Un sottoinsieme di N `e un IP -set se `e della forma F S(X) =

(1)

Dinamica topologica, ultrafiltri e approssimazione diofantea

Denis Nardin 2 luglio 2011

1 Preliminari di combinatoria

Un sottoinsieme di N `e un IP -set se `e della forma F S(X) =

( X

x∈F

x | F ⊆ X, #F < ∞ )

per qualche X ⊆ N infinito. Inoltre un sottinsieme B di N `e un IP ^∗ -set se interseca non banalmente ogni IP -set.

Proposizione 1. Un sottoinsieme X di N `e un IP ^∗ -set se e solo se ` e contenuto in ogni ultrafiltro idempotente.

Dimostrazione. Sia X un IP ^∗ -set. Per assurdo sia p ∈ βN un ultrafiltro idem- potente che non lo contiene. Allora X ^C ∈ p. Ma, per il teorema di Hindman, ogni elemento di un ultrafiltro idempotente contiene un IP -set, cio` e esiste Y infinito tale che X ^C ⊇ F S(Y ), cio` e X ∩ F S(Y ) = ∅, che `e assurdo perch`e X era un IP ^∗ -set.

Viceversa supponiamo che X sia contenuto in ogni ultrafiltro idempotente e prendiamo un IP -set

Y = F S({x n | n ∈ N}) .

Vogliamo dimostrare che esiste p ultrafiltro idempotente tale che Y ∈ p (perci` o X ∩ Y ∈ p e quindi non pu` o essere vuota). Consideriamo la famiglia

Γ = {F S({x n | n ≥ m}) | m ∈ N} . Questa ha la propriet` a dell’intersezione finita, perci` o l’insieme

{p ∈ βN | Γ ⊆ p}

` e un chiuso non vuoto di βN. Se dimostriamo anche che `e un sottosemigruppo otterremo che contiene un idempotente per il lemma di Ellis.

Siano quindi p, q ⊇ Γ e verifichiamo che p + q ⊇ Γ, cio` e che per ogni m

F S({x n | n ≥ m}) ∈ p + q ⇔ {k | F S({x n | n ≥ m}) − k ∈ q} ∈ p .

(2)

Io sostengo che

F S({x _n | n ≥ m} − k ∈ q∀k ∈ F S({x _n | n ≥ m}) . Infatti se S ⊆ {m, m + 1, . . . } abbiamo che

F S({x _n | n ≥ m}) ⊇ F S({x n | n ≥ max S + 1}) + X

x∈S

x

da cui la tesi.

Corollario 1. La famiglia degli IP ^∗ -set ` e stabile per intersezione (e in parti- colare ha la propriet` a dell’intersezione finita).

Tuttavia ` e facile fare esempi del fatto che la famiglia degli IP ^∗ -set non ` e stabile per traslazione, per cui chiamiamo un sottoinsieme A ⊆ N un IP + ^∗ -set se ` e un traslato di un IP ^∗ -set, cio` e se ` e esiste k ∈ N tale che A − k sia IP ^∗ .

2 Definizioni e risultati di dinamica topologica

Un sistema topologico ` e una coppia (X, T ) composta da uno spazio compatto di Hausdorff e da un’applicazione continua T : X → X. Per ogni punto x ∈ X chiameremo orbita di x l’insieme

{T ⁿ x | n ∈ N}

e chiusura orbitale la sua chiusura in X.

Sia p un ultrafiltro su N. Possiamo definire il p-limite di una successione {x _n } _n∈N ⊆ X come

x = p- lim

n x n ⇔ ∀U 3 x aperto {n ∈ N | x n ∈ U } ∈ p .

E un banale esercizio di topologia generale dimostrare che il limite esiste ed ` ` e unico.

Lemma 1. Sia x, y ∈ X. Allora y ∈ {T ⁿ x | n ∈ N} se e solo se esiste un ultrafiltro p ∈ βN tale che p- lim T ⁿ x = y.

Dimostrazione. Consideriamo ora la mappa

ϕ x : βN → X ϕ x (p) = p- lim T ⁿ x

Questa ` e continua, come si pu` o facilmente verificare. Inoltre ha immagine conte- nuta nella chiusura di {T ⁿ x}. D’altro canto l’immagine ` e un compatto contente T ⁿ x per ogni n, per cui coincide con la chiusura.

Lemma 2.

