Analisi Matematica I (A.A. 2010/2011)
Docente: Klaus Engel
Esercizi su Insiemi numerici, Induzione, Successioni e Serie
Esercizio 1. Determinare, se esistono, il minimo, il massimo, l’estremo inferiore e l’estremo superiore degli insiemi
A :=
{(−1)n 2 + n2
n ∈ N }
, B :=
{m n + n
m
m, n ∈ N}∗
, C :=
{
(−1)n+ 1 2n
n ∈ N }
, D :=
{ n2−3
n n ∈ N
}
, E :=
{m n − n
m
m, n ∈ N}
, F :=
{|3 − n|
3 + n
n ∈ N }
.
(∗ Usare x +1x ≥ 2 per ogni x > 0.)
Esercizio 2. Verificare per induzione le seguenti affermazioni per ogni n∈ N, n ≥ 1:
∑n k=1
1
4k2− 1 = 1 2
(
1− 1 2n + 1
) ,
∑3n k=2n+1
k = n(5n + 1)
2 ,
n!≥ 2n−1, 62n− 3n
11 `e un numero naturale.
Esercizio 3. Calcolare, se esistono, i seguenti limiti:
nlim→∞n(√
5−√ 5−n2)
, lim
n→∞
( 1 + 1
nn )n!
, lim
n→∞
nn
(n!)2, lim
n→∞
( n2+ n n2+ n + 1
)2n2
,
nlim→∞
(n + 1)11− (n − 1)11
n10 , lim
n→∞
n
√ n!
2n+ 1, lim
n→∞
n2√
n!, lim
n→∞
nn+1 (n + 1)n,
lim
n→∞
√n
an! (a > 0), lim
n→∞
enn2n
(n!)3 , lim
n→∞
√n
2n+ 3n, lim
n→∞
n
√(2n n
) .
Esercizio 4∗∗. Sia a0:= 1 e an+1:=√
1 + an per ogni n∈ N.
(a) Verificare per induzione che (an)n∈N`e crescente.
(b) Verificare per induzione che 1≤ an≤ 2 per ogni n ∈ N.
(c) Dimostrare che (an)n∈N`e convergente e determinare lim
n→∞an. (∗∗ Esercizio facoltativo.)
Esercizio 5. Verificare la convergenza delle seguenti serie:
∑∞ k=1
√k + 1−√ k
k ,
∑∞ k=0
2k· (2k
k )−1
,
∑∞ k=1
(−1)k(√
k + 1−√ k
) ,
∑∞ k=1
(√k
k− 1)k
,
∑∞ k=1
(2k3+ 2k + 2 3k3− 3k − 3
)k
,
∑∞ k=1
2k· ( k
k + 2 )k2+2
,
∑∞ k=1
3k− 3k 5k− 5k,
∑∞ k=1
2kk!
kk ,
∑∞ k=1
(−1)k k 1 + k2,
∑∞ k=1
k! + 2 (k + 2)!,
∑∞ k=1
(−1)k 52k+1 (2k + 1)!,
∑∞ k=1
1 ek− ke.
