V = e  ⇒⇒⇒⇒ 2 e ⇒⇒⇒⇒ −−−− −−−− e e ++++ ++++ 3 ββββ I −−−− −−−− ++++ e = r I V = e ++++ ββββ I

ESERCIZIO E1: Il circuito opera in regime stazionario. Si desidera determinare analiticamente la relazione V_AB=ƒƒƒƒ(ES,I_S) fra la tensione VAB e i generatori indipendenti E_S e I_S; a) si motivino adeguatamente le risultanze con cui si caratterizza la succitata relazione VAB=ƒƒƒƒ(ES,I_S); b) nella ipotesi che siano assegnati i seguenti valori: R1 =1ΩΩΩΩ; R₂ =2ΩΩΩΩ; R₃ =5ΩΩΩΩ; r_m =3Ω; βΩΩΩ βββ =3; I_S = 4A;

E_S=10V, si determini la potenza elettrica relativa ai due generatori pilotati, specificando poi se trattasi di potenza erogata o assorbita; c) si verifichi la validità del teorema di Tellegen.

A) Primo Metodo. Si fa ricorso al principio dei potenziali di nodo;perquestafinalitàinfigura1asisono evidenziati i potenziali dei nodi di interesse nei confronti del nodo B assunto come nodo di riferimento, nonché i versi di tutte le correnti nei lati di interesse.

Per ispezione diretta si evince che:

e

3

= r

m

I

2 ;

V

AB

= e

1

Con riferimento alla individuazione effettuata dei nodi, la definizione delle correnti nei lati di interesse è espressa dalle relazioni che di seguito si esplicitano:

3 3 2

R I = − e

;

2 1 2

2

R

e R

I = − V

^AB

= −

 



 

 −

−

− =

− =

=

2 1 1

1 1 1

2 1

1 3

1 1

·

R e R

r R e R

I r e R

e

I e

^{m m}

 



 

 +

= +

=

2 1

1 2 1 1 1

1 1

· · 1

R r R

e R

e R r R

I e

^{m m}

La legge di Kirchhoff delle correnti applicata al nodo 2 consente di relazionare nelle forme come di seguito riportate:

3

3

I

I

I

_S

+ = β

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

_I

_S

_{= (} β _{− 1 )· I}

₃

 



 

 −

−

=

3

)·

2

1

( R

I

_S

β e

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

3

)·

2

1 (

R I

_S

− β e

=

Il potenziale e2 del nodo 2 è, pertanto, legato alla sorgente ideale indipendente di corrente I_S dalla relazione di seguito indicata:

) 1 ( )·

1

(

₃

2 3

2

β β

= −

− ⇒

=

^S

S

I e R

R I e

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti al nodo 1 fornisce le seguenti scritture:

2 1

1 1

1 2 1 3 2 2

1 1 1

1 2 1 3 1 2

2

3

R R

e r R e R

e R e R

R e r R e R

e R I e

I

I + = ⇒ − β − = +

^m

⇒ − β = + +

^m

β

La sostituzione dell’espressione del potenziale e₂, precedentemente determinato, nella relazione ora ricavata consente di ottenere il legame analitico richiesto dalla traccia; si ottiene, infatti:

2 1

1 1

1 2 1 3

3

) 1

( R R

e r R e R

e R

I

R

_{S m}

+ +

− =

− β β

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

₁

2 1 1 2

1 · 1 ) 1 (

· e

R R

r R R

I

_{S m}

 



 

 + +

− =

− β

β

Svolgendo i necessari passaggi e le dovute semplificazioni algebriche si perviene alle scritture:

1 2

1 2

1

·

) 1 (

· e

R R

r R R

I

_S

+ +

_m

− =

− β

β

⇒ _S

m

r I R R

R e R

) )·(

1

(

_{1 2}

2 1 1

+ +

= − β

β

Ricordando quanto già dedotto per ispezione diretta e, precisamente che

V

AB

= e

1 si conclude che:

