∫ ∫∫∫∫∫ Calcolo delle Probabilità: esercitazione 8

(1)

1

Argomento: Distribuzione gamma e esponenziale (pag. 387 e seguenti del libro di testo).

NB: assicurarsi di conoscere le definizioni, le proprietà richiamate e le relative dimostrazioni quando necessario

Esercizio 1

1) Il tempo di vita, T, espresso in anni di un’apparecchiatura elettronica si distribuisce come una gamma di parametri θ=1 e α=2. Si calcoli il tempo di vita medio dell’apparecchiatura.

2) Qual è il tempo di vita medio se θ=α=1/2 (distribuzione chi-quadro con 1 gradi di libertà)?

3) Si definisce funzione di sopravvivenza la funzione S(t) = P(T>t). Si calcoli la sopravvivenza di una generica apparecchiatura prodotta nel caso di una gamma di parametri θ e α=1.

4) Si definisce funzione di rischio la funzione

) t ( S

) t ) ( t ( = ϕ

λ dove ϕ(t) è la f.d.d. di T. Si

dimostri che la funzione di rischio è costante nel caso di una variabile aleatoria di tipo gamma con parametri θ e α=1 (v.a. esponenziale negativa).

5) Si dimostri che la funzione di rischio determina univocamente una variabile aleatoria assolutamente continua.

Soluzione

La funzione di densità di una v.a. gamma è data da

t 1e )t ) (

, , t

( ^α⁻ ⁻^θ

α

α Γ

= θ θ α

ϕ t>0 α, θ>0

1) Per θ=1 e α=2 si ha ² ² ¹ ^t te ^t te ^t

1 e 1 )t 2 ( ) 1 1 , 2 , t

( ⁻ ⁻ = ⁻ = ⁻

= Γ ϕ

E(T)=

[ ] [ ]

_^









 − − −

=

−

=

= θ α

ϕ

∫ ∫ ∫ ∫

∫

^∞ ⁻ ⁻ ^∞ ^∞ ⁻ ^∞ ⁻ ⁻ ^∞ ^∞ ⁻

∞

0 t 0

t 0

t 2 0

dt e te

2 dt te 2 dt te 2 e

t dt e t dt ) , , t ( t

[ ]

^te ^e ^dt ²

( [ ]

^e

)

²⁽⁰ ¹⁾ ²

2 ^t ₀

0 t 0

t = − =− − =









 − +

= ⁻ ^∞ ^∞

∫

⁻ ⁻ ^∞

2) ricordando che nel caso di una distribuzione gamma si ha

θ

=α ) T (

E per θ=α=1/2 si ottiene

2 1 / 1

2 / ) 1

T (

E = =

θ

=α

(2)

Si noti che per θ=α=1/2 si ha ²¹ ²¹^t t ¹²e ²¹^t 2

e 1 t 2 1 ) 2 2 ,1 2 ,1 t

( ⁻ ⁻ ⁻ ⁻

= π



 

 Γ

=

ϕ

(si veda l’esercizio precedente )

3) per α=1 si ha ϕ(t,θ)=θe⁻^θ^t t>0 θ>0 Φ(t)=P(T≤t)= ^t

[

^u

]

^t⁰ ^t

0

udu e 1 e

e⁻^θ = − ⁻^θ = − ⁻^θ

∫

θ

S(t)= e⁻^θ^t

4) λ = ϕ =θ₋⁻_θ^θ_t^t =θ e

e ) t ( S

) t ) ( t (

5) S(t)

) t ( ' S ) t ( S

) t ) ( t

( = ϕ =−

λ integrando entrambi i membri si ha

) t ( S log ) dt

t ( S

) t ( ' dt S

) t

( = − =−

λ

∫

da cui

∫λ

=e− ⁽^t⁾^dt

) t (

S e quindi Φ(t) 1 e ⁽^t⁾^d^t

∫λ

− −

=

(3)