(p + q)- lim

n x _n = p- lim

n q- lim

m x _n+m

(3)

Dimostrazione. Sia x = (p + q)- lim n x n e fissiamo U 3 x. Allora

{n ∈ N | x n ∈ U } ∈ (p + q) ⇒ {n ∈ N | {m ∈ N | x n+m ∈ U } ∈ q} ∈ p . Osserviamo che, posto y _n = q- lim _m x _n+m , abbiamo che

y _n ∈ U ⇔ {m ∈ N | x n+m ∈ U } ∈ q . Per cui l’equazione precedente pu` o essere riscritta come

{n ∈ Ny n ∈ U } ∈ p .

Che ` e equivalente a p- lim n y n ∈ U . Da questo abbiamo la tesi.

Un punto x ∈ X ` e detto uniformemente ricorrente se per ogni U 3 x aperto l’insieme

{n ∈ N | T ⁿ x ∈ U }

` e sindetico.

Teorema 1. Sia (X, T ) un sistema topologico e sia x ∈ X. Sono equivalenti 1. x ` e uniformemente ricorrente.

2. ({T ⁿ x | n ∈ N}, T ) `e un sistema topologico minimale.

3. Per ogni ideale sinistro minimale R ⊆ βN esiste p ∈ R idempotente tale che p- lim n T ⁿ x = x.

4. Esiste un idempotente minimale p ∈ βN tale che p- lim ⁿ T ⁿ x = x.

Dimostrazione. (1 ⇒ 2)

Prendiamo y ∈ Y = {T ⁿ x | n ∈ N e facciamo vedere che la sua orbita `e densa.

Prendiamo U intorno di x e sia U 2 un aperto tale che x 6∈ U 2 e U 1 ∪ U 2 = Y . Allora, poich` e Y ` e compatto e Hausdorff, possiamo trovare un intorno aperto U ⁰ di x tale che U ⁰ ∩ U 2 = ∅. Se prendiamo V = U × U ∪ U ² × U 2 abbiamo che V ` e un intorno della diagonale tale che se z ∈ U ⁰ e (z, r) ∈ V allora r ∈ U . Per ipotesi l’insieme

{n ∈ N | T ⁿ x ∈ U ⁰ }

` e sindetico. Prendiamo k dalla sindeticit` a. Allora (y, y) appartiene all’aperto

k−1

\

i=0

(T ⁱ × T ⁱ ) ⁻¹ V

perci` o possiamo trovare un intorno W di y tale che W × W sia nell’aperto.

Allora esiste un n > 0 tale che T ⁿ x ∈ W . Allora

(T ⁿ x, y) ∈

k−1

\

i=0

(T ⁱ × T ⁱ ) ⁻¹ V

(4)

Infine possiamo trovare i compreso tra 0 e k − 1 tale che T ^n+k x ∈ U ⁰ . Ma (T ^n+k x, T ^k y) ∈ V e per la costruzione di V abbiamo che T ^k y ∈ U .

(2 ⇒ 1)

Supponiamo per assurdo che x non sia uniformemente ricorrente. Allora esistono un intorno U di x e a n , k n tali che

T ^a

ⁿ

^+j x 6∈ U per ogni j = 0, . . . , k n − 1

con k n → +∞. Prendiamo un ultrafiltro p su N e sia y = p- lim n T ^a

ⁿ

x. Allora per ogni j ≥ 0

T ^j y = p- lim

n T ^a

ⁿ

^+j x 6∈ U .

Infatti definitivamente j < k n , per cui la quantit` a al membro desto ` e definitiva- mente fuori da U . Quindi x 6∈ {T ^j y} e perci` o la chiusura dell’orbita di x non ` e un sistema minimale. Assurdo.

(2 ⇒ 3)

Fissiamo R un ideale sinistro minimale. Osserviamo che {p- lim

n T ⁿ x | p ∈ R}

` e un sistema topologico. Infatti ` e compatto perch` e la mappa ϕ x : p 7→ p- lim n T ⁿ x

` e continua ed ` e T -invariante perch` e T (p- lim

n T ⁿ x) = p- lim T ⁿ⁺¹ x = (p + 1)- lim T ⁿ x .

Ma {T ⁿ x} ` e un sistema minimale che lo contiene, per cui devono coincidere.

Perci` o l’insieme

S = {p ∈ R | p- lim

n T ⁿ x = x}

` e un chiuso non vuoto (` e la controimmagine di x rispetto alla mappa ϕ x ).

Inoltre S ` e chiaramente un semigruppo. Perci` o per il lemma di Ellis contiene un idempotente. Ma questa ` e la tesi.

(3 ⇒ 4) Ovvio.

