♦ ♦ Numeri complessi:
forma algebrica e trigonometrica
♦ ♦ Formula di De Moivre
♦ ♦ Funzioni di dominio/codominio C
♦ ♦ Il gruppo moltiplicativo delle radici dell’unità
♦ ♦ Risoluzione in C delle eq.ni Xn-α=0
simbolo indicante argomento trattato e discusso in classe ma non riportato in queste slides
Rosalba Barattero ESERCITAZIONE N.9
1 dicembre 2009
ESERCIZIO1 C.
Calcoli in C con la forma algebrica
Esprimere nella forma a+ib i seguenti numeri complessi a) (2-3i)(1+i)
b) i5 + (1+i)32 c) 31−i
RICORDIAMO :
• i numeri complessi C estendono i numeri reali R ( R⊂ C)
• la loro rappresentazione algebrica è a+ib, con a , b numeri reali, i unità immaginaria t.c. i2=-1
• le 4 operazioni si fanno con le consuete regole del calcolo algebrico
a) (2-3i)(1+i) = 2-3i+2i+3 = 5-i
b) i5 + (1+i)32 = ?
i5= (i) (i2)2 ( proprietà delle potenze)
= i (-1)2 ( i4 = 1 da ricordare ! ) = i
(1+i)32 = ((1+i)2)16= (1-1+2i)16= (2i)16= 216 i16 = 216 (i4)4 = 216 (1)4
= 216
⇒ i5 + (1+i)32 = 216+ i
Siamo stati fortunati a poter procedere così !
Per convincersene controllare se è possibile calcolare (1+i 3)100 con semplici passaggi come sopra.
In generale le potenze in C si calcolano agevolmente passando alla forma trigonometrica con la formula di De Moivre,come vedremo.
c) 3 i 1
− = (3−(3i)(3+i)+i)= (310+i)= 103 +i101
Si moltiplica numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore
Se z= a+ib , si chiama coniugato di z il numero com- plesso z=a-ib.
Il prodotto z ⋅ z è sempre un numero reale = a2+b2.
RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI COMPLESSI NEL PIANO DI ARGAND-GAUSS
200. esimo compleanno Di Gauss Germania 1977
figura commentata in classe
ESERCIZIO2 C.
Uso della forma trigonometrica in C
a) Scrivere in forma trigometrica i numeri complessi z= 3 −i e w= i-1
b) Calcolare modulo e argomento di (zw)7 c) Esiste n∈ù* t.c. (zw)7 sia un numero reale ?
a) Sappiamo che
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
= +
= +
= +
=
b a sen b
b , a cos a
t.c.
2π di multipli di
meno a def.
angolo l'
Pitagora) di
(teorema
2 2 2
2 2 2
ϑ ϑ
ϑ
ρ a b
z = ρ (cosθ +i senθ) = 2[cos(-π/6) +i sen(-π/6)]
2 1
2 3
2+ = + =
= a b
ρ
2 , 1
2
cosϑ = 3 senϑ = −
=> ϑ =−π6
( Arg(z) è def. a meno di multipli interi di 2π) Circonferenza trigonometrica
w= i-1=-1+i
w= ρ (cosθ +i senθ) = 2[cos(43π)+isen(43π)] b) Calcolare modulo e argomento di (zw)7
z =2[cos(-π/6) +i sen(-π/6)] , w= 2[cos(43π)+isen(43π)]
Sappiamo che | Z1Z2|=| Z1|| Z2| & Arg(Z1Z2)=Arg(Z1)+Arg(Z2) (nel caso del quoto è:
2 1 2
1 z
z z
z = & ( 1) ( 2)
2
1 Arg z Arg z
z
Arg z ⎟⎟⎠= −
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ )
ZW= 2 2[cos(43π- 6π)+isen(43π- 6π)]
= 2 2[cos(127 π)+isen(127 π)]
Ora per (ZW)7 sappiamo che |zn|=|z|n & Arg(zn)=n Arg(z) (ZW)7= (2 2)7[cos(712⋅7π)+isen(712⋅7π)]
2 1
2 1
2+ = + =
= a b
ρ
2 , 1
2
cosϑ =− 1 senϑ =
=> ϑ π 4
= 3 Circonferenza trigonometrica
= (27 27)[cos(1249π)+isen(1249π)]
= (210 2 )[cos(1249π)+isen(1249π)] Riduciamo l’angolo modulo 2π :
π π π π π
π mod2
12 12 49 4 12
12
49 = + => ≡ ( 4π è multiplo PARI di 2π ! )
Conclusione : (ZW)7= (210 2 )[cos(12π )+isen(12π )]
=> il modulo di (ZW)7 è (210 2 ) e l’argomento è π/12
c) Esiste n∈ù* t.c. (zw)n sia un numero reale ?
(zw)n = π)]
12 isen(7n 12π)
[cos(7n ) 2 2
( n +
(zw)n ∈R Im(zw)n=0R
π)] 0
12 [sen(7n ) 2 2
( n =
Si ha π) 0
12 sen(7n =
π π k= 12
7n con k ∈Z
7n=12k
n= 12 k con k∈N* va bene Ad es. n=12 ok !
ESERCIZIO 3.
Funzioni con dominio C Sia f:C→R la funzione definita da f(a+ib)=a+b2−1.
a) Stabilire se f è iniettiva, surgettiva
b) Sia g:R→C la funzione definita da g(x) = (x+1)+2xi, determinare f°g e g°f .
a) f(2i)=0,f(1)= 0 : 2i≠1 ma f(2i)=f(1) => f non è iniettiva ∀ x∈R esiste a+ib∈C t.c. f(a+ib)=x ?