A

R3

R₂ r_mI₂

(figura – 1) ES

R₁

V_AB

B I2

++++

−−−− ++++

−−−−

ββββ I

3

I3

IS

A≡≡≡≡1

R3

R2

r_mI₂

(figura – 1a) ES

R₁

VAB

B I₂

++++

−−−− ++++

−−−−

ββββ I

3

I3

IS

e

3

e

2

3

2

I₁

e

1

V_ββββI3

S m

AB

I

r R R

R

V R ·

) )·(

1

(

_{1 2}

2 1

+ +

= − β

β

B) Secondo Metodo. Si ricorre all’applicazione del bipolo equivalente di Thevenin. In ossequio al principio del bipolo equivalente di Thevenin il circuito di figura 1 ammette l’equivalente rete che

si evidenzia con la figura 1b da cui si evince che ricavati i parametri ETH e R_TH il valore della tensione richiesta VAB è determinato dalla relazione:

2 2

·

R R

E V R

TH TH

AB

= +

B1) Calcolo di ETH

La rete che si deve esaminare a questo riguardo è riportata in figura1c.La messaavuoto della rete originaria privata del bipolo R2 implica che sia I2=0A da cui si deduce che anche r_mI₂=0V e che, pertanto, il generatore di tensione pilotato dalla corrente I₂ deve considerarsi spento e quindi modellato dal bipolo cortocircuito, come mostrato in figura 1d.

Per ispezione diretta si evince la relazione che intercorre fra le correnti I₁ e I₃, ovvero:

I

1

= ββββ

·

I

3. L’applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti al nodo ααα valida le scritture seguenti: α

3

3

I

I

I

_S

+ = β

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

I

_S

= β I

₃

− I

₃

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

I

_S

= ( β − 1 )· I

₃

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

I

₃

= I

_S

( β − 1 )

L’ applicazione della legge di Ohm alla resistenza R1 consente, ora, di determinare la relazione che esprime la tensione E_TH; si ottiene infatti quanto segue:

3 1 1

1

I R I

R

E

_TH

= = β

⇒ TH

R I

S

E ( 1 )

1

= − β

β

B2) Calcolo di RTH. La rete da esaminare è mostrata in figura 1e, in cui si sono spente le sorgenti indipendenti esterne, ovvero si è modellato col bipolo cortocircuito il generatore di tensione ES

e col bipolo circuito aperto il generatore di corrente I_S. Atteso quanto premesso, ancora il ricorso all’ispezione diretta consente di evidenziare che il generatore dipendente di corrente ββββI₃ pilotato dalla corrente I3 è collegato in serie con la resistenza R3; pertanto, dovrà risultare soddisfatta la condizione:

I

3

= ββββI

3, dalla quale si ha:

(1 −−−− ββββ)

·

I

3

= 0

, da cui discende necessariamente

I

3

= 0

.

A

R3

r

m

I

2

(figura – 1c) ES

R1

E_TH

B

++++

−−−− ++++

−−−−

ββββ I

3

I₃

IS

I₁

I2=0

A

R₃

(figura – 1d) ES

R₁

E_TH

B

++++

−−−−

ββββ I

3

I3

IS

I1

α α α α

A

R3

R2

r_mI₂

(figura – 1) E_S

R₁

VAB

B I₂

++++

−−−− ++++

−−−−

ββββ I

3

I₃

IS

A

R₂

(figura – 1b)

E

TH V_AB

B I₂

++++

−−−−

R

TH

Thevenin

Si conclude, così, che anche il generatore dipendente di corrente ββββI₃ deve considerarsi spento e,

pertanto, modellabile col bipolo circuito aperto. Quanto sopra esposto è riportato nella figura 1f la quale costituisce la rete definitiva da analizzare per il calcolo della resistenza equivalente R_TH. Sempre per ispezione diretta si evince chelospegnimentodelgeneratore di correnteββββI₃ pilotatoin corrente comporta che I2=I₁=I_TX. La legge di Kirchhoff delle tensioni applicata all’unica maglia della rete di figura 1f consente di relazionare come di seguito riportato.

