzione di corrente in un dipolo stampato Re[I], Im[I] rispetto ad x (in λ0) stampato Re[I], Im[I] rispetto ad x (in λ0) (h=0,127λ0;εr=3,25) (h=0,15λ0;εr=8,5) [4]

La presenza di un substrato diverso dall’aria, come mostrato nelle figure qua sopra, ha come conseguenza la diminuzione della parte reale e immaginaria della corrente nel dipolo.

Se si varia il materiale del substrato e il suo spessore facendo in modo che siano eccitati due modi dell’onda di superficie (invece che uno), si ottiene un cambio di segno nell’andamento della parte reale e immaginaria della corrente nel dipolo.

3.2.2 Impedenza d’ingresso

La presenza di un substrato diverso dall’aria fa aumentare la Zin del dipolo; ciò è causato dal fatto che tale substrato fa irradiare all’antenna sia onde di spazio (in aria) che onde di superficie (nel substrato).

L’onda di superficie (quella fondamentale) contribuisce solamente alla parte reale della Zin, mentre i modi di ordine superiore contribuiscono alla parte reattiva della Zin.

La parte reale della Zin è costituita da due contributi: resistenza di radiazione, che è associata all’energia dell’onda di spazio e dalla resistenza dell’onda di superficie, associata all’energia dei modi di superficie eccitati.

Dalle figure 3.6 e 3.7 si può notare che un incremento dello spessore del substrato, tale da far si che sia comunque eccitato un solo modo d’onda di superficie, comporta un aumento della parte reale della Zin, causato dall’aumento di entrambe le componenti che la costituiscono.[4]

Figura 3.6 Impedenza d’ingresso di un dipolo Figura 3.7 Impedenza d’ingresso di un dipolo stampato rispetto ad L (in λ0), (h=0,1016λ0; stampato rispetto ad L (in λ0), (h=0,127λ0;

εr=3,25) εr=3,25)

Se la larghezza del gap tra i due bracci del dipolo è mantenuta inferiore a 0,1λ0 ciò non influenza l’impedenza d’ingresso dell’antenna.

Aumentando la costante dielettrica del substrato si ottiene una diminuzione della resistenza di radiazione e come conseguenza si ha una riduzione dell’efficienza dell’antenna.

L’aumento dello spessore del substrato, è tale da far si che la lunghezza di risonanza dell’antenna ( quella lunghezza del dipolo per cui la parte immaginaria dell’impedenza d’ingresso si annulla)

varia secondo un’oscillazione smorzata centrata attorno al valore che viene raggiunto asintoticamente quando lo spessore tende all’infinito, e che corrisponde al valore di lunghezza di risonanza di un dipolo filare posto sopra un dielettrico molto spesso.[4]

3.2.3 Lobi di radiazione

Osservando le componenti di campo elettrico Eθ, Eφ nella zona di campo lontano, si può ottenere un’espressione in cui si può notare che Eθ dipende sia dai modi TE sia dai modi TM guidati nel substrato; mentre Eφ dipende solo dai modi TE.

In precedenza è stato detto che il numero dei modi eccitati nel substrato influenza il numero di lobi della radiazione; adesso, attraverso la seguente equazione vedremo come poter valutare il numero di lobi in funzione della struttura realizzata:

In tale espressione le parentesi quadre stanno ad indicare la parte intera del termine tra parentesi; N è un valore intero mentre a è un numero arbitrario reale positivo.

• Se N=0 ⇒ esiste un solo lobo con il massimo per θ=0.

• Se N>0, a>0 ⇒ esistono 2N+1 lobi, con uno che ha il massimo per θ=0. • Se N>0, a=0 ⇒ esistono 2N lobi con un nullo in θ=0.

Nel caso in cui N>0, le posizioni dei nulli nel diagramma di radiazione sono specificate considerando l’equazione seguente:

Se si assume che:

allora la posizione dell’ennesima coppia di nulli è data da:

Osservando i diagrammi di radiazione mostrati nelle figure 3.8 e 3.9 si può notare che una volta fissato il valore di εr, aumentando lo spessore del substrato si ottiene un aumento del numero dei lobi. Nelle figure 3.8 e 3.9 (a), (b), (c) è mostrato l’andamento della radiazione nel caso di substrato di PTFE con εr=2,35 e spessori rispettivamente di h=0,2λ0, h=0,975λ0, h=1,05λ0.

a N h h r r ⎥+ + ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = 0 0 1 2 2 λ ε λ ε N h h r r ⎥+ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 0 0 1 2 2 λ ε λ ε N n n m k dove m h r ... 2 , 1 : 1 2 0 = + = = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − λ ε 2 0 1 2 , 1 2 ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ± = − h kv sin _r n ε θ

Se invece viene fissato lo spessore del substrato e fatto variare εr, si nota che aumentando εr la direttività dell’antenna diminuisce, in quanto, se il numero dei modi nel substrato aumenta, viene irradiata più energia in direzione di θ=π/2.

Il comportamento appena descritto è invece mostrato nelle figure 3.9 (a), (b), (c), nel caso di spessore del substrato h=0,1016λ0 e costanti dielettriche rispettivamente εr=2;10;35. Possiamo perciò dire che una volta fissato lo spessore del substrato, se εr aumenta ⇒ HPBW aumenta. [5]

(a) (b)

(c)

Figura 3.8 Andamento della radiazione del dipolo stampato: piano E; piano H; con εr=2,35 ed h=0,2λ0; h=0,975λ0; h=1,05λ0 rispettivamente nei casi (a),(b),(c)

(a) (b) (c)

(c)

Figura 3.9 Andamento della radiazione del dipolo stampato: piano E; piano H; con h=0,1016λ0 ed εr =2; εr=10; εr=35 rispettivamente nei casi (a),(b),(c) [5]

3.2.4 Efficienza

Andiamo ora a valutare accuratamente come l’efficienza è relazionata alla struttura dell’antenna. E’ possibile sfruttare la scomposizione della resistenza di risonanza di ingresso per dare una definizione di efficienza; infatti si ha:

In tale formula sono state trascurate le perdite del substrato dielettrico e del conduttore.

