Corso di Laurea in Fisica Compito di Fisica 3 (E. Santovetti - L. Dell Asta) 24 settembre 2020

Compito di Fisica 3

(E. Santovetti - L. Dell’Asta) 24 settembre 2020

Problema 1

Due lenti convergenti sono poste in successione, una dopo l’altra, sullo stesso asse ottico a distanza f = 20 cm una dall’altra. La prima lente, a sinistra seguendo il raggio di luce che viene da sinistra, ha focale 2 f mentre la seconda ha focale f , come indicato nella figura.

1. Calcolare la posizione dei fuochi del sistema.

2. Calcolare la posizione di un oggetto posto a distanza p₁= 30 cm dalla prima lente.

3. Calcolare l’ingrandimento trasversale di tale oggetto, specificando se l’immagine `e dritta o capovolta.

4. Verificare i risultati dei punti 2 e 3, trattando le due lenti come un sistema diottrico centrato.

p

2f f

Problema 2

Un reticolo di diffrazione viene illuminato da un fascio di luce monocromatica di lunghezza d’onda λ = 5550 ˚A. Si osservano dei massimi principali a sin θ = 0.2, 0.4, 0.6. La larghezza delle feniture vale a = 555 nm. Calcolare:

1. il passo del reticolo;

2. l’intensit`a del terzo massimo principale rispetto al massimo centrale;

3. il potere dispersivo del reticolo per il massimo del secondo ordine;

4. considerando solo i primi tre massimi principali, per cui l’intensit`a `e ben visibile, qual `e la massima separazione angolare per il doppietto del sodio, che ha le lunghezze d’onda λ1= 5890 ˚A e λ2= 5896 ˚A.

Problema 3

Un raggio di luce non polarizzata di potenza P₀= 3 mW incide su un prisma regolare retto (n = 1.5), la cui base `e un triangolo rettangolo isoscele, come indicato in figura. Il raggio di luce viene dall’alto lungo la verticale ed incide sulla superficie obliqua con un angolo di incidenza θi= 45^o.

1. Disegnare e calcolare la direzione, la potenza e il grado di polarizzazione del raggio che viene riflesso dalla superficie obliqua.

Si consideri ora il raggio che viene trasmesso dal prisma, dopo aver attraversato due superfici.

2. Disegnare il raggio trasmesso e calcolare la deflessione di quest’ultimo rispetto al raggio incidente.

3. Calcolare la potenza e il grado di polarizzazione del raggio trasmesso.

θ _i

n

Problema 1

Scriviamo le equazioni delle due lenti sottili 1

p₁+ 1 q₁ = 1

2 f p₂= f − q₁ 1

p₂+ 1 q₂= 1

f (1)

Troviamo i fuochi, anteriore e posteriore mandando rispettivamente immagine, q₂, e oggetto, p₁, del sistema all’infi- nito.

q2→ ∞ ⇒ p2= f ⇒ q1= 0 ⇒ F1= p₁= 0

p₁→ ∞ ⇒ q₁= 2 f ⇒ p₂= − f ⇒ F₂= q₂= f

2 = 10 cm Sempre usando le equazioni (1), calcoliamo ora la posizione dell’oggetto a distanza p₁= 30 cm

p₁= 50 cm ⇒ q₁= −120 cm ⇒ p₂= 140 cm ⇒ q₂= 23.33 cm

L’immagine si forma 23.33 cm a destra della seconda lente. L’ingrandimento `e il prodotto degli ingrandimenti dei due diottri.

I₁=q1

p₁ = −4 (dritta) I₂= q2

p₂= 0.1667 (capovolta) ⇒ I= I₁· I₂= 0.667 (capovolta) L’immagine `e rimpicciolita di un fattore 2/3 ed `e capovolta.

Consideriamo ora le due lenti come un sistema diottrico centrato. Abbiamo gi`a calcolato la posizione dei fuochi e dunque dobbiamo solo calcolare la focale, secondo la formula

F= f1f2

f₁+ f₂− d = 2 f²

3 f − f = f = 20 cm

Il piano principale π1 si trova allora 20 cm a destra del fuoco anteriore F₁, cio`e esattamente nella posizione della seconda lente, mentre il piano principale π2 si trova 20 cm a sinistra del fuoco posteriore F<sub>2</sub>, cio`e esattamente in mezzo alle due lenti. La situazione `e indicata nella figura, dove sono evidenziati anche i raggi che individuano i piani principali.

p

F

F

π

π

Misurando oggetto e immagine rispetto ai piani principali vale l’equazione 1

p+1 q = 1

F p= 50 cm ⇒ q= 1

F −1 p

−1

= 33.33 cm

La posizione `e la stessa trovata prima, se consideriamo che ora q `e riferita al piano π2. Per l’ingrandimento abbiamo I=q

p=33.33

50 = 0.667 (capovolto)

3

Problema 2

In un reticolo di diffrazione, i massimi principali si trovano lungo le direzioni:

sin θ = mλ d

Utilizzando la posizione del primo massimo principale (m = 1), otteniamo che il passo del reticolo vale:

d= λ sin θ1

= 5λ = 2.775 µm

Per ottenere l’intensit`a del terzo massimo principale rispetto al massimo centrale ricordiamo che:

R_m= I_max(m)

I_max(m = 0)= f (θ3)² sin mπ^a_d mπ^a_d

2

dove il fattore geometrico va considerato e vale

f(θ3) = 1 + cos θ₃ 2



= 1 +√ 1 − 0.6²

2

!

