f (I) `e un intervallo limitato

8. ESERCIZI sulle FUNZIONI CONTINUE

Provare di ciascuna delle seguenti a↵ermazioni se `e vera o falsa.

1. Sia I ⇢ R un intervallo limitato e sia f : I ! R una funzione continua. Allora A. f (I) `e un intervallo limitato.

B. per ogni [a, b]⇢ I risulta f([a, b]) ✓ [f(a), f(b)]

C. per ogni [a, b]⇢ I si ha [f(a), f(b)] ✓ f([a, b])

2. Se f (x) `e una funzione definita e continua in [a, b) tale che lim

x!b f (x) = `2 R, allora A. f (x) `e limitata in [a, b).

B. f (x) ammette minimo in [a, b).

C. esiste x0 2 [a, b) tale che f(x0) = ^{f (a)+`}₂ (difficile).

Stabilire per quali valori di ↵2 R le seguenti funzioni risultano continue nel loro dominio

3. f_↵(x) =

(_{cosh x 1}

x² per x > 0 cos x + ↵ per x 0

4. f↵(x) =

(e ^x2 cosp x

x per x > 0

↵ cosh x per x 0

5. f_↵(x) =

(e^{↵ 1x} se x > 0 x + ↵ se x 0

6. f_↵(x) =

(_log(1+x2)+x sin ↵x

x² per x > 0 p3

1 + x per x 0

7. f↵(x) =

(_sin2(↵x) sinh(x²)

x² se x > 0 p1 + x 1 se x 0

8. f_↵(x) = 8>

<

>:

x^↵(1 cos x) se x > 0

↵ se x = 0

arctan x

2x se x < 0

. Risolvere gli esercizi 1-20 del libro di testo

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