ATTIVIT `A 5 Determinare l’ordine di inﬁnitesimo per x ! 0 delle seguenti funzioni⇤

(1)

ATTIVIT ` A 5

Determinare l’ordine di infinitesimo per x ! 0 delle seguenti funzioni

^⇤

1. f (x) = log(1 x)(e

^{sin x} _{1 x}¹ ₂

)

2. f (x) = sin x cosh x p xe

^x

3. f

_↵

(x) = cosh

^↵

x p

1 x

²

al variare di ↵ 2 R nota: possiamo scrivere cosh

^↵

x = ((cosh x 1) + 1)

^↵

Data f (x) funzione infinitesima di ordine 2 per x ! 0, stabilire se i seguenti limiti risultano finiti non nulli, nulli o infiniti.

4. lim

x!0

f (x) cos(2x) 1 5. lim

x!0

f (x) sinh p

x sin x 6. lim

x!0

p

3

1 + 6x

²

e

^2x²

f (x)

Utilizzando il simbolo “o piccolo”, calcolare i seguenti limiti 7. lim

x!0

log(1 + 2x) sinh

²

x x sin p

x + tan x 8. lim

x!0

p

4

1 x

²

+ e

^{x x}²

2 x log(cosh x) 9. lim

x!0

p

3

1 + ↵x p

³

1 + 2x x

³

log(1 + x) + tan p

x al variare di ↵ 2 R 10. lim

n!+1

n

²

^Ä sin( ^p 1 + n

²

n) log(1 +

_n¹2

) ^ä

⇤ Ricorda: una funzione f(x) ha ordine di infinitesimo b > 0 per x ! 0 se esiste ` 6= 0 tale che

x!0

lim f (x)

|x|

^b

= ` , f (x) ⇠ `|x|

^b

per x ! 0 , f (x) = ` |x|

^b

+ o( |x|

^b

) per x ! 0

(2)

sin y

y

! 1 sin y ⇠ y sin y = y + o(y)

1 cos y

y²

!

¹₂

1 cos y ⇠

^y₂²

cos y = 1

^y₂²

+ o(y

²

)

tan y

y

! 1 tan y ⇠ y tan y = y + o(y)

e^y 1

y

! 1 e

^y

1 ⇠ y e

^y

= 1 + y + o(y)

log(1+y)

y

! 1 log(1 + y) ⇠ y log(1 + y) = y + o(y)

(1+y)^↵ 1

y

! ↵ (1 + y)

^↵

1 ⇠ ↵y (1 + y)

^↵

= 1 + ↵y + o(y)

sinh y

y

! 1 sinh y ⇠ y sinh y = y + o(y)

cosh y 1

y²

!

¹₂

cosh y 1 ⇠

^y₂²

cosh y = 1 +

^y₂²

+ o(y

²

) e che valgono le seguenti propriet` a

• o(f(x)) ± o(f(x)) = o(f(x))

• k · o(f(x)) = o(k · f(x)) = o(f(x))

• g(x) · o(f(x)) = o(g(x) · f(x))

• o(g(x)) · o(f(x)) = o(g(x) · f(x))

• o(f(x) + o(f(x)) = o(f(x))

• o(o(f(x))) = o(f(x))

• g(x) ⇠ f(x) se e solo se g(x) = f(x) + o(f(x))

• Principio di cancellazione dei termini trascurabili: lim

_x

!x0

f (x)+o(f (x))

g(x)+o(g(x))

= lim

x!x0

f (x) g(x)

(3)

RISOLUZIONE

1. Per determinare l’ordine di infinitesimo di f (x) = log(1 x)(e

^{sin x} _1+x¹ 2

) per x ! 0 osserviamo che, essendo sin x ! 0 per x ! 0, dal limite notevole e

^y

= 1 + y + o(y) per y ! 0 e dalle propriet` a degli “o” piccoli otteniamo

e

^{sin x}

= 1 + sin x + o(sin x) = 1 + (x + o(x)) + o(x + o(x)) = 1 + x + o(x).