TX TX

m TX I

I I m

TX

r I R I V r I R I

V −

₂

=

_{1 1}

 

^{( 1=}



²⁼



^TX



⁾

→ − =

₁

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

V

_TX

= r

_m

I

_TX

+ R

₁

I

_TX

In ossequio alla definizione di Resistenza Equivalente di Thevenin si perviene alla relazione:

TX TX m

TX TX TX

m A I V TX E

TX

TX

I

I R r I

I R I

r I

R V

S s

)·

(

₁

1 )

0 , 0 (

= +

= +

=

=

=

⇒

R

_TX

= ( r

_m

+ R

₁

)

Comegiàindicato nella figura1b,sièoraingradodideterminareil legame analiticoV_AB=ƒƒƒƒ(ES,I_S) richiesto dalla traccia; infatti, sempre dall’analisi del circuito di figura 1b e in ossequio al significato di bipolo equivalente di Thevenin, basta relazionare come segue:

) 1 (

· ·

·

₁

2 1

2 2

2

− +

= +

= +

β β

_S

m TH

TH AB

I R R r R

R R

R E

V R

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

_S

m

AB

I

r R R

R

V R ·

) )(

1

· (

2 1

2 1

+ +

= − β

β

C) Terzo Metodo. Si ricorre all’utilizzo del bipolo equivalente di Norton. In ossequio al principio del bipolo equivalente di Norton il circuito di figura 1 ammette l’equivalente rete che si evidenzia con la figura 1g dalla quale si evince che, conosciuti i parametri I_N e R_N, il valore della tensione richiesta VAB viene

determinato dalla relazione:

2

2

·

R R

I R V R

N N N

AB

= +

C₁)Calcolo di IN. La rete che al riguardo è da analizzare è quella riportata in figura 1h in cui si evidenzia che il lato costituito dalla resistenza R2 della rete originaria è sostituito dal bipolo cortocircuito. Per ispezione diretta si evince, inoltre, che deve considerarsi I_N=−−−−I₂. L’applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti al nodo αααα consente di definire la relazione seguente:

3

3

I

I

I

_S

+ = β

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

I

_S

= β I

₃

− I

₃

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

I

_S

= ( β − 1 )· I

₃

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

I

₃

= I

_S

( β − 1 )

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti al nodo A consente di relazione come segue:

A

R3

r

m

I

2

(figura – 1e) R₁

B VTX

++++

−−−− ++++

−−−−

ββββ I

3

I₃

I₁

I2

I_TX

A

R3

r

m

I

2

(figura – 1f) R₁

B VTX

++++

−−−− ++++

−−−−

I3

I1

I₂ ITX

++++

A

R3

R₂ r_mI₂

(figura – 1) E_S

R₁

VAB

B I₂

++++

−−−− ++++

−−−−

ββββ I

3

I₃ IS

Norton

A

R₂

(figura – 1g)

I

N

VAB

B I₂ RN

3

1

I

I

I

_N

+ = β

⇒ _N

I

^S

I

_N

I I

I −

= −

−

=

³

( 1 )

1

β

β β

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia di destra, di cui in figura 1h viene indicato il verso di percorrenza, definisce la seguente scrittura:

1 1 )

( 1 1

2

R I

²

r I R I

I

r

_m

=  

^I



^I



^N

→

_{m N}

=

−

⁼⁻

, da cui:

N S

N S

N

m

R I R I

I I R I

r

₁ ¹ ₁

) 1 ( )

1

( −

= −

 

 



 −

= −

β β β

β

Svolgendo i necessari passaggi algebrici si ottiene:

) 1 (

1

=

1

−

+ β

β

_S

N N

m

I I R

R I

r

⇒

) 1 ) (

(

₁ ¹

= −

+ β

β

_S

N m

I I R

R r

La relazione del legame analitico che intercorre fra la corrente IN del generatore equivalente di Norton e le sorgenti indipendenti della rete in esame assume la forma seguente:

) )·(

1

(

₁

1

R r

I I R

m S

N

= − +

β

β

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

) )·(

1 ( ) (

· 1 ) 1

(

₁

1 1

1

R r

I R R

r I R R

I E

m S m

S TH

TH

N

= − +

+

= −

= β

β β

β

C₂)Calcolo di RN. La rete da esaminare è ancora quella riportata nella figura 1f; infatti si ha che:

R

N

= (1/G

N

) = R

TH

Con riferimento alla figura 1g, è ora possibile procedere per determinare l’espressione analitica del legame VAB=ƒƒƒƒ(E_S,I_S) richiesto dalla traccia; si valida, infatti, la seguente scrittura:

) )·(

1

· ( ) (

)

·(

·

1 1

2 1

1 2

2 2

R r

I R R

R r

R r R R

R I R V R

m S m

m N

N N

AB

+ + − +

= +

= +

β

β

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

) )·(

1 (

·

2 1 2 1

R R r

I R V R

m S

AB

= − + +

β β

D) Quarto Metodo. Si ricorre all’utilizzo del Principio di Sovrapposizione degli Effetti facendo, quindi, agire una sola sorgente indipendente esterna alla volta.