(4 ⇒ 2)

Sappiamo che p- lim n T ⁿ x = x per qualche idempotente minimale p. Sia R l’ideale sinistro generato da p. Allora consideriamo la mappa

ϕ x : R → X ϕ x (q) = q- lim

n T ⁿ x

L’immagine di questa mappa ` e un sottoinsieme compatto di {T ⁿ x} che contiene x. Inoltre poich` e R ` e ideale sinistro ` e anche T -stabile. Perci` o coincide con {T ⁿ x}. Inoltre ` e un sistema minimale. Infatti sia y = q- lim n T ⁿ x, ci basta far vedere che x sta nella chiusura dell’orbita di y. Ma βN + q = R, per cui esiste q ⁰ ∈ βN tale che q ⁰ + q = p. Ma allora

x = (q ⁰ + q)- lim

n T ⁿ x = q ⁰ - lim

n T ⁿ y ∈ {T ⁿ y}

che ` e la tesi.

(5)

Due punti x, y sono detti prossimali ¹ se

{(T ⁿ x, T ⁿ y)} _n∈N ∩ ∆ X 6= ∅

Osserviamo che se p ` e un ultrafiltro e p- lim _n T ⁿ x = p- lim _n T ⁿ y allora x e y sono prossimali (detto z il valore comune dei due limiti (z, z) sta nell’intersezione della diagonale con la chiusura delle immagini).

Un punto x ∈ X ` e detto distale se ` e prossimale solo a s` e stesso. (X, T ) ` e detto distale se tutti i suoi punti sono distali.

Proposizione 2. Sia (X, T ) un sistema topologico e siano x, y ∈ X. Allora x e y sono prossimali se e solo se esiste un ultrafiltro p ∈ βN tale che

p- lim

n T ⁿ x = p- lim

n T ⁿ y

Dimostrazione. Supponiamo che x, y siano prossimali. Allora esiste z tale che (z, z) ∈ {(T ⁿ x, T ⁿ y) | n ∈ N}. Ma questo vuol dire che esiste p ∈ βN tale che

p- lim

n (T ⁿ x, T ⁿ y) = (z, z) . Che ` e la tesi.

Lemma 3. Siano x, y ∈ X con y uniformemente ricorrente. Allora x e y sono prossimali se e solo se esiste un idempotente minimale p tale che y = p- lim _n T ⁿ x.

Dimostrazione. Consideriamo l’insieme

R = {p ∈ βN | p- lim _n T ⁿ x = p- lim

n T ⁿ y}

Questo insieme ` e non vuoto se e solo se x, y sono prossimali, per il lemma precedente. Ma R ` e evidentemente un ideale sinistro chiuso. Perci` o ` e non vuoto se e solo se contiene un idempotente minimale p. D’altro canto, poich` e y ` e uniformemente ricorrente possiamo scegliere p tale che

y = p- lim

n T ⁿ y . E questo d` a la tesi.

Teorema 2. Sia (X, T ) un sistema topologico e sia x ∈ X. Allora sono equivalenti

1. x non ` e prossimale a nessun punto della sua chiusura orbitale.

2. Per ogni p ∈ βN idempotente p- lim n T ⁿ x = x 3. x ` e IP ^∗ -ricorrente.

1

Nel caso in cui X ` e metrizzabile questo ` e equivalente all’esistenza di una sottosuccessione

n

k

tale che d(T

ⁿ^k

x, T

ⁿ^k

y) → 0.

(6)

Dimostrazione. (1 ⇒ 2)

Sia p ∈ βN idempotente e sia y = p- lim T ⁿ x. Allora p- lim

m T ^m y = p- lim

m p- lim

n T ^n+m x = p- lim

n T ⁿ x

perch` e p ` e idempotente. Quindi y ` e prossimale a x. Ma y sta anche nella chiusura orbitale di x per cui y = x.

(2 ⇒ 1)

Osserviamo che x ` e uniformemente ricorrente perch` e esiste un idempotente mini- male u tale che u- lim T ⁿ x = x (tutti gli idempotenti vanno bene). Supponiamo che esista y 6= x prossimale a x che stia nella chiusura dell’orbita di x. Allora y

` e uniformemente ricorrente, perch` e sta in un sistema minimale. Ora, poich` e y ` e un uniformemente ricorrente prossimale a x esiste un idempotente q ∈ βN tale che

q- lim

n T ⁿ x = y . Ma q- lim n T ⁿ x = x per ipotesi, per cui x = y assurdo.

(2 ⇔ 3)

p- lim _n T ⁿ x = x per ogni p idempotente se e solo se per ogni U intorno di x e per ogni p idempotente

{n ∈ N | T ⁿ x ∈ U } ∈ p .

Ma un insieme sta in tutti gli ultrafiltri idempotenti se e solo se ` e IP ^∗ .