Osservando nella figura 3.10, la dipendenza di Rrr e di Rrs in funzione dello spessore del substrato per dei valori fissati di εr, si osserva che più εr sale e maggiormente la Rrs risulta superiore alla Rrr e dunque l’efficienza diminuisce.[6]

Figura 3.10 Resistenza di risonanza rispetto allo Figura 3.11 Variazione della Rres e di η rispetto allo spessore del substrato [6] spessore del substrato [5].

Come si vede dalla figura 3.11, la max efficienza si ottiene per uno spessore del substrato leggermente inferiore a quello per cui si innesca il modo TE0; ciò risulta vero per qualsiasi valore di εr, e può essere notato nella figura 3.11 qua sopra.

Il fenomeno per cui si ottiene il massimo dell’efficienza appena prima che il modo TE0 vada in cut-off può essere spiegato osservando la figura della pagina seguente.

) /( _{rr rs} rr R R R + = η

Figura 3.12 Andamento dei raggi di campo nel substrato

Dalla figura 3.12 si nota che tutti quei raggi con θ>θc (θc= angolo critico) sono intrappolati come modi guidati nel substrato.

I raggi con θ<θc subiscono una riflessione sul piano di massa, subendo così una inversione di fase di 180° e dopo la rifrazione all’interfaccia aria-substrato contribuiscono alla radiazione di campo.

La maggior parte dei raggi TM rifratti si sommano in fase con la radiazione diretta mentre i raggi TE si sommano in controfase, producendo così una diminuzione del campo irradiato.

Proprio per tale motivo, se lo spessore del substrato viene aumentato mantenendo eccitato il solo modo TM0 l’efficienza aumenta; quando invece viene eccitato anche il modo TE0 l’efficienza inizia a diminuire.

3.2.5 Banda

Per quanto concerne la banda possiamo dare la seguente definizione:

Dove Rres è la resistenza di risonanza d’ingresso che come già detto è costituita da due contributi: la resistenza di risonanza di radiazione Rrr e la resistenza di risonanza dell’onda di superficie Rrs. Il termine dX/d(L/λ) non è altro che la derivata della reattanza di ingresso rispetto alla lunghezza dell’antenna normalizzata rispetto alla lunghezza d’onda nel dielettrico (ricordo che

).

Osservando il grafico relativo alla banda dell’antenna filare posta su un substrato, si può notare che variando lo spessore del substrato la banda assume il valore max per uno spessore

Lr res r W L d dX R L B ) / ( 2 1 λ = r ε λ λ = ₀/

leggermente superiore a quello per cui viene innescato il modo TE0; aumentando lo spessore, ciò assume un andamento di tipo oscillatorio smorzato, mostrato nella figura successiva.

In base a quanto appena enunciato e a ciò che si è detto in precedenza, pare allora evidente che con tale struttura non possa mai essere ottenuta contemporaneamente la condizione di massima banda e di massima efficienza.

Figura 3.13 Variazione di Lr e di Bw rispetto allo spessore del substrato

Osservando la figura 3.14 si nota che il valore massimo della banda ottenibile (BW)m aumenta monotonamente con εr, la banda valutata per uno spessore tale da ottenere la massima efficienza invece, aumenta finché εr<9,4, poi inizia a diminuire monotonamente.

Figura 3.14 Andamento della banda rispetto ad εr (Bw)m= massima banda. Bw= banda

3.3 Dipolo elettrico con dielettrico di copertura

A questo punto non resta che valutare l’effetto che ha un dielettrico di copertura sui parametri caratteristici del dipolo a microstriscia.

La presenza di un materiale dielettrico al di sopra dell’antenna influenza in maniera considerevole tutti i parametri di interesse; e cioè l’efficienza di radiazione, la resistenza di radiazione, la distribuzione della corrente, l’impedenza d’ingresso, il diagramma di irradiazione e il guadagno.

Anche in questo caso per analizzare i comportamenti di base delle antenne a microstriscia verrà risolto il problema del dipolo hertziano.

L’innesco delle onde di superficie avviene in modo analogo a quanto già visto in precedenza (senza strato di copertura); dunque, indipendentemente dagli spessori dei materiali il modo TM0 risulta sempre essere eccitato.

A seconda degli spessori e delle costanti dielettriche del materiale di copertura e del substrato, la presenza dello strato superiore può migliorare o peggiorare le caratteristiche di radiazione delle antenne.

La struttura su cui si baseranno i calcoli successivi è mostrata nella figura 3.15:

Figura 3.15 Dipolo elementare in presenza di uno strato di copertura

3.3.1 Effetto dello strato superiore sull’efficienza e sulla resistenza di radiazione

Una volta fissato lo spessore del substrato, l’efficienza di radiazione può essere ottimizzata scegliendo un opportuno spessore dello strato di copertura ( a patto che εr2>εr1).

Dai grafici delle figure 3.16 e 3.17 si può notare che il valore massimo dell’efficienza coincide con il massimo della curva della resistenza di radiazione e con il minimo del guadagno.[8]

Figura 3.16 (a) es rispetto ad n2t/λ0;(b) Rro rispetto a n2t/λ0; Figura 3.17 (a) es rispetto ad n2t/λ0;(b) Rro rispetto a (c) Gain rispetto ad n2t/λ0. n2t/λ0; (c) Gain rispetto ad n2t/λ0.[8]

3.3.2 Condizione di risonanza

Per ottenere la condizione di risonanza (una Zin puramente reale) migliorando l’efficienza di radiazione, la resistenza di radiazione e il guadagno, si possono effettuare due particolari scelte progettuali.

La prima consiste nello scegliere lo spessore del substrato in modo che a n1B/λ0=0,5 e quello dello strato di copertura per il quale n2t/λ0=0,25, verificando inoltre che εr2>εr1.