D₁) Agisce I_S con E_S=0V. La rete da esaminare è riportata in figura 1i in cui il generatore ES viene modellato col bipolo cortocircuito. L’applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti al nodo

αα

αα definisce la seguente relazione:

3

3

I

I

I

_S

+ = β

⇒

I

_S

= ( β − 1 )· I

₃

)

1

3

= I

_S

( β − I

Parimenti, la legge di Ohm applicata alla resistenza R2

fornisce la scrittura di seguito riportata:

' 2

2

( V ) R

I = −

_AB

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni alla magliadi destra, di cui nellafigura1i si riporta il verso di percorrenza, consente di relazionare come di seguito riportato:

1 1 2

'

r I R I

V

_AB

−

_m

=

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

2 '

1 '

1 ' 2

1

R

r V R V R

I r

I V

^AB

−

^m

=

^AB

−

_m ^AB

=

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti al nodo A consente di definire le relazioni di seguito esplicitate:

1 2

3

I I

I + =

β

⇒

1 ' 2 2

'

) 1

( R

I r V R V

I

_{S AB AB}

−

_m

=

− − β

β

⇒







 

 −

−

=

− −

₂

'

1 1 '

2 '

) 1

( R

V R r R V R V

I

_{S AB AB m AB}

β β

Lo svolgimento dei necessari passaggi e semplificazioni algebriche consente di definire le scritture:

A

R3

r_mI₂

(figura – 1h) ES

R₁ IN

B I2

++++

−−−− ++++

−−−−

ββββ I

3

I₃ IS

I1

α α α α

++++

A

R₃

R₂ r_mI₂

(figura – 1i) R1

V’AB

B I₂

++++

−−−−

ββββ I

3

I₃ IS

α α α α

I₁

++++

2 1

'

1 '

2 '

) 1

( R R

V r R V R V

I

_{S AB AB m AB}

+

+

− = β

β

⇒

^'

2 1

2

1

·

) 1

(

^AB

m

S

V

R R

r R R

I 





 

 + +

− = β

β

Si giunge, pertanto, alla seguente relazione conclusiva:

S m

AB

I

r R R

R

V R ·

) )·(

1

(

_{1 2}

2 ' 1

+ +

= − β

β

D₁) Agisce E_S con I_S=0A.La reteda analizzare è riportata in figura1m nella quale il generatore I_S èmodellatocolbipolo circuito aperto.Dall’ ispezione diretta al nodo αααα si evince immediatamente che:

ββββ I

3

= I

3

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

(1 −−−− ββββ )

^·

I

3

= 0

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

I

3

= 0

Quanto ottenuto implica che il generatore dipendente di corrente ββββI3 pilotato dalla corrente I3 deve ritenersi spento; quindi, consegue, ancora per ispezione diretta al nodo A di figura 1n, la relazione seguente: I1=I₂. L’applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia di destra , di cui in figura 1n è pure indicato il relativo verso di percorrenza, consente di scrivere ciò che di seguito si riporta:

2 2 1 1

2

R I R I

I

r

_m

= +

−

⇒⇒⇒⇒

R

₁

I

₁

+ R

₂

I

₂

+ r

_m

I

₂

= 0 0

)·

( R

₁

+ R

₂

+ r

_m

I

₂

=

⇒⇒⇒⇒

I

₂

= 0

Il risultato conseguito, contestualmente all’applicazione della legge di Ohm ai capi della resistenza R2, implica l’ovvia seguente conclusione:

V I

R

V

_AB^"

= −

_{2 2}

= 0

Il Principio di Sovrapposizione degli Effetti consente di concludere con la seguente relazione:

"

'

AB AB

AB

V V

V = +

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

V

_AB

= V

_AB^'

Sostituendo la relazioni che esprime la tensione V’AB in funzione delle sorgenti esterne si ottiene quanto segue.