Attenzione, nell’articolo di Bergelson ² viene erroneamente riportato che un punto ` e IP ^∗ -ricorrente se e solo se ` e distale. Questo ` e falso come si pu` o vedere facilmente dal seguente controesempio.

Sia X = S ¹ e consideriamo la mappa

T : X → X T (x, y) = 1

p x ² + y ⁴ (x, y ² ) .

Ora il punto (1, 0) ` e fisso e perci` o IP ^∗ -ricorrente. D’altro canto non ` e distale perch` e ` e facile vedere che ` e il punto limite dell’orbita che parte dal punto ^√ ¹

2 (1, 1) perch` e T fa crescere strettamente la coordinata x se non si ` e nei quattro punti (±1, 0), (0, ±1).

Teorema 3. Sia (X, T ) un sistema minimale. Allora ` e distale se e solo se per ogni aperto U e per ogni punto x ∈ X l’insieme

{n ∈ N | T ⁿ x ∈ U }

` e IP ₊ ^∗ .

2

[BER03] Teorema 3.8

(7)

Dimostrazione. Poich` e x ` e uniformemente ricorrente esiste un n 0 tale che T ⁿ

⁰

x ∈ U . Se il sistema ` e distale T ⁿ

⁰

x ` e IP ^∗ ricorrente, cio` e

{n ∈ N | T ⁿ⁺ⁿ

⁰

x ∈ U }

` e IP ^∗ , che implica una freccia della tesi.

Viceversa supponiamo che valga la seconda condizione e dimostriamo che il sistema ` e distale. Siano per assurdo x, y due punti prossimali distinti. Poich` e il sistema ` e minimale esistono idempotenti p, q tali che

y = p- lim

n T ⁿ x = p- lim

n T ⁿ y x = q- lim

n T ⁿ x = q- lim

n T ⁿ y . Fissiamo U un intorno di y che non contenga x. Allora l’insieme

S = {n ∈ N | T ⁿ x ∈ U }

non ` e un IP ^∗ perch` e non appartiene all’idempotente p. D’altro canto per ipotesi

` e un IP ₊ ^∗ , per cui ` e della forma L − k dove L ` e un IP ^∗ . Ora sia S che L stanno in q, il primo per costruzione e il secondo perch` e ` e un IP ^∗ . Ma S e L sono disgiunti per cui abbiamo un assurdo.

3 Applicazioni: propriet` a diofantee

Lemma 4. Sia T : (S ¹ ) ^k → (S ¹ ) ^k una trasformazione minimale e distale. Sia inoltre i ∈ {1, . . . , k} tale che, se ˜ T : R ^k → R ^k ` e un sollevamento,

T (e ˜ i ) = e i .

dove e _i ` e l’i-esimo vettore della base canonica. Allora la trasformazione T ⁰ : (S ¹ ) ^k+1 → (S ¹ ) ^k+1 definita da

T ⁰ (u, x) = (T u, x + u i )

` e minimale e distale.

Dimostrazione. La distalit` a ` e ovvia, per cui passiamo alla minimalit` a. Sia Z ⊆ (S ¹ ) ^k+1 un sottosistema minimale. Allora la proiezione di Z sulle prime k coordinate ` e ancora un sottosistema minimale, per cui ` e tutto (S ¹ ) ^k . Perci` o per ogni u ∈ (S ¹ ) ^k l’insieme

Z u = {x ∈ S ¹ | (u, x) ∈ Z}

non ` e vuoto. Consideriamo ora per ogni φ ∈ S ¹ la trasformazione R φ : (S ¹ ) ^k+1 → (S ¹ ) ^k+1 definita da

R φ (u, x) = (u, x + φ) .

Poich` e T ⁰ R _φ = R _φ T ⁰ , abbiamo che R _φ Z ` e ancora un sottosistema minimale, cio` e R φ Z = Z o R φ Z ∩ Z = ∅. Quindi l’insieme

H = {φ ∈ S ¹ | R φ Z = Z}

(8)

` e un sottogruppo chiuso di S ¹ tale che Z u = x + H per qualche x ∈ S ¹ . Di conseguenza o H ` e tutto S ¹ (e in tal caso Z u = S ¹ per ogni u, cio` e T ⁰ ` e minimale) o H ` e un sottogruppo finito generato da ¹ _h per qualche h ∈ N.

Supponiamo che sia il secondo caso. Allora per ogni u esiste un unico g(u) ∈ S ¹ tale che g(u) ∈ hZ u . Ma tale g(u) verifica la relazione

g(T u) − g(u) = hu _i .