L’altra condizione prevede l’uso di materiali magnetici, in particolar modo l’antenna dovrà esser posta all’interfaccia tra un mezzo a bassa permeabilità magnetica (substrato) e uno con alta permeabilità magnetica (strato superiore); sotto tale condizione lo spessore del substrato e quello dello strato di copertura dovranno essere tali che n1B/λ0= n2t/λ0=0,25.

In cui: .

Questo secondo metodo è però di utilizzo meno pratico a causa della difficoltà di avere materiali a basse perdite e alta permeabilità magnetica.

3.3.3 Eliminazione delle onde di superficie

Può essere dimostrato che per materiali senza perdite è possibile realizzare una struttura substrato-superstrate tale da fornire un’efficienza del 100%.

Tale condizione però, si ottiene utilizzando dei substrati sottili che causano una resistenza di radiazione estremamente bassa, che rende quindi inutilizzabile l’antenna; resistenze di radiazione di valori accettabili si ottengono per spessori del substrato a partire da valori per cui n1B/λ0=0,25.

Per ottenere un’efficienza del 100% c’è da far si che K2>K1, (numeri d’onda nei due mezzi) inoltre deve essere trovato lo spessore dello strato di copertura (n2t/λ0) tale da far si che per il modo dominante sia garantita la condizione β=K1 oppure α=0; condizioni necessarie per garantire che nel substrato non ci siano variazioni di campo dell’onda di superficie.

E’ opportuno ricordare che β è la costante di fase dell’onda (è legata alla variazione di fase dell’onda) mentre α è la costante di attenuazione dell’onda. Se ε,µ sono reali si avrà α=0 e k=β. Il grande svantaggio connesso con l’ottenimento di un’efficienza del 100% è dato dal fatto che la banda ottenibile risulta stretta.

Attraverso le relazioni successive è possibile ricavare sia lo spessore del superstrate per cui si innesca il modo TE1 (n2tE1/λ0) sia quello per cui α=0 (n2tc/λ0).

1 1 1 = µ ε

Pare evidente che per ottenere α=0 e simultaneamente solo il modo dominante TM1 eccitato si dovrà avere tc<tE1.

Dalle relazioni precedenti si ricava che per uno specifico materiale usato per lo strato superiore, lo spessore del substrato non deve superare il valore n1Bmax/λ0.

Lo spessore massimo del substrato si ottiene quando si verifica la condizione tc=tE1; ciò si ricava dalla seguente relazione:

Da quanto ottenuto poco fa è possibile definire delle regole generali che possono essere utilizzate per ottimizzare l’efficienza [10]:

Se n1B/λ0≤ n1Bmax/λ0 ⇒ n2t/λ0=n2tc/λ0. Se n1B/λ0> n1Bmax/λ0 ⇒ n2t/λ0=n2tE1/λ0.

3.3.4 Effetti dello spessore dello strato di copertura sulla distribuzione di corrente e sull’impedenza d’ingresso

Verrà adesso analizzata l’influenza che ha sulla distribuzione di corrente e sull’impedenza d’ingresso dell’antenna la variazione dello spessore dello strato di copertura di un’antenna realizzata su un substrato spesso B=0,112λ0 e costante dielettrica εr2=2,6; sarà mostrato inoltre che il numero dei modi eccitati è una funzione dello spessore della copertura.

L’effetto dello spessore dello strato di copertura sarà indagato nel caso in cui il dielettrico di copertura è dello stesso materiale del substrato (εr2=εr1)

Gli spessori del superstrate saranno scelti in modo tale da eccitare il modo TE0 con l’obbiettivo di investigare l’effetto di uno e di due modi d’onda di superficie.[9]

A tal fine saranno considerati spessori del superstrate pari a t=0,112λ0 e t=0,159λ0. Osservando i grafici delle figure 3.18 e 3.19 è possibile osservare che:

1 1 2 cot / 1 1 2 cot 1 1 / 1 1 2 tan 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 0 2 2 1 0 1 2 2 2 1 1 2 2 2 0 1 2 − − = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ n n n n n t n n B n n n n t n c E ε λ π λ π µ µ λ π ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − − − − 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 0 max 1 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 tan 1 1 1 2 cot 1 1 tan 1 1 n n n n n n B n n n n ε λ π µ µ

1) La parte reale della distribuzione di corrente viene maggiormente influenzata dal dielettrico di copertura al centro del dipolo (vicino alla alimentazione); inoltre ai bordi dei bracci del dipolo si ottiene I(x)=0. E’ comunque possibile notare che variando lo spessore tra i due valori citati, la variazione della corrente risulta limitata.

2) Come accade per la parte reale, anche la parte immaginaria della corrente è maggiormente influenzata dallo spessore del dielettrico di copertura al centro del dipolo; se lo spessore varia da uno spessore nullo ad uno molto sottile è possibile osservare una forte variazione della parte immaginaria.

3) Dall’andamento della parte immaginaria dell’impedenza d’ingresso si può dedurre una riduzione della lunghezza di risonanza del dipolo che avviene analogamente a quanto già visto per la parte immaginaria della corrente.

Per concludere si può dire che finché lo spessore della copertura viene incrementato in modo da innescare un solo modo d’onda di superficie si ha una diminuzione della frequenza di risonanza; se invece lo spessore è tale per cui si innesca il secondo modo d’onda, la frequenza di risonanza viene incrementata.

Figura 3.18 Parte reale della distribuzione di corrente di Figura 3.19 Parte immaginaria della distribuzione di un dipolo a microstriscia stampato con un dielettrico di corrente di un dipolo a microstriscia stampato con copertura, per εr1=εr2=2,6; B=0,112λ0 un dielettrico di copertura. Per εr1=εr2=2,6; B=0,112λ0

Figura 3.20 Parte reale dell’impedenza d’ingresso Figura 3.21 Parte immaginaria dell’impedenza d’ingresso di un dipolo a microstriscia alimentato al centro di un dipolo a microstriscia alimentato al centro con un con un dielettrico di copertura; per εr1=εr2=2,6; dielettrico di copertura εr1=εr2=2,6; B=0,112λ0;[9]. B=0,112λ0.

