Prof. Francesco Ragusa

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Prof. Francesco Ragusa

Università degli Studi di Milano

Anno Accademico 2020/2021

Elettromagnetismo

Sfera polarizzata.

Legge di Gauss nella materia

Il campo Spostamento Elettrico D Condizioni al contorno

Lezione n. 16 – 26.11.2020

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Campo elettrico di una sfera polarizzata

• Consideriamo una sfera di dielettrico uniformemente polarizzata

• Dato che la polarizzazione è uniforme all'interno non ci sono densità di carica volumetriche

• Sulla superficie ci sarà una densità superficiale di carica che dipende dall'angolo polare

• Possiamo pertanto sostituire al blocco di dielettrico la distribuzione di carica superficiale σ_P(θ)

• Il potenziale si ottiene con l'integrale

• La formula risolve il problema per

r

interno o esterno alla sfera

• Il calcolo di questo integrale è un po' laborioso

• È un problema computazionale

• Possiamo sviluppare altre soluzioni più interessanti dal punto di vista della fisica

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Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 312

Campo elettrico di una sfera polarizzata

• Un modo alternativo per risolvere il problema è quello di considerare due sfere di densità ρ uniforme e raggio R

• Di carica totale Q, positiva e negativa rispettivamente

• Le due sfere sovrapposte sono equivalenti ad un sistema neutro

• Spostiamo le due sfere in modo che i centri distino una piccola distanza s

• Compaiono due regioni di carica la cui densità varia con l'angolo come cosθ

• La carica presente è proporzionale a Δl = l − R

trascuriamo

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Campo elettrico di una sfera polarizzata

• Un elemento di superficie da sulla sfera individua un volume dv = da Δl

• La carica di questo volume è

• V è il volume della sfera

• Calcoliamo la densità superficiale di carica

• Confrontando con la densità superficiale dovuta alla densità di polarizzazione

P

: σ(θ) = P cosθ

• Otteniamo la relazione fra Q, s e i dati del problema

• A questo punto possiamo calcolare il campo elettrico

• Iniziamo con la regione esterna alla sfera

• Questo è banale

• Il sistema è equivalente a due cariche puntiformi ±Q distanti s: un dipolo p₀ = Qs

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Campo elettrico di una sfera polarizzata

• Veniamo al campo elettrico all'interno

• Utilizziamo il principio di sovrapposizione e sommiamo i campi all'interno delle due sfere di carica uniforme

• Abbiamo già calcolato il campo all'interno di una sfera (diapositiva )111³⁸⁶

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Campo elettrico di una sfera polarizzata

• Notiamo che il campo elettrico è discontinuo sulla superficie della sfera

• Analizziamo la discontinuità

• Per semplicità nel polo nord della sfera (θ = 0)

• Il campo esterno è (diapositiva )

• Il campo interno è

• Vediamo che la discontinuità nella componente normale è

• È la discontinuità della componente normale di un campo elettrico al passaggio di una densità superficiale di carica σ = P

272542

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Campo elettrico di una sfera polarizzata

• Questa relazione vale per tutti gli angoli

• La componente normale (radiale) del campo elettrico esterno è

• La componente radiale del campo elettrico interno è

• La componente tangenziale è continua

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La legge di Gauss nella materia

• Supponiamo di avere un grande dielettrico all'interno del quale si trova una carica q

• Una carica che non fa parte della struttura molecolare del dielettrico

• Ad esempio una sfera metallica carica immersa in un bagno di olio

• Come nel condensatore piano con il dielettrico presente, il campo elettrico nel materiale risulta ridotto rispetto a quello nel vuoto (con la stessa carica q)

• È legittimo chiedersi se la legge di Gauss è ancora valida

• Infatti il flusso del campo elettrico su una superficie che circonda la carica, ad esempio una sfera, sarà più piccolo perché E è più piccolo

• Sembra pertanto che il flusso non sia più uguale a q/ε₀ ma piuttosto q/ε

• Nel fare questa affermazione commettiamo un grave errore

• La carica q non è la sola carica all'interno della sfera che utilizziamo per il calcolo del flusso

• C'è una densità di carica indotta dalla polarizzazione di cui bisogna tenere conto