La mappa u 7→ g(u) ` e continua perch` e il grafico di g ` e chiuso. Prendiamo quindi

˜ g : R ^k → R un sollevamento di g. Questa continua a soddisfare la relazione

˜

g( ˜ T u) − ˜ g(u) = hu i . Valutando l’espressione in e i otteniamo un assurdo.

Lemma 5. Sia α = (α 1 , . . . , α n ) ∈ R ⁿ tali che 1, α 1 , . . . , α n sono linearmente indipendenti su Q. Allora l’insieme

{[nα] | n ∈ N}

` e denso in (S ¹ ) ⁿ .

Dimostrazione. Dimostriamolo per induzione su n. Il caso n = 0 ` e ovvio. Sia π : (S ¹ ) ⁿ → (S ¹ ) ⁿ⁻¹ la proiezione canonica sulle prime coordinate. Sia inoltre G la chiusura del sottogruppo generato da α. Per induzione π ˜ ˜ G = (S ¹ ) ⁿ⁻¹ . Se il nucleo di π| G ˜ fosse S ¹ × 0 avremmo concluso. Se cos`ı non ` e il nucleo dev’essere generato da ¹ _h con h ∈ N.

Consideriamo la controimmagine G di ˜ G in R ⁿ . ` E un sottogruppo la cui proiezione su R ⁿ⁻¹ ` e tutto.

Vogliamo dimostrare che per ogni v ∈ R ⁿ⁻¹ r{0} c’` e un w ∈ G tale che πw = v e lo span di w sia tutto contenuto in G. Infatti prendiamo w n ∈ G tali che π(w n ) = v/n. A meno di sottrargli un certo numero di elementi di G possiamo supporre che tutti i w n stiano in [0, 1] ⁿ . Estraiamone una sottosuccessione convergente. Questa converger` a a un elemento di G che sta nel nucleo di π.

A meno di sottrarlo a tutti i w _n possiamo supporre che i w _n

_k

convergano a 0.

Inoltre estraendo eventualmente un altra sottosuccessione possiamo supporre che _||w ^w

^nk

nk

|| converga a un certo elemento w ⁰ . Sostengo che lo span di w ⁰ stia tutto in G. Infatti sia t ∈ R. Troviamo una successione a k di interi tale che a _k ||w n

k

|| → t (ad esempio a k = b _||w ^t

nk

|| c). Allora a k w _n

_k

→ tw ⁰ . Poich` e πw ⁰ sta nello span di v abbiamo dimostrato il nostro claim.

Prendiamo u ₁ , . . . , u _n−1 tali controimmagini della base canonica di R ⁿ⁻¹ e sia V il loro span (che ` e contenuto in G). Allora ogni elemento di G pu` o essere scritto come un elemento di Z _h ¹ e _n pi` u un elemento di V . In particolare i vettori della base canonica e ₁ , . . . , e _n−1 si devono scrivere

e i = u i + k i

h e n .

(9)

Perci` o gli u i hanno coordinate razionali, quindi V ` e descritto da un’equazione lineare a coefficienti razionali. Ma allora α dev’essere scrivibile come

α = k h e n + u

con u ∈ V . Ma questo ` e assurdo perch` e le coordinate di α sono linearmente indipendenti su Q.

Teorema 4. Siano p 1 , . . . , p n polinomi di grado d con termini di testa α 1 , . . . , α n

tali che 1, α ₁ , . . . , α _n siano linearmente indipendenti su Q. Allora per ogni ε ₁ , . . . , ε _n > 0 l’insieme

Γ = {k ∈ N | {p i (k)} < ε _i ∀i = 1, . . . , n}

` e IP ₊ ^∗ .

Dimostrazione. Poniamo, ricorsivamente

p i,d (t) = p i (t) p i,k−1 (t) = p i,k (t + 1) − p i,k (t) . Consideriamo il sistema dinamico ((S ¹ ) ^nd , T ) dove

T (x 1,1 , . . . , x 1,d ,x 2,1 , . . . , x n,d ) =

= (x 1,1 + α 1 /n!, x 1,2 + x 1,1 , . . . , x n,1 + α n /n!, . . . , x n,d + x n,d−1 ) . Ora T ` e minimale e distale per induzione su d grazie ai lemmi precendente. Ma si dimostra facilmente per induzione che

T ^k (p 1,1 (0), . . . , p n,d (0)) = (p 1,1 (k), . . . , p n,d (k)) Da cui facilmente la tesi.

Riferimenti bibliografici

[BER03] V. Bergelson: Minimal idempotents and Ergodic Ramsey Theory.

Topics in Dynamics and Ergodic Theory 8-39, London Math. Soc.