3.3.5 Effetti della permittività relativa sulla distribuzione di corrente e sull’impedenza d’ingresso

Per analizzare l’effetto della permeabilità relativa sulla distribuzione di corrente e sull’impedenza di ingresso di una antenna a dipolo alimentata al centro è stata presa in esame una struttura con lo stesso spessore dello strato di copertura e del substrato, pari a t=B=0,112λ0. L’effetto è stato analizzato nel caso di tre diverse costanti dielettriche: εr=2,6; εr=3,2; εr=5. Osservando le figure 3.22; 3.23;3.24 e 3.25 mostrate di seguito possono essere fatte le seguenti riflessioni:

1) La parte reale della distribuzione di corrente cambia considerevolmente solo nel caso in cui εr=5; per gli altri valori invece risulta abbastanza insensibile.

2) Come accade per la parte reale, anche la parte immaginaria della distribuzione di corrente cambia considerevolmente solo per εr=5;in tale condizione inoltre, si nota un cambio di segno nella zona vicino all’alimentazione.

3) Osservando i grafici della parte reale e immaginaria della Zin si vede che se εr viene incrementato si ottiene la diminuzione della lunghezza di risonanza e della parte reale della Zin.

Per concludere si può dire che se εr aumenta, attraverso le onde di superficie molta più energia si accoppia con il dielettrico di copertura, ciò ha come conseguenza (a parità degli spessori del substrato e del dielettrico)la diminuzione dell’efficienza dell’antenna.

Figura 3.22 Parte reale della distribuzione di corrente di Figura 3.23 Parte immaginaria della distribuzione di un dipolo a microstriscia stampato con un dielettrico di corrente di un dipolo a microstriscia stampato con copertura, per vari εr1; εr2=2,6; t= B=0,112λ0. un dielettrico di copertura; per vari εr1; εr2=2,6; t=B=0,112λ0.

Figura 3.24 Parte reale dell’impedenza d’ingresso Figura 3.25 Parte immaginaria dell’impedenza d’ingresso di un dipolo a microstriscia alimentato al centro di un dipolo a microstriscia alimentato al centro con un con un dielettrico di copertura; per vari εr1; εr2=2,6; dielettrico di copertura per vari εr1; εr2=2,6;t=B=0,112λ0; t=B=0,112λ0;

3.3.6 Ottenimento di una radiazione verso l’orizzonte

Dopo aver analizzato gli effetti dello strato di copertura sull’efficienza di radiazione, sull’impedenza d’ingresso e sulla distribuzione di corrente nel dipolo, è possibile analizzare il modo in cui, scegliendo opportunamente il dielettrico di copertura si può ricavare una radiazione di tipo quasi “omnidirezionale”.

Generalmente la radiazione di antenne stampate realizzate con un dielettrico di copertura tende a zero lungo l’orizzonte (θ=90°).Tale condizione è sempre verificata, tranne quando lo spessore del dielettrico di copertura assume dei particolari valori, e cioè quelli per cui vengono accesi i modi TE o TM.

Quando viene acceso il modo TE1 nel piano H si ottiene un andamento quasi “omnidirezionale”, quando invece viene acceso il modo TM2 l’andamento “omnidirezionale” si ottiene nel piano E. Nell’analisi che sarà effettuata, viene considerato il problema di un dipolo elementare posto orizzontalmente in direzione x all’interno di un substrato connesso a massa, sopra il quale è presente l’aria; i risultati saranno poi generalizzati al caso in cui sopra al dipolo c’è un dielettrico diverso dall’aria.[10].

Figura 3.26 Substrato con all’interno il dipolo elementare

La radiazione in campo lontano causata dal dipolo elementare posto all’interno del substrato (spesso B e di costanti ε1 µ1) ad un’altezza z=Z0 decade come 1/K0R e per K0R>>1 in coordinate sferiche risulta essere:

Dove mentre Πx , Πz sono le componenti del potenziale hertziano;

[

]

[

x

]

R z R x R sin K E sin K E Π − ≅ Π − Π ≅ φ θ φ θ φ θ 2 0 2 0 cos cos 0 0 0 =ω µ ε K R JK R R JK R e R K E E e R K E E 0 0 0 0 − − ⋅ ≅ ⋅ ≅ φ φ θ θ

(

)

(

)

z R JK R K R z x R JK R K R x e R K e R K Π = Π Π = Π ∞ → ∞ → 0 0 0 0 0 lim lim

Manipolando tali equazioni ci si può accorgere che verso l’orizzonte (θ→π/2) il campo radiato tende a zero; tale condizione può non verificarsi se i termini De(K0sinθ) o

Dm(K0sinθ) tendono a zero con θ→π/2. In cui:

Se De(K0)=0 segue:

Altrimenti se Dm(K0)=0 allora:

Le due condizioni appena scritte non sono altro che le condizioni che si devono verificare per avere l’accensione dei modi d’onda di superficie TE e TM.

Avremo perciò che quando θ→π/2: risulterà diverso da zero se viene acceso il modo TE; analogamente risulterà diverso da zero se viene eccitato il modo TM.

Questi risultati indicano che all’orizzonte può assumere un valore diverso da zero solo quando viene eccitato un modo TE, invece, può essere diverso da zero se viene eccitato un modo TM.