Allo stesso modo, essendo x

²

! 0 per x ! 0 e (1 + y)

^↵

= 1 + ↵y + o(y) per y ! 0, si ha 1

1 + x

²

= (1 + x

²

)

¹

= 1 x

²

+ o(x

²

)

Dunque, ricordando inoltre che log(1 x) = x + o(x) per x ! 0, otteniamo

f (x) = log(1 x)(e

^{sin x} _1+x¹ 2

) = ( x + o(x))(1 + x + o(x) (1 x

²

+ o(x

²

))

= ( x + o(x))(x + o(x)) = x

²

+ o(x

²

)

essendo x

²

= o(x). Ne segue che la funzione ha ordine di infinitesimo 2.

2. Calcoliamo l’ordine di infinitesimo della funzione f (x) = sin x cosh x p

xe

^x

. Dagli sviluppi notevoli e dalle propriet` a degli “o” piccoli abbiamo

f (x) = sin x cosh x p

xe

^x

= (x + o(x))(1 +

^x₂²

+ o(x

²

)) p

x(1 + x + o(x))

= x +

^x₂³

+ o(x) + o(x

³

) p

x + x p

x + o(x p

x) = p

x + o( p x) poich´e x = o( p

x), x p

x = o( p

x), x

³

= o( p

x). Possiamo allora concludere che per x ! 0 la funzione ha ordine di infinitesimo

¹₂

.

3. Per calcolare l’ordine di infinitesimo della funzione f

_↵

(x) = cosh

^↵

x p

1 x

²

al variare di ↵ 2 R osserviamo innanzitutto che dagli sviluppi notevoli (1+y)

^↵

= 1+↵y+o(y) e cosh y = 1+

^y₂²

+o(y

²

) per y ! 0, per x ! 0 si ha

(cosh x)

^↵

= ((cosh x 1) + 1)

^↵

= 1 + ↵(cosh x 1) + o(cosh x 1) = 1 + ↵(

^x₂²

+ o(x

²

)) Dato che p

1 x

²

= 1

^x₂²

+ o(x

²

), otteniamo

f

_↵

(x) = cosh

^↵

x ^p 1 x

²

= 1 + ↵(

^x₂²

+ o(x

²

)) (1 x

²

2 + o(x

²

)) =

¹₂

(↵ + 1)x

²

+ o(x

²

) Ne segue che se ↵ + 1 6= 0 la funzione ha ordine di infinitesimo 2, se invece ↵ + 1 = 0 dal precedente sviluppo otteniamo che f

_↵

(x) = o(x

²

) e possiamo solo concludere che la funzione ha ordine di infinitesimo maggiore di 2.

4. La funzione f (x) ha ordine di infinitesimo 2, quindi esiste ` 2 R \ {0} tale che f(x) ⇠ `x

²

. Allora

x

lim

!0

f (x)

cos(2x) 1

(4)

x

lim

!0

f (x)

cos(2x) 1 = lim

x!0

`x

2x

²

=

₂^`

2 R \ {0}

Si noti che ord(cos(2x) 1) = 2 = ord(f (x).

5. Per x ! 0 la funzione g(x) = sinh p

x sin x ha ordine di infinitesimo

¹₂

. Infatti si ha g(x) = sinh p

x sin x = p

x + o( p

x) (x + o(x)) = p

x + o( p x) dato che x = o( p

x) per x ! 0. Dato che la funzione f(x) ha ordine di infinitesimo 2 e ord(f (x)) = 2 > ord(g(x)) =

¹₂

, ne segue che lim

x!0

f (x) sinhp

x sin x

= lim

x!0 f (x) g(x)

= 0.

Infatti, poich´e f (x) ha ordine di infinitesimo 2, esiste ` 2 R \ {0} tale che f(x) = `x

²

+ o(x

²

) e dal principio di cancellazione dei termini trascurabili otteniamo

x

lim

!0

f (x) sinh p

x sin x = lim

x!0

`x

²

+ o(x

²

) p x + o( p

x) = lim

x!0

`x

²

p x = 0

6. Abbiamo che lim

x!0

p

3

1 + 6x

²

e

^2x²

f (x) = 0 dato che per x ! 0 la funzione p

³

1 + 6x

²

e

^2x²

ha ordine di infinitesimo maggiore di 2 = ord(f (x)). Abbiamo infatti che per x ! 0 si ha

p

3

1 + 6x

²

e

^2x²

= 1 +

¹₃

(6x

²

) + o(x

²

) (1 + 2x

²

+ o(x

²

)) = o(x

²

).

