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Analisi
dinamica
Capitolo 3
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3.1 Introduzione
Per rispettare le specifiche della progettazione degli ingranaggi ad alte prestazioni è necessario trattare un ingranamento il più possibile vicino alla realtà e, per fare questo, deve essere tenuto in conto l’effetto dei fenomeni dinamici.
A causa delle forze inerziali il comportamento effettivo delle ruote dentate è diverso da quanto prevedibile con una semplice analisi statica. Ciò che maggiormente differenzia le due condizioni è che si possono avere delle vibrazioni con la presenza delle quali variano grandezze fondamentali come il carico sul dente, la tensione massima di bending a base dente e l’errore di trasmissione.
Questi aspetti sono molto importanti per ingranaggi aerospaziali, tipicamente soggetti a velocità di rotazione molto elevate.
Il problema dinamico dell’ingranamento è molto complesso in quanto il sistema è costituito da due ruote dentate deformabili in contatto tra loro e la possibilità della perdita di contatto implica l’insorgenza di fenomeni non lineari.
Le normative hanno cercato in qualche modo di tener conto dei fenomeni dinamici con l’utilizzo di coefficienti moltiplicativi.
Per permettere di effettuare analisi più precise e fedeli alla realtà sono stati sviluppati diversi modelli di calcolo e oggi, tramite il software
Calyx, è possibile effettuare lo studio dinamico completo con un codice ibrido [4, 10]. L’unico problema di questo mezzo di analisi è quello della necessità di elevati tempi di calcolo per ottenere i risultati ma ha il vantaggio, rispetto a modelli più semplici, di fornire una analisi completa ed accurata in ogni punto della struttura per ogni istante d’ingranamento.
45 Grande importanza riveste anche la sperimentazione, che necessita di opportuni banchi di prova e strumenti di rilevazione per ottenere gli output.
3.2 Approccio normativo
Entrambe le normative ISO e AGMA trattano il problema dinamico introducendo dei fattori correttivi nella formula di Lewis. Negli anni, attraverso le norme, la formula di Lewis è stata modificata al fine di tener conto di altri fattori che influenzano il valore della tensione dovuta alla flessione del dente e renderla utilizzabile nella progettazione moderna. La tensione massima, secondo la normativa AGMA, è data dall’equazione:
. . Dove
Ft è la componente del carico tangenziale uniforme m è il modulo normale della ruota dentata
b è la larghezza di fascia della ruota più stretta
J è il fattore geometrico per la resistenza a bending, che tiene conto della forma del dente, della posizione del punto di applicazione del massimo carico sul dente e della concentrazione di tensione al raccordo del dente stesso; è proporzionale al rapporto ⁄ , dove Y è il fattore di forma del dente, derivato dal modello di Lewis e Kf il fattore di correzione delle tensioni.
46 Kv è il fattore di velocità o dinamico per la resistenza a bending; indica la severità dell’urto nel contatto fra denti tenendo conto della presenza di sovraccarichi dovuti agli effetti dinamici interni alle ruote dell’ingranaggio.
Ka è il fattore di applicazione del carico esterno per la resistenza a bending; tiene conto della presenza di sovraccarichi dovuti agli effetti dinamici esterni alle ruote dell’ingranaggio.
Ks è il fattore di dimensione per la resistenza a bending; tiene conto della non uniformità delle proprietà del materiale e dipende dalle dimensioni riguardanti la geometria del dente, quali ad esempio lo spessore e la larghezza di fascia e da dimensioni riguardanti ad esempio lo spessore del case indurito.
Km è il fattore di distribuzione della forza sul dente per la resistenza a bending; tiene conto della non uniformità di distribuzione della forza sul dente lungo l’arco di contatto dovuta all’accuratezza di produzione, all’allineamento degli assi di rotazione, alle deformazioni elastiche degli elementi che sostengono le ruote, alle deformazioni superficiali per effetto del contatto Hertziano, all’inflessione dei denti sotto carico.