Sebbene i risultati mostrati siano veri in generale, si possono verificare dei casi eccezionali in cui nonostante si abbia il cut-off di un modo d’onda di superficie la radiazione per θ→π/2 avrà un nullo; ciò si verifica se Z0 (distanza dal piano di massa a cui si trova il dipolo) rispetta la seguente relazione:

Oppure:

Tale condizione coinvolge l’accensione del modo TM, avremo allora che:

( )

( )

( )

( )

u n

( )

u B u sinh

( )

u B D B u u B u sinh u D m e 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 cosh cosh ⋅ + ⋅ = + ⋅ = µ λ µ λ .... 2 , 1 2 2 1 1 1 2 1 0 1 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = − ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ m m n B n λ

(

)

.... 2 , 1 2 1 1 1 ₂ 1 0 1 = − = − ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ m m n B n λ R x Π R z Π R E_φ R E_θ 1 1 1 = µ ε n

[

K₀Z₀ n₁2 −1

]

=0 sin ... 2 , 1 , 0 1 1 2 2 1 0 0 1 = − = p n p Z n λ

(

)

.... 2 , 1 , 0 1 1 2 2 1 0 0 1 = − = − l n l Z B n λ

Nella maggior parte dei casi l=0, dunque B=Z0 cioè siamo nella condizione in cui l’antenna è stampata all’interfaccia tra il substrato e l’aria.

Analogamente, la condizione di nullo per θ→π/2 nel piano H avviene accendendo il modo TE, ovvero quando:

I risultati appena trovati possono estendersi rapidamente anche a strutture (vedere figura 3.27) in cui il dipolo si trova all’interfaccia tra un substrato e un dielettrico diverso dall’aria.

Figura 3.27 Dipolo all’interno del substrato con dielettrico di copertura [10]

In strutture di questo tipo, la radiazione verso l’orizzonte nel piano H avviene quando si accende il modo TE, cioè quando si verifica la seguente relazione:

Nel piano E invece, deve accendersi il modo TM e si dovrà verificare la seguente relazione:

Come già visto in precedenza, anche ora, nonostante l’accensione di uno dei due modi d’onda, si può verificare il caso eccezionale poco fa descritto, tale condizione si verifica attraverso le relazioni già scritte in precedenza adesso però n1 coincide con lo strato più in basso.

(

) (

)

.... 2 , 1 , 0 1 1 2 2 1 2 1 0 0 1 = − + = − l n l Z B n λ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ − − ⋅ − = − 2 1 0 1 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 0 2 1 1 2 cot 1 1 tan 1 2 n B n n n n n t n λ π µ µ π λ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ − − ⋅ − − = − 2 1 0 1 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 0 2 _{tan 2 1 1} 1 1 tan 1 2 n B n n n n n t n λ π ε ε π λ

3.3.7 Interpretazione ottica dei raggi

Per spiegare l’effetto della radiazione verso l’orizzonte si può intraprendere un’analisi dei raggi che partono dall’antenna.

Figura 3.28 Geometria ottica dei raggi

Osservando la figura 3.28 qua sopra, si può notare che i raggi che partono dal dipolo vengono riflessi all’interfaccia substrato-piano di massa mentre all’interfaccia substrato-aria si verifica anche una parziale trasmissione dei raggi nello spazio libero.

Nella figura 3.28, θ rappresenta l’angolo del raggio trasmesso in aria mentre θ1 è l’angolo di riflessione nel dielettrico ed è determinato dalla legge di Snell: n1sinθ1=sinθ

Se θ→π/2 i raggi sono tutti intrappolati nel substrato e la radiazione nello spazio libero tende a zero, con la sola eccezione quando i raggi si sommano in fase dopo ogni riflessione.

I raggi passando da a→b subiscono una variazione di fase pari a:

±π è il contributo causato dalla inversione di fase del campo E tangente all’interfaccia substrato piano di massa.

arg(Γ) è il contributo della variazione di fase introdotta dalla riflessione all’interfaccia

Se θ→π/2 ⇒ arg(Γ)=±π per Eװ mentre arg(Γ)=0 per E⊥

∆ab è la variazione di fase che i raggi subiscono nel viaggiare da a→b

K0dab è la variazione di fase dovuta al fattore d’array.

Bisogna ricordare che Γ è il coefficiente di riflessione per i raggi all’interfaccia z=B e vale:

In cui:

Nel caso di campo elettrico nel piano di incidenza Eװ

d a d a Z Z Z Z + − = Γ 0cos θ µ θ n Z_a = =

( )

ab ab ab =±π +arg Γ +∆ +K0d φ

Oppure:

Nel caso del campo elettrico normale al piano di incidenza E⊥

Affinché dopo ogni rimbalzo i raggi si sommino in fase, è richiesto che φab=-2πm m=0,±1,±2…. Si deve perciò verificare che:

Per Eφ mentre Per Eθ

L’interpretazione a raggi può essere usata anche per descrivere quei casi particolari in cui verso l’orizzonte si ha una radiazione nulla, nonostante che un modo si trovi in cut-off.

Sfruttando quanto ricavato, si può sviluppare un criterio in base al quale si riesce a valutare lo spessore ottimo del substrato in modo da ricavare un diagramma di radiazione il più possibile “omnidirezionale”.

Il criterio consiste nello scegliere lo spessore Z0=B in modo tale che la densità di potenza di radiazione sia la stessa per θ=0 e per θ=π/2.

Nella figura 3.29 è mostrato come varia lo spessore ottimo in funzione di differenti materiali del substrato e dello strato di copertura.

Sia che si aumenti la permittività relativa dello strato di copertura, sia se si riduca quella del substrato, la condizione di omnidirezionalità nel piano H si realizza per spessori del substrato sempre più piccoli.

Nel piano E invece, per piccoli valori di ε1, se ε2 sale aumenta anche lo spessore per il quale si ottiene la condizione di omnidirezionalità. Se ε1 supera 2,2 l’aumento di ε2 e quello di ε1 causano la riduzione dello spessore del substrato per cui si ottiene l’andamento “omnidirezionale”.

Dai grafici mostrati in figura 3.30 si osserva che se ε1 diminuisce il dipolo assume una radiazione meno omnidirezionale.

Bisogna ricordare che per tale struttura, la condizione di omnidirezionalità può essere ottenuta per una sola frequenza.