Quindi dato che f (x) ha ordine di infinitesimo 2 e dunque esiste ` 2 R \ {0} tale che f(x) ⇠ `x

²

, otteniamo

x!0

lim p

3

1 + 6x

²

e

^2x²

f (x) = lim

x!0

o(x

²

)

`x

²

= lim

x!0

1 ` · o(x

²

) x

²

= 0 per definizione di funzione trascurabile.

7. Per calcolare lim

x!0⁺

log(1 + 2x) sinh

²

x x sin p

x + tan x utilizziamo il limiti notevoli e gli “o” piccolo e determi- niamo l’ordine di infinitesimo di numeratore e denominatore (il limite presenta infatti una forma indeterminata del tipo

⁰₀

). Per x ! 0

⁺

abbiamo che

log(1 + 2x) sinh

²

x = 2x + o(x) (x + o(x))

²

= 2x + o(x) x

²

+ o(x

²

) = 2x + o(x) ⇠ 2x dato che x

²

= o(x), e

x sin p

x + tan x = x( p

x + o( p

x)) + x + o(x) = x

³²

+ o(x

³²

) + x

²

+ o(x

²

) = x + o(x) ⇠ x poich´e x

³²

= o(x). Ne deduciamo quindi che le due funzioni hanno lo stesso ordine di infinitesimo, il limite proposto `e pertanto finito e non nullo. Precisamente abbiamo

log(1 + 2x) sinh

²

x x sin p

x + tan x ⇠ 2x

x = 2, per x ! 0 e dunque lim

x!0

log(1 + 2x) sinh

²

x x sin p

x + tan x = 2.

(5)

8. Per calcolare il limite lim

x!0

p

4

1 x

²

+ e

^{x x}²

2 x log(cosh x) procediamo come nel precedente esercizio. Per x ! 0 abbiamo

p

4

1 x

²

+ e

^{x x}²

2 = 1 +

¹₄

( x

²

) + o(x

²

) (1 + (x x

²

) + o(x x

²

)) = x + o(x) ⇠ x essendo x

²

= o(x) e o(x x

²

) = o(x + o(x)) = o(x) per x ! 0. Risulta inoltre

x log(cosh x) = x log(cosh x 1 + 1) ⇠ x(cosh x 1) ⇠ x ·

^x₂²

=

^x₂³

Ne deduciamo che per x ! 0 si ha

p

4

1 x

²

+ e

^{x x}²

2 x log(cosh x) ⇠ x

x³ 2

=

_x²2

! 1

e quindi che lim

x!0

p

4

1 x

²

+ e

^{x x}²

2 x log(cosh x) = 1. Osserviamo che il numeratore ha ordine di infinitesimo 1, minore dell’ordine di infinitesimo del denominatore, pari a 3.

9. Calcoliamo il limite lim

x!0

p

3

1 + ↵x p

³

1 + 2x x

³

log(1 + x) + tan p

x al variare di ↵ 2 R. Osserviamo che per x ! 0 risulta

log(1 + x) + tan p

x = x + o(x) + p

x + o( p

x) = p

x + o( p x) e

p

3

1 + ↵x ^p

³

1 + 2x x

³

= 1 +

^↵₃

x + o(x) (1 +

¹₃

(2x x

³

) + o(2x x

³

))

=

¹₃

(↵ 2)x + o(x) dato che x

³

= o(x) e o(2x x

³

) = o(x + o(x)) = o(x).

Ne concludiamo che per x ! 0 p

3

1 + ↵x p

³

1 + 2x x

³

log(1 + x) + tan p

x =

1

3

(↵ 2)x + o(x) p x + o( p

x) ⇠ 8 <

:

1 3(↵ 2)x

px

se ↵ 6= 2

o(x)p

x

se ↵ = 2 Poich´e

^o(x)p

x

=

^o(x)_x

·

^p^x_x

! 0 per definizione di “o” piccolo, possiamo concludere che

x

lim

!0

p

3

1 + ↵x p

³

1 + 2x x

³

log(1 + x) + tan p

x = 0

per ogni ↵ 2 R.