Lecture Note Series 310, Cambridge Univ. Press, Cambridge (2003) [BRS04] M. Brim, G. Stuck: Introduction to Dynamical Systems. Cambridge

University Press (2004)

[FUR81] H. Furstenberg: Recurrence in Ergodic Theory and Combinatorial

Number Theory. Princeton University Press (1981)

Un sottoinsieme di N `e un IP -set se `e della forma F S(X) =

Dinamica topologica, ultrafiltri e approssimazione diofantea

Denis Nardin 2 luglio 2011

1 Preliminari di combinatoria

Un sottoinsieme di N `e un IP -set se `e della forma F S(X) =

( X

x∈F

x | F ⊆ X, #F < ∞ )

per qualche X ⊆ N infinito. Inoltre un sottinsieme B di N `e un IP ∗ -set se interseca non banalmente ogni IP -set.

Proposizione 1. Un sottoinsieme X di N `e un IP ∗ -set se e solo se ` e contenuto in ogni ultrafiltro idempotente.

Viceversa supponiamo che X sia contenuto in ogni ultrafiltro idempotente e prendiamo un IP -set

Y = F S({x n | n ∈ N}) .

Vogliamo dimostrare che esiste p ultrafiltro idempotente tale che Y ∈ p (perci` o X ∩ Y ∈ p e quindi non pu` o essere vuota). Consideriamo la famiglia

Γ = {F S({x n | n ≥ m}) | m ∈ N} . Questa ha la propriet` a dell’intersezione finita, perci` o l’insieme

{p ∈ βN | Γ ⊆ p}

` e un chiuso non vuoto di βN. Se dimostriamo anche che `e un sottosemigruppo otterremo che contiene un idempotente per il lemma di Ellis.

Siano quindi p, q ⊇ Γ e verifichiamo che p + q ⊇ Γ, cio` e che per ogni m

F S({x n | n ≥ m}) ∈ p + q ⇔ {k | F S({x n | n ≥ m}) − k ∈ q} ∈ p .

Io sostengo che

F S({x n | n ≥ m} − k ∈ q∀k ∈ F S({x n | n ≥ m}) . Infatti se S ⊆ {m, m + 1, . . . } abbiamo che

F S({x n | n ≥ m}) ⊇ F S({x n | n ≥ max S + 1}) + X

x∈S

x

da cui la tesi.

Corollario 1. La famiglia degli IP ∗ -set ` e stabile per intersezione (e in parti- colare ha la propriet` a dell’intersezione finita).

Tuttavia ` e facile fare esempi del fatto che la famiglia degli IP ∗ -set non ` e stabile per traslazione, per cui chiamiamo un sottoinsieme A ⊆ N un IP + ∗ -set se ` e un traslato di un IP ∗ -set, cio` e se ` e esiste k ∈ N tale che A − k sia IP ∗ .

2 Definizioni e risultati di dinamica topologica

Un sistema topologico ` e una coppia (X, T ) composta da uno spazio compatto di Hausdorff e da un’applicazione continua T : X → X. Per ogni punto x ∈ X chiameremo orbita di x l’insieme

{T n x | n ∈ N}

e chiusura orbitale la sua chiusura in X.

Sia p un ultrafiltro su N. Possiamo definire il p-limite di una successione {x n } n∈N ⊆ X come

x = p- lim

n x n ⇔ ∀U 3 x aperto {n ∈ N | x n ∈ U } ∈ p .

E un banale esercizio di topologia generale dimostrare che il limite esiste ed ` ` e unico.

Lemma 1. Sia x, y ∈ X. Allora y ∈ {T n x | n ∈ N} se e solo se esiste un ultrafiltro p ∈ βN tale che p- lim T n x = y.

Dimostrazione. Consideriamo ora la mappa

ϕ x : βN → X ϕ x (p) = p- lim T n x

Questa ` e continua, come si pu` o facilmente verificare. Inoltre ha immagine conte- nuta nella chiusura di {T n x}. D’altro canto l’immagine ` e un compatto contente T n x per ogni n, per cui coincide con la chiusura.

Lemma 2.

(p + q)- lim

n x n = p- lim

n q- lim

m x n+m

Dimostrazione. Sia x = (p + q)- lim n x n e fissiamo U 3 x. Allora

{n ∈ N | x n ∈ U } ∈ (p + q) ⇒ {n ∈ N | {m ∈ N | x n+m ∈ U } ∈ q} ∈ p . Osserviamo che, posto y n = q- lim m x n+m , abbiamo che

y n ∈ U ⇔ {m ∈ N | x n+m ∈ U } ∈ q . Per cui l’equazione precedente pu` o essere riscritta come

{n ∈ Ny n ∈ U } ∈ p .