1 1 1 0 0 sec sec θ ε µ θ n Z n Z d a = =

(

)

.... 2 , 1 1 1 2 2 1 2 1 0 1 = − − = m n m B n λ

(

)

.... 2 , 1 1 1 2 1 2 1 0 1 = − − = m n m B n λ

Figura 3.29 (a) n1B/λ0 rispetto a ε2 per la condizione di omnidirezionalità nel piano E. (b) n1B/λ0 rispetto a ε2 per la condizione di omnidirezionalità nel piano H.[10]

Figura 3.30 Radiazione verso l’orizzonte nel piano E usando la condizione di ottimo n1Z0/λ0 per differenti valori di ε1. (a) ε1=2; (b) ε1=1,5; (c) ε1=1,3; (d) ε1=1,1.

3.3.8 Effetto dello strato di copertura sul guadagno dell’antenna

A questo punto andiamo a valutare come viene modificato, e quali sono le tecniche per aumentare il guadagno del dipolo a microstriscia.

Se sopra il dipolo viene aggiunto un dielettrico di copertura, il guadagno dell’antenna può essere significativamente incrementato; utilizzando materiali con ε>>1 oppure µ>>1, per un fissato angolo θ del diagramma di irradiazione, è possibile ottenere un grande guadagno.

Lo svantaggio derivante dall’elevato guadagno ottenibile, come già detto, è dato dal fatto che la banda ottenibile risulta assai stretta.

Attraverso l’analogia con le linee di trasmissione, si possono definire F(θ) e G(θ), come le tensioni che, ( corrispondenti alla componente di campo elettrico normale a z) all’altezza z=Z0 all’interno del substrato sono causate da un’onda di tensione incidente di potenza unitaria; conoscendo F(θ) e G(θ) è possibile determinare il guadagno dell’antenna in direzione (θ,φ) riferito a quello di un radiatore isotropico.

Si ha perciò:

Generalmente viene più utilizzato il guadagno espresso in dB che risulta:

Per risolvere l’equazione qua sopra, l’integrale deve essere ricavato attraverso integrazione numerica; in condizione di alto guadagno, tale integrale può anche essere valutato asintoticamente.

Utilizzando materiali ad alta permittività elettrica (ε2>>1), per ottenere un elevato guadagno per θ=0° si devono verificare le seguenti condizioni dette di risonanza:

Con m,n,p interi positivi

⇒ EQUAZIONE (A)

( )

(

( )

( )

)

( )

( )

[

θ θ

]

θ θ θ φ θ φ φ θ _π d G F sin G F sin gain ⋅ + ⋅ + ⋅ = ∫2 0 2 2 2 2 2 2 cos 4 ,

( )

(

θ,φ

)

10Log₁₀ gain gain_dB = 4 1 2 4 1 2 2 0 2 0 0 1 0 1 − = − = = p t n n Z n m B n λ λ λ

Se invece si utilizzano materiali con un’elevata permeabilità magnetica (µ2>>1) per ottenere un elevato guadagno in corrispondenza di θ=0 si devono verificare le seguenti condizioni:

Con m,n,p interi positivi

Uno degli svantaggi di questi due metodi consiste nella necessità di utilizzare degli strati di materiali abbastanza spessi, che in alcune applicazioni possono risultare un fattore limitante. Risulta evidente che per ottenere strati il più sottile possibili bisogna scegliere m=n=p=1 che nel caso di materiali con alta permittività dielettrica corrisponde alla condizione in cui il dipolo si trova nel mezzo del substrato; usando materiali con alta permeabilità magnetica invece, il dipolo si troverà all’interfaccia substrato-superstrate, ottenendo così un substrato più sottile.

Poiché i risultati ottenibili con le due scelte descritte risultano pressoché simili, l’analisi riportata in seguito considererà solo l’uso di materiali con alta permittività elettrica.

Secondo l’analogia con le linee di trasmissione la struttura mostrata a pagina 83 in figura 3.27 può essere schematizzata nella seguente maniera:

Figura 3.31 Analogia con la linea di trasmissione

Perciò l’impedenza valutata a z=B vale:

Dunque per θ=0 si ottiene ZB=0⇒ il secondo tratto della linea si comporta come un trasformatore a λ/4; l’impedenza valutata a z=H invece risulta essere:

4 1 2 4 1 2 4 1 2 0 2 0 0 1 0 1 − = − = − = p t n n Z n m B n λ λ λ 0 0 0 2 1 2 0 1 1 1 0 2 2 ε µ η θ λ π ε µ η = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅ − ≅ n B n J Z_B 1 2 2 2 0 2 2 θ ε µ η _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ≅ ≅ B n J Z Z Z_in c

Perciò se θ =0 ⇒ Zin=∞

Per quanto concerne la tensione, a z=H vale: mentre la tensione a z=Z0 risulta:

Definendo θh come l’angolo per il quale la tensione V0 risulta diminuita di un fattore rispetto al valore per θ=0 si ottiene:

Come mostrato nella figura seguente, (figura 3.32) ciò corrisponde ad una radiazione molto direttiva attorno a θ=0, dunque la linea di trasmissione si comporta come un circuito risonante.

Figura 3.32 (a) Andamento nel piano E per la prima condizione di risonanza. (b) Andamento nel piano H per la prima condizione di risonanza (ε2>>ε2).

3.3.9 Formule asintotiche per il guadagno, il beamwidth e la banda

Nel caso in cui il materiale di copertura sia ad alta permittività elettrica o ad alta permeabilità magnetica, nel caso di θ=0, per F(θ) e G(θ), possono essere ricavate delle formule approssimate con cui si può valutare asintoticamente il guadagno, il beamwidth e la banda dell’antenna.