3

Esercizio 2

Sia X una v.a. con distribuzione gamma di parametri θ e α. 1. Si determini la funzione generatrice dei momenti di X

2. Si ricavi la funzione generatrice dei momenti per α=1 e si determini il valore atteso della v.a. corrispondente (esponenziale negativa)

3. Si determini la funzione generatrice dei momenti per θ=1/2 e α=g/2 e si determini il valore atteso e varianza della v.a. corrispondente (chi quadrato con k gradi di libertà)

Soluzione

La funzione di densità di una v.a. gamma è data da

x 1e )x ) (

, , x

( ^α⁻ ⁻^θ

α

α Γ

= θ θ α

ϕ x>0 α, θ>0

1.

( ) ∫ ∫

^{( )}

₍ ₎

α

∫

^∞

⁽ ⁾

^α ^α⁻ ⁻^{( )}^θ⁻

∞ α

θ

−

− α α

∞ α α− −θ

α Γ

θ

− θ

−

= θ α

Γ

= θ α

Γ

= θ

=

0

x t 1 0

x 1 tx

tx

X x e dx

) ( t dx t

e )x dx (

e )x e (

e E ) t ( G

α



 





− θ

= θ ) t t (

G_X per t < θ

(l’integrale precedente è quello di una densità gamma di parametri θ−t e α) 2. Per α=1 si ottiene ^G^X⁽^t⁾⁼

(

^θ^θ⁻^t

)

per t < θ.

(Verificare il risultato calcolando la funzione generatrice dei momenti a partire direttamente dall’espressione della densità esponenziale negativa)

( )

²

X(t) t

'

G θ−

= θ da cui

= θ

= 1

) 0 ( ' G ) X (

E _X

3. Per α=g/2 e θ=1/2 si ottiene

2 / g

X 1 2t

) 1 t (

G 



 





= − per t<1/2

Calcolo della media

( )

²

( )

^g^/² ¹

1 2 / g

X 1 2t

g t

2 1

2 t

2 1

1 2 ) g t ( '

G ₊

−

= −









−

− −



 





= − da cui

0 g 1 g 1 ) 0 ( ' G ) X ( E

1 2 / g

X  =



 





= −

=

+

Calcolo della varianza

(4)

( )

^g^/² ¹

( )

^g ²

( ) ( ) (

^g ²

( )( ) )

X g 2 1 2t

t 2 ) 1

2 ( t 2 1 2 1 t

2 g 1 t

2 1 ) dt

t ( ''

G + −

= −



  − −

 

 +

− −

=

 

 −

= ₊ ₊ ₊

( )

( ) ( )

( )

^g^/² ²

2 / g 2

g 1 2t

2 g g t

2 1

2 g g

+

−

+ −

= +

−

= +

(

^g ²

)

g ) 0 ( '' G ) X (

E ² = _X = +

Var(X)=g²+2g− g²=2g

(5)

5

Esercizio 3

È noto da studi condotti su una particolare famiglia di coralli che il numero aleatorio N di gruppi di coralli presenti su un transetto di lunghezza r individuato su un fondale caraibico è una v.a. di Poisson di parametro λr con λ>0.

Supponendo che si sia incontrato sul transetto un gruppo coralli, qual è la distribuzione della v.a. T che rappresenta la lunghezza della porzione di transetto fino al prossimo avvistamento?

Soluzione

L’evento

{

^T>^t

}

si verifica solo se nessun gruppo di coralli è presente sul segmento di lunghezza t, ovvero:

{

^T ^t

}

^P⁽^N⁽^t⁾ ⁰⁾

P > = = ⁼^e⁻^λ^t valore della Poisson calcolato in 0.

Da cui

{ }

( ) (

^t

)

_e ^t

dt e 1 d dt

t T P 1 d dt

) t ( ) dF t

( ⁻^λ

λ

− =λ

= −

>

= −

=

ϕ .

La distribuzione della distanza dall’avvistamento successivo è quindi un’esponenziale negativa