Sì basta considerare a+ib= (x+1)+0⋅i =>f è surgettiva
b) f°g : R→R definita da f(g(x)) = f( (x+1)+2xi ) = x+1+x-1 = 2x
g°f : C→C definita da
g(f(a+ib)) = g(a+2b−1)
= [a+2b−1+1]+2(a+2b−1)i = (a+2b)+2(a+2b−1)i
ESERCIZIO 4.
ancora sulla forma trigonometrica Rappresentare in forma trigonometrica z=(2-7i)(5+3i).
Portiamo z prima in forma algebrica :
z=(2-7i)(5+3i) = (10+21) +i(6-35) = 31-29i Passiamo alla forma trigonometrica:
1802 )
29 (
312 2
2
2+ = + − =
= a b
ρ
1802 , 29
1802
cosϑ = 31 senϑ =− : l’angolo non è un angolo notevole ! Come si individua ?
Quindi si ha : θ = arctg y/x se x>0 θ = π + arctg y/x se x<0
Nel ns. caso x+iy=31-29i , x>0 , siamo nel IV quadrante
=> θ = arctg y/x = arctg (-29/31)
E la forma trigonometrica di z è : 1802( cosθ +isenθ) tg θ = y/x
La fig. mostra come la fun- zione tg sia periodica di pe- riodo π e la sua funzione in- versa arctg definita da R in (-π/2, π/2) non consente di distinguere angoli diametral- mente opposti.
ESERCIZIO 5.
Gruppo moltiplicativo delle radici quarte dell’unità a) Provare che le radici quarte di 1 costituiscono un
gruppo moltiplicativo ciclico G b) Trovare due diversi generatori di G
c) Determinare un sottogruppo K di G di 2 elementi.
d) Esiste un sottogruppo L di G di 3 elementi ? a) Le radici quarte di 1 sono le soluzioni (radici) dell’equazione Z4 =1.
1 e -1 sono radici ( 14=1, (-1)4=1 ).
Ma anche i4 =1 e (-i)4 =1, e poiché si prova che in C le ra- dici sono esattamente tante quanto il grado dell’equazione, si ha quindi G ={1,-1,i,-i}.
⋅ 1 -1 i -i 1 1 -1 i -i
-1 -1 1 -i i i i -i -1 1 -i -i i 1 -1
b) G è ciclico se tutti i suoi elementi sono potenze di un elemento di G, detto generatore.
10=1, 11=1, … => 1 non è generatore di G
(-1)0=1, (-1)1=-1,(-1)2=1 => 1 non è generatore di G i0 =1, i1 =i, i2 =-1, i3 =-i, i4 =1, … => i è generatore di G (-i)0 =1, (-i)1 =-i, (-i)2 =-1, (-i)3 =i, (-i)4 =1, … => -i è ge- neratore di G
- chiusura : ok - elemento neutro =1
- inverso di 1 è 1, inverso di -1 è -1, inverso di i è –i e viceversa
- associativa :ok - commutativa: ok
c) K={1,-1} è sottogruppo di identità 1, l’inverso di 1 è 1, l’inverso di -1 è -1.
K={1,i} non è sottogruppo : l’inverso di i è –i e -i∉K Etc.
d) K={1,-1,i} non è sottogruppo , come sopra e analoga- mente si vede che non ci sono sottogruppi di ordine 3 ( con 3 elementi ) .
Vediamo ora come si trovano in generale le radici n-esime dell’unità o di qualsiasi altro numero complesso.
Le radici di Z4=1 sono di- sposte come i vertici di un quadrato, inscritto in una circonferenza di rag- gio 1.
ESERCIZIO 6.
Risoluzione di equazioni in C a) Determinare le sei soluzioni complesse dell’equa-
zione Z6=-1 e disegnarle nel piano di Argand-Gauss.
b) Verificare che la somma delle sei soluzioni di a) vale 0 e il prodotto vale 1.
a) Nei reali l’equazione Z6=-1 non ha soluzioni perché ogni numero reale non nullo elevato ad una potenza pari dà un numero positivo a6 = (a3)2>0 .
Ma qui si ha i6=i4⋅ i2 =-1 quindi i è radice e così –i.
Dalla teoria sappiamo che nei complessi ogni equazione del tipo Zn = α , con α ≠0, ha esattamente tante soluzioni di- stinte quanto è il suo grado, ossia n. ♣
Sappiamo anche che le radici di Zn=α hanno tutte lo stesso modulo (=n|α|) e quindi nel piano di Argand-Gauss, sono disposte sulla circonferenza di centro l'origine e raggio n|α|. Inoltre due radici 'consecutive' sono 'distanziate' in senso angolare di un angolo pari a n2π
, quindi per determinare graficamente tutte le radici è sufficiente determinarne una per poter disegnare il poligono regolare inscritto nella cir- conferenza di raggio n|α|, che ha come vertici le radici .
♣ E’ un caso particolare del TEOREMA FONDAMENTALE DELL’ALGEBRA provato da Gauss nella sua tesi di dottorato del 1799 per qualsiasi equazione a coeffi- cienti in C.
12
Nel nostro caso conosciamo la radice i ( o –i), quindi par- tendo da i con rotazioni (antiorarie) successive di 6 3
2π = π individuiamo le 6 radici sulla circonferenza di raggio
n|α|= 1 e trattandosi di angoli notevoli, sappiamo anche indicare la forma algebrica delle sei radici.
La proprietà geometrica esposta sopra trova giustificazione nella formula di De Moivre che consente algebricamente di risolvere le equazioni del tipo Zn=α. La vediamo applicata nell’esercizio successivo ( prossima esercitazione).
Le radici di Zn=α sono i vertici di un poligono regolare di n lati inscritto nella crf. di raggio n|α|.
Se α∈R le radici sono a 2 a 2 complesse coniugate (simmetriche risp.asse x)