Se ε2>>1 e θ<<1 si ottiene: 0 2 1 η + = Γ + = in in in in Z Z V

( )

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ − ≅ + + + 2 1 1 2 2 0 1 2 1 1 1 2 2 1 0 1 1 1 1 2 θ ε µ ε λ π ε µ µ ε n B n J V m n p 2 1 2 1 2 1 1 2 0 1 1 − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ ⋅ ≅ µ ε ε λ π θ n B n h

( )

( )

2 1 4 2 1 2 1 1 2 2 2 1 1 1 4 ε π θ µ ε µ ε θ θ B n a a G F ⋅ ⎟⎟ ⎞ ⎜⎜ ⎛ ⋅ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ≅ ≅

A questo punto il guadagno si riduce nella seguente forma:

Il beamwidth invece, definito come θw=2θh diventa:

Per valutare la banda è necessario ricavare un’ulteriore formula approssimata per il guadagno, valida per frequenze vicine ma non uguali alla f0; a tal fine viene introdotto il parametro deviazione di frequenza, definito come:

Nel caso in cui ∆<<1 l’equazione del guadagno ricavata poco fa viene modificata nella seguente maniera:

Figura 3.33 Andamento della funzione f(x)

Dal grafico della f(x) (figura 3.33) si nota che f(0)=1, ciò inoltre decresce molto più rapidamente per x>0 rispetto a quanto accade per x<0; tale comportamento è dovuto dal fatto che per f<f0 l’andamento si allarga solo se il guadagno diminuisce.

Per f>f0 invece l’andamento si allarga leggermente e l’effetto principale è che il guadagno non ha più il picco in θp=0 bensì in

Dall’andamento di f(x) si osserva inoltre che in x1=-2,91 e in x2=0,671 la f(x)=1/2; perciò la banda relativa al guadagno risulta:

Affinché le relazioni asintotiche approssimino in buon misura quelle esatte, si deve verificare che a1>>1 e b1>>1. ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ≅ 2 1 1 2 0 1 8 µ ε ε λ n B n gain 1 2 a w ≅ θ 1 0 − = ∆ f f

( )

( )

( )

x x x f n a n B n b b f n B n gain 1 2 2 1 1 2 1 1 2 0 1 1 1 2 1 1 2 0 1 tan 2 1 1 1 2 2 8 − + + = = ⋅ = ∆ ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ≅ π µ ε ε λ π µ ε ε λ ∆ ≅n₁ 2 p θ 1 0 1 2 3,58 b f f f w ≅ − = ∆

Per ottenere il massimo guadagno ad un angolo 0<θp<π/2 le tre condizioni di risonanza che si devono realizzare (già viste qualche pagina indietro) possono essere generalizzate nella seguente maniera:

Nel caso in cui θp>0 e ε2>>1 le formule di F(θ) e G(θ) risultano assai più complicate:

Il guadagno sarà perciò dipendente da θp e da φ:

Adesso il beamwidth risulterà differente a seconda del piano in cui viene valutato; nei due piani principali può essere ricavato con le seguenti equazioni:

Piano E (φ=0) ⇒

Piano H (φ=π/2) ⇒

Poiché A<B , il beamwidth nel piano H è più piccolo di quello nel piano E. La banda infine può esser ricavata con la formula seguente:

(

)

(

)

(

2

)

2 2 0 2 0 2 2 1 2 0 0 1 0 0 1 2 1 2 0 1 0 1 1 1 1 n sin t n t n n sin Z n Z n n sin B n B n p p p θ λ λ θ λ λ θ λ λ − ⋅ ⇒ − ⋅ ⇒ − ⋅ ⇒

( )

( )

₍

₎

( )

₂

( )

₍

₎

₂ 2 2 2 2 2 2 1 1 p p p p B F F A G G θ θ θ θ θ θ θ θ − + ≅ − + ≅

( )

(

)

(

(

)

)

( )

(

(

₂

)

)

1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 4 1 cos 4 − − ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ≅ − ⋅ ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ≅ n sin F n sin G p p p p p θ µ ε µ ε θ θ θ µ ε µ ε θ

(

)

(

₂

)

1 1 2 1 1 2 2 0 1 1 ₁ 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − − = sin sin n n B n B θ_p θ_p ε µ ε λ π p p sin n B n A θ θ ε µ ε λ π 2 1 1 2 2 0 1 1 _cos 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

( )

( )

( )

(

) ( )

( )

( )

( )

( )

[

(

p

)

]

[ ]

p p p p p p p x x x A A G B B F sin G F sin gain θ θ π ξ ξ θ ξ θ θ θ φ θ φ φ θ 1 1 2 2 2 2 2 2 tan 2 tan ) ( cos ) ( 4 , − − _{⋅ − +} = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ + ⋅ ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{⋅ + ⋅} ⋅ ≅ A w 2 ≅ θ B w 2 ≅ θ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⋅ ≅ ∆ p p w w sin n sin θ θ θ θ ₂ cos₂

Osservando le figure 3.34, 3.35, 3.36 si può dire che, una volta fissato lo spessore del substrato, lo spessore dello strato di copertura ed ε1 e ricordando che nel caso in cui ε2>>1 il dipolo si trova nel mezzo del substrato, si ha che se ε2 sale ⇒il guadagno aumenta.

Se l’angolo θp aumenta, nel piano E si ottiene una riduzione del guadagno, nel piano H invece si osserva un aumento; per il beamwidth invece se ε2 sale ⇒ HPBW diminuisce.

Se ε2 cresce ⇒ la banda diminuisce, mentre se θp aumenta, nel piano E la banda sale, e nel piano H diminuisce.

Figura 3.34 (a) Guadagno di risonanza nel piano E rispetto ad ε2 per differenti angoli. (b) Guadagno di risonanza nel piano H rispetto ad ε2 per differenti angoli.

Figura 3.35 (a) Andamento del beamwidth nel piano E rispetto ad ε2 per differenti angoli. (b) Andamento del beamwidth nel piano H rispetto ad ε2 per differenti angoli.

Figura 3.36 (a) Andamento della banda nel piano E rispetto ad ε2 per differenti angoli. (b) Andamento della banda nel piano H rispetto ad ε2 per differenti angoli.

