Analisi Matematica I (A.A. 2010/2011)
Docente: Fabio Camilli
Esercizi su Insiemi numerici, Induzione, Successioni e Serie
Esercizio 1. Determinare, se esistono, il minimo, il massimo, l’estremo inferiore e l’estremo superiore degli insiemi
A := (−1)n 2 + n2 n ∈ N
, B :=nm n + n
m
m, n ∈ No∗
, C :=
(−1)n+ 1 2n
n ∈ N
,
D :=
n2−3
n n ∈ N
, E :=nm n − n
m
m, n ∈ No
, F := |3 − n|
3 + n n ∈ N
.
(∗ Usare x +1x ≥ 2 per ogni x > 0.)
Esercizio 2. Verificare per induzione le seguenti affermazioni per ogni n ∈ N, n ≥ 1:
n
X
k=1
1
4k2− 1 = 1 2
1 − 1 2n + 1
,
3n
X
k=2n+1
k = n(5n + 1)
2 ,
n! ≥ 2n−1, 62n− 3n
11 `e un numero naturale.
Esercizio 3. Calcolare, se esistono, i seguenti limiti:
n→∞lim n√
5 − q
5 −n2
, lim
n→∞
1 + 1
nn
n!
, lim
n→∞
nn
(n!)2, lim
n→∞
n2+ n n2+ n + 1
2n2 ,
n→∞lim
(n + 1)11− (n − 1)11
n10 , lim
n→∞
n
r n!
2n+ 1, lim
n→∞
n2√
n!, lim
n→∞
nn+1 (n + 1)n,
lim
n→∞
√n
an! (a > 0), lim
n→∞
enn2n
(n!)3 , lim
n→∞
√n
2n+ 3n, lim
n→∞
n
s2n n
.
Esercizio 4∗∗. Sia a0:= 1 e an+1:=√
1 + an per ogni n ∈ N.
(a) Verificare per induzione che (an)n∈N`e crescente.
(b) Verificare per induzione che 1 ≤ an≤ 2 per ogni n ∈ N.
(c) Dimostrare che (an)n∈N`e convergente e determinare lim
n→∞an. (∗∗ Esercizio facoltativo.)
Esercizio 5. Verificare la convergenza delle seguenti serie:
∞
X
k=1
√k + 1 −√ k
k ,
∞
X
k=0
2k·2k k
−1
,
∞
X
k=1
(−1)k√
k + 1 −√ k
,
∞
X
k=1
√k k − 1k
,
∞
X
k=1
2k3+ 2k + 2 3k3− 3k − 3
k ,
∞
X
k=1
2k·
k k + 2
k2+2 ,
∞
X
k=1
3k − 3k 5k− 5k,
∞
X
k=1
2kk!
kk ,
∞
X
k=1
(−1)k k 1 + k2,
∞
X
k=1
k! + 2 (k + 2)!,
∞
X
k=1
(−1)k 52k+1 (2k + 1)!,
∞
X
k=1
1 ek− ke.