) )·(

1 (

·

2 1 2 1

R R r

I R V R

m S

AB

= − + +

β β

a) La tensione VAB è funzione della sola sorgente ideale indipendente di corrente I_S in quanto il generatore ideale indipendente di tensione ES “collegato in serie” con il generatore dipendente ideale di corrente ββββI₃ pilotato dalla corrente I₃ è equivalente al solo generatore ideale ββββI₃. b) Ai fini della determinazione della potenza elettrica relativa ai due generatori pilotati, facendo i riferimenti alle relazioni ottenute con la procedura risolutiva del principio dei potenziali di nodo, la sostituzione dei dati forniti dalla traccia consente di pervenire ai seguenti valori:

r V R R

I R V R

e

m S

AB

2

6 12 6

· 2

4

· 2

· 3 ) 3 2 1 )·(

1 3 (

4

· 2

· 1

· 3 )

)·(

1 (

·

2 1

2

1 1

= = =

+ +

= − + +

= −

= β

β

I V V R

e

_AB ^S

10

2 4

· 5 ) 3 1 (

4

· 5 ) 1 (

3

·

2

= − = −

= −

= −

= β

^e

R ^A

I e 2

5 10 5

10

3

3 2

 = =



 



 −

−

=

−

= R A

V R

I e

^AB

1

2 2

2 2

2

= −

1

= − = − = −

e

A

R r R

I e

^m

5

2

· 5 2 2

1 3 1 · 1 2

·

2 1

1 1

 = =



 



 +

 =





 

 +

=

Il calcolo della potenza afferente i due generatori pilotati richiede la definizione della convenzione per il coordinamento della tensioneedellacorrenteaimorsettideigeneratori pilotati.Adottata la

A

R3

R₂ r_mI₂

(figura – 1m) R1

V”AB

B I₂

++++

−−−−

ββββ I

3

I3

α α α α

I1

++++

++++

−−−−

^ES

A

R3

R₂ r_mI₂

(figura – 1n) R₁ V”AB

B I2

++++

−−−−

I₃

α α α

α

I₁

++++

++++

−−−−

^ES

convenzione dei generatori (active sign convention) e, considerato che la legge di Kirchhoff delle tensioni applicata alla maglia di sinistra della rete di figura1a porge la seguente relazione:

2

0

3

−

1

+ =

+ V e e

E

_{S βI}

⇒

V

_I

e

₁

e

₂

E

_S

2 ( 10 ) 10 2 10 10 2 V

3

= − − = − − − = + − =

β

si ottengono le scritture che di seguito si esplicitano:

W E

e e I V

I

P

_{I 3 I 3}

·(

_{1 2 S}

) 3 · 2 · 2 12

3

3

= β

_β

= β − − = =

β (erogata)

W I

I r P

_{r I m}

m ₂

(

₁

) 3 ·( 1 )·( 5 ) 3 · 5 15

2

= − = − − = =

(erogata)

b) Ai fini della verifica del Teorema di Tellegen è necessario determinare le altre potenze relative ai restantibipolicomponentilareteoriginariadifigura1a.Assumendoancheper i duegeneratori ideali di tensione ES e di corrente IS la convenzione dei generatori, mentre per le resistenze R1, R₂ e R₃ la convenzione degli utilizzatori (passive sign convention) si ottengono le relazioni che di seguito si esplicitano:

W I

e P

_{I S}

S

=

₂

= − 10 · 4 = − 40

(erogata)

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

P W

IS

= + 40

(assorbita)

W I

E P

_{E S}

S

= β

₃

= 10 · 3 · 2 = 60

(erogata)

W I

R

P

_{R 1 1}²

1 · 5

²

25

1

= = =

(assorbita)

W I

R I

I R I

V

P

_{R AB}

(

₂

)

_{2 2}

·(

₂

)

_{2 2}²

2 ·( 1 )

²

2 · 1 2

2

= − = − − = = − = =

(assorbita)

W I

R I I R I I R I

e

P

_{R 2 3}

(

_{3 3}

)·

_{3 3 3}

·

_{3 2 3}²

5 · 2

²

5 · 4 20

3

= − = − − = = = = =

(assorbita)

Il Teorema di Tellegen afferma che È NULLA la POTENZA TOTALE in un circuito. La relazione che esprime analiticamente l’asserto del teorema assume, pertanto, le seguenti forme equivalenti:

