• Quantizzazione dell’energia

Distribuzioni statistiche

Concetti di base

• Quantizzazione dell’energia

1 LIVELLO = g stati

PARTICELLA SINGOLA SISTEMA

(N

)

(solo particelle debolmente interagenti)

• Due diversi approcci (per sistemi chiusi)

SISTEMA ISOLATO SISTEMA TERMOSTATATO

approccio microcanonico approccio canonico

E

E _i

n

ε

= E

ε _k ∑

T

S = k

ln Ω

• Statistiche ....

...

...

N ≈ 10²³

N

→

∞

(Insieme canonico)

• Ripartizioni dell’energia

1 p a r t i c e l l a

N - 1 p ar t i c e l l e

1 s i s t e m a ( N p ar t i c e l l e )

T e r m o s t a t o (N - 1 s i s t e m i)

εε E

ε << E

E ^E = ⁼ ∑ ∑ n ⁿ

ε ^ε

^E

⁼ ∑ ⁿ

^E

1 10²³ N

Computo dei microstati

(per una distribuzione qualsiasi)

•

PARTICELLE

indistinguibili

•

SISTEMI

j = indice di LIVELLO; gj = degenerazione del livello

Ω

= N! g

n

!

∏

Ω

= (n

+ g

− 1)!

n

!(g

− 1)!

∏

Ω

= g

n

!

∏

Ω

= g

! n

!(g

− 1)!

∏

Ω

= ^N ! g

N

!

∏

nj << gj

alta temperatura

Distribuzioni predominanti

(max Ω ⁾

•

PARTICELLE

indistinguibili

•

SISTEMI

N = cost. E = cost.

N

E

n

= g

exp[ α + βε

]

n

= g

exp[α + βε

] − 1 n

= g

exp[α + βε

] n

= g

exp[ α + βε

] + 1

N

= g

exp[ α + βE

]

nj << gj

alta temp.

B.E.

F.D.

αα ββ

Distribuzione canonica

[

→ →

]

• La costante αα

∑ni = N

∑Ni =

N

• La costante ββ

equilibrio termico relazione S ↔ Q

• Probabilità degli stati

• Funzioni di partizione

particelle distinguibili particelle indistinguibili

(limite classico)

exp [ ] −βε

∑ ^{= z}

exp [ −βE

]

∑ ^{= Z}

P

= N

N = exp( − E

/ k

T) P

= n

Z

N = exp( −ε

/ k

T ) z

z

1 Z

N z

e αα

funzioni di partizione

ββ ^{= 1/k}

^T

molecolare canonica

• Significato della distribuzione canonica in funzione dell’energia

in funzione della temperatura

•

Densità degli stati

Larghezza relativa E_i

E_i

E

Pi

Ei

T bassa

T alta

P (E)

E

N=100

P (E)

E Distr. discreta

Densità d. stati Dist. continua

N = 1

N = 1 0 2 3

E P ( E)

<E>

∝ 1

N