Che ` e equivalente a p- lim n y n ∈ U . Da questo abbiamo la tesi.

Un punto x ∈ X ` e detto uniformemente ricorrente se per ogni U 3 x aperto l’insieme

{n ∈ N | T n x ∈ U }

` e sindetico.

Teorema 1. Sia (X, T ) un sistema topologico e sia x ∈ X. Sono equivalenti 1. x ` e uniformemente ricorrente.

2. ({T n x | n ∈ N}, T ) `e un sistema topologico minimale.

3. Per ogni ideale sinistro minimale R ⊆ βN esiste p ∈ R idempotente tale che p- lim n T n x = x.

4. Esiste un idempotente minimale p ∈ βN tale che p- lim n T n x = x.

Dimostrazione. (1 ⇒ 2)

Prendiamo y ∈ Y = {T n x | n ∈ N e facciamo vedere che la sua orbita `e densa.

{n ∈ N | T n x ∈ U 0 }

` e sindetico. Prendiamo k dalla sindeticit` a. Allora (y, y) appartiene all’aperto

k−1

\

i=0

(T i × T i ) −1 V

perci` o possiamo trovare un intorno W di y tale che W × W sia nell’aperto.

Allora esiste un n > 0 tale che T n x ∈ W . Allora

(T n x, y) ∈

k−1

\

i=0

(T i × T i ) −1 V

Infine possiamo trovare i compreso tra 0 e k − 1 tale che T n+k x ∈ U 0 . Ma (T n+k x, T k y) ∈ V e per la costruzione di V abbiamo che T k y ∈ U .

(2 ⇒ 1)

Supponiamo per assurdo che x non sia uniformemente ricorrente. Allora esistono un intorno U di x e a n , k n tali che

T a

+j x 6∈ U per ogni j = 0, . . . , k n − 1

con k n → +∞. Prendiamo un ultrafiltro p su N e sia y = p- lim n T a

x. Allora per ogni j ≥ 0

T j y = p- lim

n T a

+j x 6∈ U .

per qualche X ⊆ N infinito. Inoltre un sottinsieme B di N `e un IP ^∗ -set se interseca non banalmente ogni IP -set.

Proposizione 1. Un sottoinsieme X di N `e un IP ^∗ -set se e solo se ` e contenuto in ogni ultrafiltro idempotente.

F S({x _n | n ≥ m} − k ∈ q∀k ∈ F S({x _n | n ≥ m}) . Infatti se S ⊆ {m, m + 1, . . . } abbiamo che

F S({x _n | n ≥ m}) ⊇ F S({x n | n ≥ max S + 1}) + X

Corollario 1. La famiglia degli IP ^∗ -set ` e stabile per intersezione (e in parti- colare ha la propriet` a dell’intersezione finita).

Tuttavia ` e facile fare esempi del fatto che la famiglia degli IP ^∗ -set non ` e stabile per traslazione, per cui chiamiamo un sottoinsieme A ⊆ N un IP + ^∗ -set se ` e un traslato di un IP ^∗ -set, cio` e se ` e esiste k ∈ N tale che A − k sia IP ^∗ .

{T ⁿ x | n ∈ N}

Sia p un ultrafiltro su N. Possiamo definire il p-limite di una successione {x _n } _n∈N ⊆ X come

Lemma 1. Sia x, y ∈ X. Allora y ∈ {T ⁿ x | n ∈ N} se e solo se esiste un ultrafiltro p ∈ βN tale che p- lim T ⁿ x = y.

ϕ x : βN → X ϕ x (p) = p- lim T ⁿ x

Questa ` e continua, come si pu` o facilmente verificare. Inoltre ha immagine conte- nuta nella chiusura di {T ⁿ x}. D’altro canto l’immagine ` e un compatto contente T ⁿ x per ogni n, per cui coincide con la chiusura.

n x _n = p- lim

m x _n+m

{n ∈ N | x n ∈ U } ∈ (p + q) ⇒ {n ∈ N | {m ∈ N | x n+m ∈ U } ∈ q} ∈ p . Osserviamo che, posto y _n = q- lim _m x _n+m , abbiamo che

y _n ∈ U ⇔ {m ∈ N | x n+m ∈ U } ∈ q . Per cui l’equazione precedente pu` o essere riscritta come

{n ∈ N | T ⁿ x ∈ U }

2. ({T ⁿ x | n ∈ N}, T ) `e un sistema topologico minimale.