= 0

∑

_k

P

k ⇒

∑

i

P

i_erogata

⁼ ∑

_j

P

j_assorbita

Nel caso specifico relativo alla rete lineare di figura 1 si ottiene:

W P

P P

P

P

erogata I rmI IS ES

i i

12 15 40 60 47

2

3

+ + + = + − + =

∑ =

_β

W P

P P

P

_{R R R}

j j_assorbita

25 2 20 47

3 2

1

+ + = + + =

∑ =

OSSERVAZIONE. Il bilancio delle potenze, dato che il generatore indipendente ideale di corrente funge da bipolo utilizzatore attivo e, come già sopra indicato, assorbe potenza, può essere espresso anche nella forma seguente:

W P

P P

P

erogata I rmI ES

i i

12 15 60 87

2

3

+ + = + + =

∑ =

β

W P

P P P

P

_{I R R R}

j j_assorbita

40 25 2 20 87

3 2 1

3

+ + + = + + + =

∑ =

_β

ESERCIZIO E2: Con i riferimenti coordinati delle tensioni edelle correnti,espressi dalleusuali convenzioni alle porte 1 e 2 del doppio bipolo mostrato in figura 2, si desidera determinare: a) i parametri della matrice R della formulazione controllata in corrente; b) se esiste la matrice G relativa alla duale formulazione controllata in tensione; c) per quali valori di µµµµ l’equivalente di Thevenin alla porta 1 è costituito dalla sola RTH; d) per quali valori di µµµµ l’equivalente Thevenin alla porta 2 è costituito solo da un generatore ideale di tensione E_TH di cui si desidera conoscere l’espressione analitica.

La formulazione controllata in corrente, relativa al doppio bipolo mostrato in figura 2, è espressa dalla seguente relazione costitutiva:

DB_R:

 



+

=

+

=

2 22 1 21 2

2 12 1 11 1

I R I R V

I R I R V

Le variabili indipendenti sono rappresentate dalle correnti I₁eI₂,invece le variabili dipendenti sono le tensioni V₁ e V₂, Si tratta, cioè, di determinare la matrice dei parametri resistivi R caratteristica del doppio bipolo, rappresentato con la figura 2a, equivalente,alcircuito a due porte che è proposto dalla traccia.

a1)PrimoModo:MetododelleProve Semplici.

È la procedura che attiene alla definizione degli stessi parametri, cioè alla relazione costitutiva;

infatti, la determinazione dei parametri R_ij viene effettuata a coppie imponendo il funzionamento a vuoto, dapprima della porta d’uscita e poi della porta d’ingresso.

Calcolo di R11 e di R21. Giova ricordare che per questa finalità la rete da analizzare è riportata in figura 2b in cui, come sopra indicato, la porta di uscita è posta a vuoto (I2 =0A), mentre la porta di ingresso è alimentata dal generatore ideale indipendente di corrente I1; infatti, in ossequio ai legami costitutivi del doppio bipolo, si validano le posizioni seguenti:

A

I

I

R V

1 0 11 1

2=

=

A

I

I

R V

1 0 21 2

2=

=

Per ispezione diretta si evince che V_X =R·I, come stabilito dalla legge di Ohm; si deduce poi che la corrente che interessa il generatore dipendente di tensione µµµµV_X controllato dalla tensione VX è ancora tutta e sola la corrente I₁, come risulta evidente applicando la legge di Kirchhoff delle correnti al supernodo ΣΣΣΣ o al nodo αααα, ottenendo appunto:

3 2

1

I I

I + =

⇒

I

₁

+ 0 I =

₃ ⇒

I

₁

= I

₃

La regola del partitore resistivo di corrente applicata alle tre resistenze interne al supernodo ΣΣΣ consente di esplicitare le seguenti relazioni: Σ

1 1

1

3

2 3

2 I I

R I R R R R

R

I

_R

R = =

+ +

= +

e _{1 1 1}

3 1

3 I I

R I R R R R

I R = =

+

= +

µ

µµ µVX

I2

R

V

2

R R

R I1

V

1

++++

−−−−

VX

(figura – 2)

R₁₂I₂ R₂₁I₁

V

I

2

V

2

R₁₁ R₂₂

I

1

V

1

++++

−−−−

++++

−−−−

(figura – 2a)

