Scritto d’esame di Analisi Matematica
Pisa, 15 Gennaio 2000
1. Dire se esiste, ed in caso affermativo calcolare, il
x→0lim
sin x4− x4 (arctan x − x)4.
2. Determinare, al variare del parametro λ ∈ R, il numero di soluzioni dell’equazione 2x2 = λe−3x + x.
3. Consideriamo la successione definita per ricorrenza da an+1= ane−(an+1), a0 = α.
(a) Nel caso particolare α = 2000, studiare il comportamento della successione.
(b) Sempre nel caso α = 2000, studiare il comportamento della serie
∞
X
n=0
an.
(c) Studiare l’esistenza e l’unicit`a di un valore α ∈ R per cui si abbia che a2000 = 1/2000.
4. Sia
Ω = (x, y) ∈ R2 : π ≤ x ≤ 2π, 0 ≤ y ≤ | sin x| . (a) Calcolare l’area di Ω.
(b) Calcolare
Z
Ω
|x cos x| dx dy.
(c) Calcolare il volume dei due solidi di rotazione ottenuti ruotando Ω, rispet- tivamente, attorno all’asse x e attorno all’asse y.
Scritto d’esame di Analisi Matematica
Pisa, 3 Febbraio 2000
1. Dire se esiste, ed in caso affermativo calcolare, il
x→0lim
arctan(x + 2x3) − x x3+ sin x4 . 2. Calcolare estremo inferiore e superiore dell’insieme
A = n2− 2n + 6
n2+ 3 : n ∈ N, n ≥ 2
.
3. Consideriamo la successione definita per ricorrenza da
an+1 =r a3 n
n + 1, a1 = α.
(a) Nel caso particolare α = 30, dimostrare che an `e limitata.
(b) Sempre nel caso α = 30, studiare il comportamento della successione.
(c) Studiare l’esistenza e l’unicit`a di un valore α ∈ R per cui si abbia che a2000 = 2000.
4. Consideriamo l’equazione differenziale
y00+ y0 = e−x.
(a) Trovare la soluzione che soddisfa le condizioni y(0) = 0, y0(0) = 0.
(b) Trovare (se ne esistono) le soluzioni che soddisfano la condizione Z +∞
0
y(x) dx = 46.
Scritto d’esame Telecomunicazioni 2000 2
Scritto d’esame di Analisi Matematica
Pisa, 17 Febbraio 2000
1. Dire se esiste, ed in caso affermativo calcolare, il
n→+∞lim
(n + 2)n− (n − 2)n (n + 1)n− (n − 1)n.
2. Studiare, al variare del parametro λ ∈ R, il numero di soluzioni dell’equazione x + λ√
x λx −√
x = 1.
3. Studiare, al variare del parametro α ∈ R, il comportamento della serie
∞
X
n=1
e1/n2 − cos 1 n
α
.
4. Siano
f (x, y) = |x − y|, D =(x, y) ∈ R2 : x2+ y2 ≤ 1 .
(a) Determinare il massimo ed il minimo di f in D, e trovare i punti di massimo/minimo.
(b) Calcolare
Z
D
f (x, y) dx dy.
Scritto d’esame di Analisi Matematica
Pisa, 3 Giugno 2000
1. Dire se esiste, ed in caso affermativo calcolare, il
x→0lim
log(1 + x2) − x sin x 1 + sin x4 − cos x2 . 2. Consideriamo la funzione f (x) = x2− 2x4+ x6.
(a) Calcolare (se esistono) il massimo ed il minimo di f nell’intervallo [0, 1/2], determinando anche gli eventuali punti di massimo e minimo.
(b) Stessa domanda nell’intervallo [0, 1].
(c) Studiare il comportamento della serie
∞
X
n=1
f 1
n
α
al variare del parametro α ∈ R.
3. Consideriamo la successione definita per ricorrenza da an+1= a4n+ a5n, a0 = α.
(a) Studiare il comportamento della successione nel caso particolare α = 1.
(b) Studiare il comportamento della successione nel caso particolare α = 1/2.
(c) Nel caso particolare α = 1/2, studiare il comportamento della successione {an· n!}.
4. Siano
f (x, y) = (x + y)e
√
x2+y2
, D =(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x2+ y2 ≤ 4, 0 ≤ y ≤ x . Calcolare
Z
D
f (x, y) dx dy.
Scritto d’esame Telecomunicazioni 2000 4
Scritto d’esame di Analisi Matematica
Pisa, 9 Settembre 2000
1. Dire se esiste, ed in caso affermativo calcolare, il lim
x→0+
cos√
x − cosh√ x + x log(1 + x3) .
2. Studiare, al variare del parametro λ ∈ R, il numero di soluzioni dell’equazione arctan
x2 x − 2
= λ.
Calcolare quindi l’estremo superiore dell’insieme costituito dai λ per cui l’equazione ammette esattamente due soluzioni reali x1, x2, tali che |x1− x2| < 3.
3. Calcolare i seguenti integrali Z 2
0
|x − 1|e−xdx,
Z +∞
0
|x − 1|e−xdx.
4. Siano
f (x, y) = y2− x2− 4y, D =(x, y) ∈ R2 : x2+ y2 ≤ 9 .
(a) Calcolare (se esistono) il massimo ed il minimo di f in D, determinando anche gli eventuali punti di massimo e minimo.
(b) Stessa domanda per la funzione |f (x, y)|.
Scritto d’esame di Analisi Matematica
Pisa, 23 Settembre 2000
1. Dire se esiste, ed in caso affermativo calcolare, il
n→+∞lim
1
n + 1− sin 1 n
n2+ sin(n + 1)2 .
2. Consideriamo la funzione f (x) = x sin x + cos x.
(a) Calcolare massimo e minimo di f nell’intervallo [−1, π], determinando anche i punti di massimo e di minimo.
(b) Determinare quanti sono i valori x ∈ [0, 4π] tali che f (x) = 2.
(c) Dimostrare che l’insieme
x ≥ 0 : f (x) ≥ x + 1 2000
`e non vuoto e limitato.
3. Consideriamo la successione definita per ricorrenza da an+1= an+ n
2n + 1, a0 = α.
(a) Studiare il comportamento della successione al variare del parametro α ∈ R.
(b) Nel caso particolare α = 2000, studiare il comportamento della serie
∞
X
n=0
[an]n.
4. Sia D = {(x, y) ∈ R2 : x2+ y2 ≤ 1}. Calcolare Z
D
(x + 3y2) dx dy,
Z
D
(|x| + 3y2) dx dy.
Scritto d’esame Telecomunicazioni 2000 6
