Corso di laurea in Fisica Compito d’esame di Istituzioni di Fisica Teorica L’Aquila 24 Novembre 2011 studente/ssa: matricola:

Corso di laurea in Fisica

Compito d’esame di Istituzioni di Fisica Teorica L’Aquila 24 Novembre 2011

studente/ssa:

matricola:

• Gli studenti del CDL in Matematica svolgano solo la parte di meccanica quantistica (1) e 2)) 1) Una particella libera di massa m, in una dimensione, `e descritta da una funzione d’onda che, espressa

nella rappresentazione degli impulsi, si scrive come

φ(p) = 0 |p| > ¯hk

φ(p) = A |p| ≤ ¯hk

con (k

> 0).

- Determinare A.

- Valutare la corrente associata e le fluttuazioni dell’impulso in tale stato.

- Valutare, in funzione di E

e del tempo, la probabilit`a di trovare l’energia della particella in un qualsiasi valore E > E

in un generico tempo t > 0 (E

> 0).

2) Una particella di spin 1/2 `e descritta dal seguente operatore Hamiltoniano

H

= ¯hω

(a

a + 1

2 ) − ǫσ

con ǫ > 0.

- Determinare gli autovalori e gli autostati dell’Hamiltoniano.

- Determinare i valori di ǫ affich`e gli stati possano essere degeneri.

All’Hamiltoniano si aggiunge la perturbazione

V = λ(aσ

+ a

σ

) con σ

= 0 1 0 0

!

, σ

= 0 0 1 0

!

.

- Determinare la correzione al primo e secondo ordine in λ alla energia dello stato fondamentale nel caso in cui ǫ < ¯hω

/2.

3) Esprimere le densit`a di probabilit`a normalizzate a 1 per l’energia di singola particella nei seguenti due casi da considerarsi in uno spazio tridimensionale

- Gas perfetto classico di particelle di massa m

- Corpo nero inteso come gas perfetto quantistico di fotoni - Discutere le caratteristiche delle due distribuzioni

pu` o essere utile per la normalizzazione nel secondo caso l’integrale

dx x

e

− 1 = 2.404...

1