Normalmente si definisce la permittività del dielettrico

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La legge di Gauss nella materia

• Infatti il campo elettrico polarizza il materiale

• La sferetta metallica carica ha un'interfaccia con il dielettrico

• Intorno alla sferetta compare una carica superficiale della quale bisogna tenere conto

• È a causa di questa carica, che "scherma" la sfera, che il campo risulta meno intenso

• In generale potrebbe esserci anche una carica volumetrica se ∇⋅P ≠ 0 ( in questo caso ∇⋅P = 0)

• Supponiamo che il dielettrico sia lineare

• Il campo elettrico e densità di polarizzazione sono

• Supponendo che il raggio della sfera sia a la densità di carica di polarizzazione (uniforme) sulla sua superficie è

• All'esterno della sfera il campo è quello di una carica puntiforme Q = q + q_p Carica schermata, più piccola

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La legge di Gauss nella materia

• Tenere conto della carica di polarizzazione non è semplice

• In laboratorio si controllano le cariche o i potenziali sui conduttori, non la carica di polarizzazione

• Sarebbe utile una relazione che utilizzasse solo le cariche libere Q_free= q₁+q₂

• Scriviamo la legge di Gauss in forma integrale tenendo conto di tutte le cariche presenti

• La carica di polarizzazione Q_pol è quella presente nel volume e sulle superfici S₁ e S₂

• Notiamo che la superficie S è una superficie matematica

• Non è una discontinuità nel dielettrico

• Non c'è una carica superficiale su di essa

• Calcoliamo Q_pol

• Usiamo il teorema della divergenza per trasformare l'integrale di volume Il volume V è quello delimitato da S, S₁, S₂

relazione matematica

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La legge di Gauss nella materia

• Riepiloghiamo

• Inseriamo l'espressione di Q_pol nella legge di Gauss

• Definiamo il campo vettoriale

D

, chiamato induzione elettrica

• Chiamato anche "spostamento elettrico"

• Introducendo nell'equazione otteniamo

• Vediamo che per il campo

D

vale una versione della legge di Gauss che stabilisce una relazione con le sole cariche libere

in forma differenziale

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La carica di un dielettrico

• Osservazione

• Le cariche che compaiono in un dielettrico polarizzato dipendono dalle deformazioni degli atomi e dall'orientamento dei dipoli molecolari

• Le cariche fanno piccoli spostamenti (dell'ordine delle dimensioni atomiche)

• Il dielettrico si polarizza ma la sua carica totale è nulla

• Nel calcolo precedente abbiamo trovato

• La superficie S è una superficie matematica

• La carica Q_pol è diversa da zero perché non stiamo considerando la superficie esterna del dielettrico

• Se consideriamo tutte le superfici del corpo (S_e)

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Lo spostamento elettrico D

• Il campo

D

può risultare utile in talune circostanze ma non aggiunge un reale contenuto fisico nuovo

• Può indurre in semplificazioni errate

• Il fatto che soddisfi una legge di Gauss che utilizza solo le cariche libere potrebbe fare pensare che si possa costruire un'elettrostatica solo con

D

• La ragione importante è che il campo

D

in generale non è conservativo

• D

non si può scrivere in funzione di un potenziale

• La legge di Coulomb aveva entrambe le proprietà

• Il motivo è ovvio

• Consideriamo la circuitazione di

P

come nella figura

• Dielettrico uniformemente polarizzato

• Cammino chiuso con lati paralleli alla polarizzazione Non esiste una

legge di Coulomb per

D

^{FALSO !!}

Dielettrico Vuoto

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Lo spostamento elettrico D

• In casi particolari risulta semplice calcolare il campo D

• Succede quando il problema ha evidenti simmetrie che possono condurre alla soluzione come abbiamo visto con la legge di Gauss per

E

• Nel caso generale bisogna avere una relazione fra

D

e il campo elettrico

E

• Una relazione che deriva dall'esperimento o da un modello della materia

• Come nel caso della densità di polarizzazione

• Per un dielettrico lineare

• Per l'induzione elettrica si ottiene

• Abbiamo definito un'ennesima costante: la permettività del materiale

• Ha le stesse dimensioni di ε₀

• Avere trovato questa relazione per i dielettrici lineari potrebbe fare pensare che almeno per questi si possa avere la circuitazione nulla

• La costante ε è discontinua quando si attraversa un'interfaccia

• In generale non si può portare fuori dall'integrale

FALSO !!