µ µµµV_X

I2=0 R

V

2

R R

R I₁

V

1

++++

−−−−

V_X

(figura – 2b) I

I3=I1

IR

Σ Σ Σ Σ ++++

++++

α

α

α

α

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia relativa alla porta di ingresso, di cui in figura 2b si è indicato il verso di percorrenza, consente di relazionare come segue:

3

1

V RI RI

V − µ

_X

=

_R

+

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

V

₁

= µ RI + RI

_R

+ RI

₁

Procedendo con le dovutesostituzioni, effettuati i relativipassaggialgebrici si perviene alleseguenti scritture:

1 1

1 1

3

2

3 I RI

I R R

V = µ + +

⇒ _{1 1}

3 2

3 R R I

V R 



 



 + +

= µ

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

₁

·

₁

3

5 RI

V 



 



 +

= µ

In ossequio alla definizione costitutiva del parametro R11 si ottiene

I R I RI

R V

A I

3 · 5

· 1 3 5

1 1 1 0

11 1

2

 

 



 +

=

⋅

 

 



 +

=

=

=

µ

µ

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

R · R

3 5

11





 



 +

= µ

L’applicazionedellaleggediKirchhoff delletensioni alla maglia relativa alla portad’uscita,di cui in figura 2b si è indicato il verso di percorrenza, consente di relazionare come segue:

1

2

V RI RI

V − µ

_X

= +

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

V

₂

= µ RI + RI + RI

₁ ⇒

V

₂

= ( 1 + µ ) RI + RI

₁

Procedendo con le dovutesostituzioni, effettuati i relativipassaggialgebrici si perviene alleseguenti scritture:

1 1

2

( 1 ) I 3 RI

R

V = + µ +

⇒ ₂

·

₁

3 3

1 RI

V 



 



 + +

= µ

⇒ ₂

·

₁

3

4 RI

V 



 



 +

= µ

In ossequio alla definizione costitutiva del parametro R₂₁ si ottiene:

I R I RI

R V

A I

3 · 4

· 1 3 4

1 1 1 0

21 2

2

 

 



 +

=

⋅

 

 



 +

=

=

=

µ

µ

⇒

R · R

3 4

21





 



 +

= µ

Calcolo di R22 e di R₁₂. Giova ricordare che per questa finalità la rete da analizzare è riportata in figura 2c in cui la porta d’ingresso è posta a vuoto (I1=0A), mentre la porta di uscita è connessa al generatore ideale indipendente di corrente I₂; infatti, in ossequio ai legami costitutivi del doppio

bipolo, si validano le posizioni seguenti:

A

I

I

R V

2 0 12 1

1=

=

A

I

I

R V

2 0 22 2

1=

=

Per ispezione diretta si evince che V_X =−−−−R·I, come stabilito dalla legge di Ohm; si deduce poi che la corrente che interessa il generatore dipendente di tensione µµµµV_X controllato dalla tensione V_X è ancora tutta e sola la corrente I₂, come risulta evidente applicando la legge di Kirchhoff delle correnti al supernodo ΣΣΣΣ o al nodo αααα, ottenendo appunto:

3 2

1

I I

I + =

⇒

0 + I

₂

= I

₃ ⇒

I

₂

= I

₃

La regola del partitore resistivo di corrente applicata alle tre resistenze interne al supernodo ΣΣΣ consente di esplicitare le seguenti relazioni: Σ

2 2

2

3

2 3

2 I I

R I R

R R R

R

I

_R

R = =

+ +

= +

e _{2 2 2}

3 1

3 I I

R I R R R R

I R = =

+

= +

L’applicazione dellalegge di Kirchhoffdelletensioniallamaglia relativa alla porta d’uscita,dicui in figura 2c si è indicato il verso di percorrenza, consente di relazionare come segue:

3

2

V RI RI

V − µ

_X

=

_R

+

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

V

₂

= − µ RI + RI

_R

+ RI

₂

Procedendo con le dovutesostituzioni, effettuati i relativipassaggialgebrici si perviene alleseguenti scritture:

µ µµ µVX

I1=0 ^R

V

2

R R

R

I2

V

1

++++

−−−−

VX

(figura – 2c) I

I3=I2

IR

Σ Σ Σ Σ ++++

++++

α α α

α