Le relazioni approssimate valide per F(θ) e G(θ) ricavate in precedenza rimangono valide solo nel caso in cui θp<π/2.

Com’è già stato detto in precedenza, quando il modo TE è in cut-off, F(θ→π/2)≠0; se invece ad essere in cut-off è il modo TM, G(θ→π/2)≠0.

Dai diagrammi di radiazione nei piani E ed H mostrati nella figura 3.37 si osserva che nel piano H, per θ=π/2 la radiazione è molto stretta, mentre nel piano E tende a zero.

Figura 3.37 (a) Andamento nel piano H per la radiazione di risonanza verso l’orizzonte nel piano H. Andamento nel piano E per la radiazione di risonanza verso l’orizzonte nel piano H.[11]

Poiché per G(θ→π/2) non è possibile ottenere una relazione approssimata, per il guadagno non è ricavabile una formula asintotica.

3.3.10 Trattazione per angoli multipli

Lo spessore del substrato e la sua costante dielettrica possono essere scelti in modo da far si che il guadagno sia massimo per due angoli differenti θ1 e θ2.

Per ottenere ciò si devono verificare le seguenti condizioni:

Assumendo θ1<θ2 segue che n<m e q<p inoltre: dunque n1≥1.

(

)

(

)

(

)

(

)

4 1 2 1 4 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 0 0 1 2 1 1 2 0 0 1 2 1 2 2 0 1 2 1 1 2 0 1 − = − ⋅ − = − ⋅ = − ⋅ = − ⋅ q n sin Z n p n sin Z n n n sin B n m n sin B n θ λ θ λ θ λ θ λ 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 θ θ sin sin p q m n − − ≥ − − =

Per ottenere un substrato il più sottile possibile, m ed n possono essere scelti dispari; p e q invece, sono determinati da m=2p-1 ed n=2q-1.

Poiché lo spessore dello strato superiore può essere determinato attraverso l’equazione (A) a pagina 87 segue che:

e

Per evitare di ottenere un massimo del guadagno ad ulteriori angoli oltre θ1 e θ2 va imposto che:

e

Tali condizioni impongono un limite alla distanza minima che ci può essere tra i due angoli; infatti se n=3, m=5 e θ1=30°, si ottiene che θ2>60°.[11]

3.3.11 Aumento del guadagno attraverso l’uso di multipli strati di copertura

In precedenza è stato analizzato un metodo che per aumentare il guadagno dell’antenna fa affidamento sul verificarsi della condizione di risonanza tra substrato e superstrate.

Con tale metodo è però necessario usare materiali di copertura con alti valori di ε o µ che nella pratica sono difficilmente utilizzabili.

Adesso verrà proposto un metodo per aumentare il guadagno che fa uso di multipli strati di copertura con valori di ε e µ ragionevoli; anche in questo caso per ottenere un elevato guadagno deve verificarsi una delle due condizioni di risonanza già definite alle pagine 87 e 88.(dove c’è l’equazione A), con la sola modifica che tutti gli strati di copertura devono essere spessi λ/4. Noteremo inoltre che il guadagno ottenibile aumenta se viene aumentato il numero degli strati di copertura.

Bisogna ricordare però che l’aumento del guadagno dell’antenna ha come conseguenza la diminuzione della banda della stessa e una maggiore sensibilità del progetto dai parametri dello stesso.

I raggi che partono dall’antenna e incidono all’interfaccia di mezzi differenti saranno curvati in accordo con la legge di Snell.

In base a quanto già visto in precedenza attraverso l’analogia con le linee di trasmissione, scegliendo opportunamente i parametri dei vari strati di copertura si riesce a far si che i raggi irradiati nello spazio libero siano curvati in una particolare direzione

2 1 2 2 2 2 2 1 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = m n sin m n sin n θ θ

(

2

)

1 1 2 0 1 1 2 n sin m B n θ λ = ₋ 2 2 1 1 2 2 1 0 1 _{⋅ − >} − + = n n B n n m λ 2 2 0 1B < m+ n λ

Adesso sarà analizzata la seguente struttura in cui un dipolo elettrico elementare (HED) si trova all’interno di un substrato sopra il quale sono posti N-1 strati di copertura:

Figura 3.38 Dipolo elettrico hertziano all’interno del substrato con multipli strati di copertura.

Si è già detto che esistono due condizioni di risonanza; nella prima tutti gli strati di copertura sono spessi λ/4 mentre il substrato è spesso λ/2 e il dipolo si trova nel mezzo del substrato; nella seconda invece, tutti gli strati (anche il substrato) sono spessi λ/4 e il dipolo si trova all’interfaccia tra il substrato e il primo strato di copertura.

Per quanto concerne la prima condizione di risonanza, per ottenere un guadagno elevato gli strati di copertura devono essere sistemati in modo che quelli pari abbiano una bassa impedenza d’onda (grande ε) mentre quelli dispari un’alta impedenza d’onda (grande µ); nella seconda condizione di risonanza deve invece accadere il contrario.

Nella figura 3.39 viene mostrato l’andamento della radiazione nel piano E nel caso della prima condizione di risonanza (strati pari elettrici e dispari magnetici).

Figura 3.39 Andamento nel piano E per la prima condizione di risonanza. Per gli strati pari ε=10; µ=1; mentre per gli strati dispari ε=1; µ=4; :6 strati; ▲▲ :4 strati; ++ :2 strati.

Per concludere è necessario tenere in considerazione che i materiali usati nella pratica avranno delle perdite che influenzeranno il guadagno dell’antenna in maniera più o meno significativa; si nota inoltre che maggiore è il numero degli strati di copertura e maggiore è la degradazione del guadagno; comunque, se le perdite dei materiali non sono eccessive si ottiene lo stesso un aumento del guadagno.[12]

Nella tabella seguente viene evidenziato l’effetto che ha l’aumento del numero di strati di copertura nel caso di materiali con perdite.