10. Anche per calcolare il limite della successione a

_n

= n

²

^Ä sin( p

1 + n

²

n) log(1 +

_n¹2

) ^ä per n ! +1 possiamo usare il precedente metodo. Osserviamo infatti che essendo

_n¹2

! 0 per n ! +1 abbiamo

log(1 +

_n¹₂

) =

_n¹₂

+ o(

_n¹₂

) e che

p 1 + n

²

n = n( ^q

_n¹2

+ 1 1) = n(1 +

_2n¹2

+ o(

_n¹2

) 1) = n(

_2n¹2

+ o(

_n¹2

)) =

_2n¹

+ o(

_n¹

)

(6)

sin( ^p 1 + n

²

n) ⇠ ^p 1 + n

²

n ⇠

_2n¹

che possiamo riscrivere come

sin( ^p 1 + n

²

n) =

_2n¹

+ o(

_n¹

).

Pertanto per n ! +1 risulta

a

_n

= n

²

^Ä sin( ^p 1 + n

²

n) log(1 +

_n¹2

) ^ä = n

²

^Ä

_2n¹

+ o(

_n¹

)

_n¹2

+ o(

_n¹2

) ^ä

= n

²

^Ä

_2n¹

+ o(

_n¹

) ^ä =

ⁿ₂

+ o(n) ⇠

ⁿ₂

e quindi a

_n

= n

²

^Ä sin( p

1 + n

²

n) log(1 +

_n¹2

) ^ä ! +1.

ATTIVIT `A 5 Determinare l’ordine di inﬁnitesimo per x ! 0 delle seguenti funzioni⇤

ATTIVIT ` A 5

Determinare l’ordine di infinitesimo per x ! 0 delle seguenti funzioni

1. f (x) = log(1 x)(e

)

2. f (x) = sin x cosh x p xe

3. f

(x) = cosh

x p

1 x

al variare di ↵ 2 R nota: possiamo scrivere cosh

x = ((cosh x 1) + 1)

Data f (x) funzione infinitesima di ordine 2 per x ! 0, stabilire se i seguenti limiti risultano finiti non nulli, nulli o infiniti.

4. lim

f (x) cos(2x) 1 5. lim

f (x) sinh p

x sin x 6. lim

p

1 + 6x

e

f (x)

Utilizzando il simbolo “o piccolo”, calcolare i seguenti limiti 7. lim

log(1 + 2x) sinh

x x sin p

x + tan x 8. lim

p

1 x

+ e

2 x log(cosh x) 9. lim

p

1 + ↵x p

1 + 2x x

log(1 + x) + tan p

x al variare di ↵ 2 R 10. lim

n

Ä sin( p 1 + n

n) log(1 +

) ä

⇤ Ricorda: una funzione f(x) ha ordine di infinitesimo b > 0 per x ! 0 se esiste ` 6= 0 tale che

lim f (x)

|x|

= ` , f (x) ⇠ `|x|

per x ! 0 , f (x) = ` |x|

+ o( |x|

) per x ! 0

! 1 sin y ⇠ y sin y = y + o(y)

!

1 cos y ⇠

cos y = 1

+ o(y

)

! 1 tan y ⇠ y tan y = y + o(y)

! 1 e

1 ⇠ y e

= 1 + y + o(y)

! 1 log(1 + y) ⇠ y log(1 + y) = y + o(y)

! ↵ (1 + y)

1 ⇠ ↵y (1 + y)

= 1 + ↵y + o(y)

! 1 sinh y ⇠ y sinh y = y + o(y)

!

cosh y 1 ⇠

cosh y = 1 +

+ o(y

) e che valgono le seguenti propriet` a

• o(f(x)) ± o(f(x)) = o(f(x))

• k · o(f(x)) = o(k · f(x)) = o(f(x))

• g(x) · o(f(x)) = o(g(x) · f(x))

• o(g(x)) · o(f(x)) = o(g(x) · f(x))

• o(f(x) + o(f(x)) = o(f(x))

• o(o(f(x))) = o(f(x))

• g(x) ⇠ f(x) se e solo se g(x) = f(x) + o(f(x))

• Principio di cancellazione dei termini trascurabili: lim

= lim

RISOLUZIONE

1. Per determinare l’ordine di infinitesimo di f (x) = log(1 x)(e

) per x ! 0 osserviamo che, essendo sin x ! 0 per x ! 0, dal limite notevole e

= 1 + y + o(y) per y ! 0 e dalle propriet` a degli “o” piccoli otteniamo

e

= 1 + sin x + o(sin x) = 1 + (x + o(x)) + o(x + o(x)) = 1 + x + o(x).

^Ä sin( ^p 1 + n

) ^ä

x ^p 1 x