= 0.9 Mettendo insieme abbiamo

R₃=I_max(m = 3) I_max(m = 0)= 0.9²





sin 3π_{2.775 × 10}^{555 × 10−9}−6

3π_{2.775 × 10}^{555 × 10−9}−6





2

= 0.20

Ricordando l’espressione del potere dispersivo di un reticolo, otteniamo:

D=dθ

dλ = m

dcos θ = m

dp

1 − sin²θ

= 2

2.775 × 10⁻⁶√

1 − 0.4²= 0.786 rad/µm

La massima separazione angolare per il doppietto del sodio sar`a in corrispondenza del terzo massimo principale.

Abbiamo quindi:

∆θ = D3∆λ = 3 dp

1 − sin²θ3

(λ2− λ1) = 3 2.775 × 10⁻⁶√

1 − 0.6²(5896 − 5890)10⁻¹⁰= 8.1 × 10⁻⁴rad

Consideriamo il raggio riflesso sulla prima superficie obliqua. Il raggio scende in verticale e essendo θr= θ_i= 45^o, il raggio riflesso viaggia esattamente in orizzontale, verso sinistra, come mostrato nella figura.

Calcoliamo la potenza di tale raggio. Poich´e la luce non `e polarizzata, questa ha met`a potenza nel piano π e met`a nella direzione σ e possiamo scrivere il coefficiente di riflessione come

R=1

2(R_π+ R_σ)13 : 00

Calcoliamo i coefficienti di riflessione e trasmissione per tale incidenza.

Per fare questo dobbiamo anche calcolare l’angolo di trasmissione con la legge di Snell

θ

θ

n

sin θi= n sin θt ⇒ θt= sin⁻¹ sin θi

n



= 28.12^o Calcoliamo allora i coefficienti di riflessione e trasmissione

R_π=tan²(θ_i− θt)

tan²(θi+ θt)= 0.00846 T_π= 1 − Rπ= 0.9915 R_σ=sin²(θ_i− θt)

sin²(θi+ θt)= 0.0920 T_σ= 1 − Rσ= 0.9080 La potenza del fascio riflesso e il grado di polarizzazione valgono allora

P1= RP₀=1

2(R_π+ R_σ)P₀= 0.1507 mW p1=R_σ− R_π

Rσ+ R_π = 0.831

Come quasi sempre accade, viene riflessa una frazione modesta della potenza incidente e la luce riflessa ha un elevato grado di polarizzazione nella direzione σ .

Vediamo ora cosa succede al fascio trasmesso. Questo entra nel pri- sma e va ad incidere sulla superficie in basso. Su questa consideriamo nuovamente la luce che si trasmette, come nella figura

Questi sono anche i coefficienti di trasmissione per la seconda superfi- cie, essendo invarianti per lo scambio θi↔ θ_r. Trattando separatamente la componente π e la componente σ , ognuna di queste si prende un coefficiente T per ogni superficie e dunque complessivamente un fat- tore T². Inizialmente la luce non `e polarizzata, dunque la potenza si divide equamente sul piano π e nella direzione σ e possiamo scrivere

θ

n

Vediamo ora cosa succede al fascio trasmesso. Questo entra nel prisma e va ad incidere sulla superficie in basso. Su questa consideriamo nuovamente la luce che si trasmette, come nella figura.

Calcoliamo dapprima la deflessione di tale raggio. La prima deflessione, sulla faccia obliqua del prisma, `e pari a δ1= θi− θt= 16.88^o

Poi il raggioincontra la superficie vetro-aria orizzontale e qu`ı dobbiamo applicare nuovamente la legge di Snell con θ_i⁰= δ1= 16.88^o.

nsin θ_i⁰= sin θ_t⁰ ⇒ θ_t⁰= sin⁻¹(n sin θi) = 25.82^o con una deflessione sulla seconda superficie pari a

δ2= θ_t⁰− θ_i⁰= 8.94^o La deflessione complessiva sar`a allora la somma delle due deflessioni

5

δ = δ₁+ δ2= 25.82^o

Come deve essere questa deflessione `e propio pari all’angolo di trasmissione θ_t⁰essendo la normale alla superficie in basso proprio pari alla direzione del raggio incidente nel prisma.

Calcoliamo ora la potenza del fasci trasmesso. Per questo dobbiamo calcolare i coefficienti di trasmissione sulla seconda superficie di incidenza.

R⁰_π=tan²(θ_i⁰− θ_t⁰)

tan²(θ_i⁰+ θ_t⁰)= 0.0291 T_π⁰= 1 − R⁰_π= 0.9709 R⁰_σ=sin²(θ_i⁰− θ_t⁰)

sin²(θ_i⁰+ θ_t⁰)= 0.0525 T_σ⁰ = 1 − R⁰_σ= 0.9475 Per avere la potenza del fascio trasmesso dalle due superfici, consideriamo separatamente le componenti π e σ , ognuna delle quali, in partenza vale P₀/2 e poi, ad ogni superficie viene moltiplicata per il coefficiente T . Abbiamo

P_π^t = T_π⁰T_πP₀

2 P_σ^t = T_σ⁰T_σP₀

2 ⇒ P^t= P_π^t+ P_σ^t = (T_π⁰T_π+ T_σ⁰T_σ)P₀

2 = 2.734 mW e il grado di polarizzazione vale

p^t_π=P_π^t − P_σ^t

P_π^t + P_σ^t =T_π⁰T_π− T_σ⁰T_σ

T_π⁰T_π+ T_σ⁰T_σ = 0.056

Il raggio trasmesso si porta dietro la gran parte della potenza e risulta molto poco polarizzato. Considerando la potenza del fascio riflesso del punto 1, manca all’appello un po’ di potenza, che `e relativa ai raggi che si formano con le ulteriori riflessioni ad ogni superficie.