KB è il fattore di applicazione dipendente dal corpo ruota e tiene conto dello spessore del rim; spessori di rim inferiori a 1.2 volte l’altezza del dente possono indurre la propagazione della cricca, non attraverso il dente, ma attraverso il rim stesso, con riduzione della durata.
Dalla formula riportata si può anche verificare la resistenza a fatica dell’ingranaggio.
47 In modo analogo viene modificata anche la formula della tensione superficiale. Il metodo di calcolo a pitting degli ingranaggi cilindrici a denti dritti, proposto dalla normativa AGMA, si basa sul calcolo della pressione di contatto hertziana secondo il modello proposto da Buckingham corretto mediante l’adozione di alcuni coefficienti dedotti analiticamente o sperimentalmente al fine di tener conto di parametri che, pur influenzando la resistenza a pitting degli ingranaggi, non sono considerati nel modello semplificato di Buckingham. La formula fondamentale della tensione di contatto per la resistenza a pitting si presenta nella forma seguente:
. .
Dove
Cp è il coefficiente elastico; tiene conto delle proprietà elastiche dei due materiali (E,v).
Ft è la componente tangenziale del carico trasmesso.
Ca è il fattore di applicazione del carico esterno per la resistenza a pitting; tiene conto della presenza di sovraccarichi dovuti agli effetti dinamici esterni alle ruote dell’ingranaggio.
Cs è il fattore di dimensione per la resistenza a pitting; tiene conto della non uniformità delle proprietà del materiale e dipende dalle dimensioni riguardanti la geometria del dente, quali ad esempio lo spessore e la larghezza di fascia e da dimensioni riguardanti ad esempio lo spessore del case indurito.
48 Cm è il fattore di distribuzione del carico per la resistenza a pitting; tiene conto della non uniformità di distribuzione del carico, sia lungo l’arco di contatto che lungo la faccia del dente.
Cf è il fattore di condizione superficiale; tiene conto della finitura superficiale, delle tensioni residue e degli effetti di plasticizzazione.
Cv è il fattore dinamico per la resistenza a pitting; tiene conto della presenza di sovraccarichi dovuti agli effetti dinamici interni alle ruote dell’ingranaggio.
d è il diametro primitivo di lavoro del pignone. b è la larghezza di fascia della ruota più stretta.
I è il fattore geometrico per la resistenza a pitting, che valuta il raggio della curvatura del punto di contatto per poi utilizzarli nella valutazione del contatto hertziano; vengono considerati anche eventuali modifiche dei denti e la distribuzione del carico.
La tensione calcolata andrà confrontata con la resistenza a fatica superficiale per il dente.
Secondo la norma ISO il carico locale più elevato è dato da [2]:
! " . . Dove
KA è il fattore d’impiego. KV è il fattore dinamico.
49 KHβ è il fattore di larghezza.
I fattori dinamici Kv e Cv per la norma AGMA e Kv per la normativa ISO tengono conto del carico totale sul dente, includendo quello dovuto agli effetti dinamici; sono definiti dalla norma AGMA come il rapporto tra la componente tangenziale del carico trasmesso e la somma di essa e il carico dovuto agli effetti dinamici :
#$% & . . '
La normativa ISO definisce Kv, che si trova al numeratore nell’equazione 3.3, come
#$%&
. . (
Questo coefficiente è valutato in modo molto approssimativo dalle due norme, infatti si può osservare la notevole differenza.
La normativa AGMA 2101-C95 prevede una formula nella quale Kv è funzione della velocità periferica dell’ingranaggio in corrispondenza della circonferenza primitiva (Vt [m/s]):
)* & 200 · .* /.01
50 Dove A e B sono funzioni del fattore che identifica l’accuratezza della trasmissione, che dipenderà dal livello di qualità dei macchinari usati per realizzare la geometria dell’ingranaggio. Dalla formula si osserva che è previsto un andamento monotonicamente decrescente con il numero di giri e privo di picchi, con il conseguente effetto di trascurare tutti gli effetti di risonanza. La norma raccomanda di eseguire delle analisi per identificare le frequenze di risonanza.