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Problema elettrostatico con i dielettrici

• Consideriamo un sistema composto da più dielettrici lineari

• In ogni dielettrico vale la relazione

• Naturalmente vale sempre

• Il campo elettrostatico

E

è sempre derivabile da un potenziale

• Possiamo utilizzare i metodi sviluppati per il calcolo del potenziale separatamente in ogni regione di dielettrico

• Con le opportune condizioni al contorno sulle superfici che delimitano i dielettrici sulle quali compaiono le densità superficiali di cariche

• In particolare, nelle regioni in cui ρ_f = 0 il potenziale obbedisce all'equazione di Laplace

• Notiamo che se all'interno di un dielettrico lineare non è presente una densità di carica libera (ρ_f = 0) anche la densità di carica di polarizzazione sarà nulla (ρ_b = 0)

siamo all'interno del dielettrico escludiamo i confini

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Condizioni al contorno

• Abbiamo visto che sulla superficie di un dielettrico compaiono densità superficiali di cariche di polarizzazione

• Sappiamo che il campo elettrico ha delle discontinuità quando incontra strati di carica superficiale

• Analizziamo le discontinuità per i campi

D

,

E

• Abbiamo visto che il campo

D

obbedisce alla legge di Gauss

• Applichiamo la legge intorno all'interfaccia fra due dielettrici

• Supponiamo che non ci siano cariche libere sulla superficie: Q_f = 0

• Per il campo

D

otteniamo

• Ricordando che per un dielettrico lineare si ha

D

= ε

E

• Pertanto

• La componente normale del campo

D

è continua se non ci sono cariche libere

• La componente normale del campo elettrico

E

è discontinua

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Condizioni al contorno

• La condizione su

E

che abbiamo trovato per i dielettrici lineari può essere ottenuta senza l'uso del campo

D

• Utilizziamo la proprietà del campo elettrico che conosciamo

• Attraversando una densità di carica σ la componente normale ha una discontinuità ΔE_⊥ = σ/ε₀

• Chiamiamo

E

₁ e

E

₂ i campi elettrici presenti

all'interfaccia nel dielettrico 1 e 2 rispettivamente

• Poiché i dielettrici sono lineari

P

= χε₀

E

• Dai lati 1 e 2 dell'interfaccia ci saranno le cariche

• Pertanto

• Ricordiamo che κ = 1 + χ e che ε = κε₀

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Condizioni al contorno

• Possiamo generalizzare la condizione al contorno su D_⊥ al caso in cui nell'interfaccia sia presente carica libera

• La condizione precedente

• Diventa

• Analizziamo il caso in cui l'interfaccia è fra un metallo e un dielettrico lineare

• In questo caso uno dei due materiali è un conduttore

• All’interno del conduttore

• Supponendo che il materiale conduttore sia il 2

• Ricordando che D = εE

• Nel dielettrico, all’esterno del conduttore

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Condizioni al contorno

• Per quanto riguarda la componente tangenziale del campo elettrico questa è continua

• Questa condizione deriva dal fatto che il campo elettrico è conservativo

• Infatti, considerando una linea chiusa intorno all'interfaccia, come in figura

• Per il potenziale le condizioni diventano

• Il potenziale è continuo attraverso l'interfaccia

• La derivata del potenziale è discontinua

• Se

n

è la normale alla superficie

N.B.: non ci sono cariche libere sull'interfaccia

Il vettore

r

varia sulla superficie di interfaccia dei dielettrici V è l'integrale di E

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Condizioni al contorno

• Riepilogando

• Ricordiamo solo le condizioni al contorno per campo elettrico e potenziale

• Sono sufficienti per risolvere i problemi

• Per il campo elettrico

• Per il potenziale

• Il potenziale è continuo attraverso l'interfaccia

• Il vettore

r

varia sulla superficie di interfaccia fra i dielettrici

• La condizione sulla componente normale del campo diventa