3. Per ogni ideale sinistro minimale R ⊆ βN esiste p ∈ R idempotente tale che p- lim n T ⁿ x = x.

4. Esiste un idempotente minimale p ∈ βN tale che p- lim ⁿ T ⁿ x = x.

Prendiamo y ∈ Y = {T ⁿ x | n ∈ N e facciamo vedere che la sua orbita `e densa.

{n ∈ N | T ⁿ x ∈ U ⁰ }

(T ⁱ × T ⁱ ) ⁻¹ V

Allora esiste un n > 0 tale che T ⁿ x ∈ W . Allora

(T ⁿ x, y) ∈

(T ⁱ × T ⁱ ) ⁻¹ V

Infine possiamo trovare i compreso tra 0 e k − 1 tale che T ^n+k x ∈ U ⁰ . Ma (T ^n+k x, T ^k y) ∈ V e per la costruzione di V abbiamo che T ^k y ∈ U .

T ^a

^+j x 6∈ U per ogni j = 0, . . . , k n − 1

con k n → +∞. Prendiamo un ultrafiltro p su N e sia y = p- lim n T ^a

T ^j y = p- lim

n T ^a

^+j x 6∈ U .

Infatti definitivamente j < k n , per cui la quantit` a al membro desto ` e definitiva- mente fuori da U . Quindi x 6∈ {T ^j y} e perci` o la chiusura dell’orbita di x non ` e un sistema minimale. Assurdo.

n T ⁿ x | p ∈ R}

` e un sistema topologico. Infatti ` e compatto perch` e la mappa ϕ x : p 7→ p- lim n T ⁿ x

n T ⁿ x) = p- lim T ⁿ⁺¹ x = (p + 1)- lim T ⁿ x .

Ma {T ⁿ x} ` e un sistema minimale che lo contiene, per cui devono coincidere.

n T ⁿ x = x}

Sappiamo che p- lim n T ⁿ x = x per qualche idempotente minimale p. Sia R l’ideale sinistro generato da p. Allora consideriamo la mappa

n T ⁿ x

x = (q ⁰ + q)- lim

n T ⁿ x = q ⁰ - lim

n T ⁿ y ∈ {T ⁿ y}

Due punti x, y sono detti prossimali ¹ se

{(T ⁿ x, T ⁿ y)} _n∈N ∩ ∆ X 6= ∅

Osserviamo che se p ` e un ultrafiltro e p- lim _n T ⁿ x = p- lim _n T ⁿ y allora x e y sono prossimali (detto z il valore comune dei due limiti (z, z) sta nell’intersezione della diagonale con la chiusura delle immagini).

n T ⁿ x = p- lim

n T ⁿ y

Dimostrazione. Supponiamo che x, y siano prossimali. Allora esiste z tale che (z, z) ∈ {(T ⁿ x, T ⁿ y) | n ∈ N}. Ma questo vuol dire che esiste p ∈ βN tale che

n (T ⁿ x, T ⁿ y) = (z, z) . Che ` e la tesi.

Lemma 3. Siano x, y ∈ X con y uniformemente ricorrente. Allora x e y sono prossimali se e solo se esiste un idempotente minimale p tale che y = p- lim _n T ⁿ x.

R = {p ∈ βN | p- lim _n T ⁿ x = p- lim

n T ⁿ y}

n T ⁿ y . E questo d` a la tesi.

2. Per ogni p ∈ βN idempotente p- lim n T ⁿ x = x 3. x ` e IP ^∗ -ricorrente.

Sia p ∈ βN idempotente e sia y = p- lim T ⁿ x. Allora p- lim

m T ^m y = p- lim

n T ^n+m x = p- lim

n T ⁿ x

Osserviamo che x ` e uniformemente ricorrente perch` e esiste un idempotente mini- male u tale che u- lim T ⁿ x = x (tutti gli idempotenti vanno bene). Supponiamo che esista y 6= x prossimale a x che stia nella chiusura dell’orbita di x. Allora y

n T ⁿ x = y . Ma q- lim n T ⁿ x = x per ipotesi, per cui x = y assurdo.

p- lim _n T ⁿ x = x per ogni p idempotente se e solo se per ogni U intorno di x e per ogni p idempotente

{n ∈ N | T ⁿ x ∈ U } ∈ p .

Ma un insieme sta in tutti gli ultrafiltri idempotenti se e solo se ` e IP ^∗ .

Attenzione, nell’articolo di Bergelson ² viene erroneamente riportato che un punto ` e IP ^∗ -ricorrente se e solo se ` e distale. Questo ` e falso come si pu` o vedere facilmente dal seguente controesempio.

Sia X = S ¹ e consideriamo la mappa