La normativa ISO 6336-B si basa su una modellazione dell’ingranaggio in un sistema lineare massa-molla-smorzatore corretto con vari fattori empirici e, a differenza del metodo AGMA, richiede di stimare una frequenza di risonanza.
Si riportano due esempi del fattore correttivo Kv calcolati con le due normative:
Figura 3.1 – Valori del fattore dinamico previsto dalle normative 1
*45* 67
51 Essendo trattato dai regolamenti in modo molto approssimativo è evidente che devono essere adottati degli abbondanti coefficienti di sicurezza in fase di progettazione.
Questi metodi dettati dalle normative sono molto utili per la semplicità e rapidità di calcolo. Grazie all’esperienza fatta negli anni dall’inizio del loro utilizzo ad oggi, si hanno a disposizione molti valori dei coefficienti validi per diverse applicazioni e questo fa sì che siano usati ancora oggi ottenendo dei risultati in molti casi soddisfacenti.
Quanto detto vale per ingranaggi normali ma non è sufficiente per ingranaggi ad alte prestazioni come quelli utilizzati in campo aerospaziale. Come già detto nel primo capitolo siamo di fronte ad ingranaggi sottoposti a coppie molto elevate che inducono delle deformazioni elastiche dei denti durante l’ingranamento, il che rende necessaria una precisa simulazione degli effetti deformativi sotto carico. Le modifiche di profilo e del fianco assumono un ruolo fondamentale al fine di migliorare l’ingranamento e per il progetto di tali modifiche deve essere tenuto conto della geometria deformata. Un altro importante fenomeno è quello delle possibili vibrazioni e degli effetti di risonanza di cui le norme tengono conto in modo imperfetto (ISO) o affatto (AGMA). Quindi, l’effetto dinamico deve essere preso in considerazione in modo molto più accurato di quanto si può fare con la semplice adozione di Kv, secondo AGMA, in particolare.
La limitata flessibilità delle norme nella progettazione degli ingranaggi imporrebbe una onerosa fase di sperimentazione e collaudo del prototipo, che aumenterebbe i tempi di certificazione e di commercializzazione.
52 Per quanto detto si evince che le norme possono essere utili soltanto per un progetto preliminare degli ingranaggi ad alte prestazioni, atto ad identificare a grandi linee il tipo di ingranaggio necessario, lasciando a successivi studi più approfonditi il compito di definire in modo più preciso le dimensioni e la forma con le modifiche necessarie utilizzando metodi di valutazione più accurati, con l’impiego di differenti parametri utili per la progettazione e di più dettagliati coefficienti di controllo.
3.3 Analisi dinamica con il metodo agli elementi finiti
Come per l’analisi statica, un’analisi molto dettagliata sia dei denti che del corpo ruota può essere condotta tramite dei software agli elementi finiti, come ad esempio ANSYS oppure NASTRAN, con gli stessi problemi visti precedentemente.
In questo caso, l’ingranamento viene approssimato con una successione di fasi statiche con la necessità, per ogni istante temporale, di dover rigenerare la mesh.
Questi aspetti negativi causano dei tempi lunghissimi per la preparazione (realizzando il modello e la griglia di calcolo) e per lo svolgimento dell’analisi e rendono inefficiente l’analisi FEM completa.
L’utilizzo di questa metodologia sarà quindi utile per validare nuovi software ibridi o in campo di ricerca, ma non risulta adatta nel campo della progettazione.
3.4 Analisi dinamica con software ibrido
In questo caso si hanno tutti i vantaggi già descritti per l’analisi statica svolta con questi tipi di software, in più la discretizzazione con il metodo
53 agli elementi finiti non deve essere ricostruita ad ogni istante di ingranamento.
La soluzione richiede tempi di calcolo minori di quelli necessari per un’analisi dinamica agli elementi finiti e maggiori di quelli necessari allo svolgimento di un’analisi statica. Sarebbe desiderabile riuscire a ridurre ancora di più questi tempi di calcolo.
