DuepuntimaterialiP
1 eP
2
,diugualmassam,sonovincolatiamuoversisullacirconferenza
di centro l'originee raggio R nel piano verticaleO (x;z). Sia A ilpunto piu'alto dove la
circonferenza incontra l'asse z. Sui due punti,oltre alla forza p eso, agiscono tre molledi
ugual costante elastica c > 0, che collegano i due punti P
1 e P
2
con il punto A e tra di
loro, risp ettivamente(vedi gura).
1. Scriverel'energiacinetica T delsistema;
2. scriverel'energia p otenzialeV delsistema;
3. scriverele equazionidi Lagrange;
4. integrareparzialmenteleequazionidiLagrangericavandolaconservazionedell'energia;
5. calcolarele p osizionidi equilibrio;
6. studiarela stabilita'dellep osizioni diequilibrio trovate.
Ilsistema ha due gradi di lib erta'.
Si scelgano comeco ordinate Lagrangiane gli angoli
1 e
2
che ivettori P
1
O e P
2 O
formano con l'asse x, risp ettivamente(vedi gura). Risultaallora:
P
1
O = R(
^
icos
1 +
^
ksin
1
) (1)
P
2
O = R(
^
icos
2 +
^
ksin
2
) (2)
p er ivettori p osizione,
v
1
= R
_
1 (
^
isin
1 +
^
kcos
1 )
v
2
= R
_
2 (
^
isin
2 +
^
kcos
2 )
p er levelo cita' e
a
1
= R
1 (
^
isin
1 +
^
kcos
1
) R
_
1 2
(
^
icos
1 +
^
ksin
1 )
a
2
= R
2 (
^
isin
2 +
^
kcos
2
) R
_
2 2
(
^
icos
2 +
^
ksin
2 )
p er leaccelerazioni.
1) L'energiacineticadelsistema e' data da:
T = 1
2 mv
2
1 +
1
2 mv
2
2
Siccome i due punti si muovono di moto circolare, abbiamo che v
1
= R
1 e v
2
= R
2 ,
cosi' che
T = 1
2 mR
2
( _
1 2
+ _
2 2
) (3)
2) L'energiap otenzialee' data da:
V =mgz
1
+mgz
2 +
1
2 c(AP
1 2
+AP
2 2
+P
1 P
2 2
):
Dalle equazioni(1) e(2) abbiamo
z
1
= R sin
1
z
2
= R sin
2 :
Usando il Teorema diCarnot (vedi gura), inoltre,
AP
1 2
= 2R 2
(1 cos (
2
1
))=2R 2
(1 sin
1 )
AP
2 2
= 2R 2
(1 cos (
2
2
))=2R 2
(1 sin
2 )
P
1 P
2 2
= 2R 2
(1 cos (
2
1 )):
L'energiap otenziale diventa dunque:
V =mgR(sin
1
+sin
2 )+
1
2 c(2R
2
)(3 sin
1
sin
2
cos (
2
1 ))
che,eliminandole costanti e raggruppando itermini,diventa
V =R(mg cR)(sin
1
+sin
2
) cR 2
cos(
2
1
) (4)
L= 1
2 mR
2
( _
1 2
+ _
2 2
)+R(cR mg)(sin
1
+sin
2
)+cR 2
cos(
2
1 ))
e lesue derivate sono:
@L
@
1
= R(cR mg)cos
1 + cR
2
sin(
2
1 )
@L
@ _
1
= mR
2
_
1
@L
@
2
= R(cR mg)cos
2 cR
2
sin(
2
1 )
@L
@ _
2
= mR
2
_
2 :
Le equazionidi Lagrange sono dunque:
mR 2
1
+R(mg cR) cos
1 cR
2
sin(
2
1
)=0 (5)
mR 2
2
+R(mg cR) cos
2 + cR
2
sin(
2
1
)=0 (6)
4) Moltiplicando(?? ) e(?? ) risp ettivamentep er _
1 e p er
_
2
abbiamo:
mR 2
1 _
1
+R(mg cR) _
1 cos
1 cR
2
_
1 sin(
2
1 )=0
mR 2
2 _
2
+R(mg cR) _
2 cos
2 + cR
2
_
2 sin(
2
1 )=0:
Sommando ledue equazioniotteniamo:
mR 2
(
1 _
1 +
2 _
2
)+R(mg cR)( _
1 cos
1 +
_
2 )cos
2 +cR
2
( _
2 _
1 )sin(
2
1 )=0
che,integrata risp etto al temp o,o re:
d
dt 8
<
: mR
2 0
@ _
1 2
2 +
_
2 2
2 1
A
+R(mg cR)(sin
1
+sin
2 ) cR
2
cos(
2
1 )
9
=
;
=0
totale delsistema,E =T +V.
5) Calcoliamole derivate primedell'energia p otenziale:
@V
@
1
= R(mg cR)cos
1 cR
2
sin(
2
1
) (7)
@V
@
2
= R(mg cR)cos
2 +cR
2
sin(
2
1
) (8)
Le con gurazioni diequilibrio siottengono uguagliando a zero le(?? ) e (?? ):
(
R(mg cR)cos
1 cR
2
sin(
2
1 )=0
R(mg cR)cos
2 +cR
2
sin(
2
1 )=0
(9)
Sommando ledue equazionidelsistema (??) siottiene
R(mg cR)(cos
1
+cos
2
)=0 (10)
lecuisoluzionivannop oisostituiteinunadelledueequazionidelsistema(?? )p erottenere
lesoluzioni complete. L'equazione(?? )puo' essere so ddisfatta da (A) mg cR=0o da
(B) cos
1
+cos
2
=0.
Esaminiamoprima ilcaso (A).Con mg=cR le equazionidelsistema (?? ) siriducono a
sin(
2
1 )=0;
ovvero
2
=
1
oppure
2
= +
1
. Otteniamo p ercio' due famigliedi con gurazioni di
equilibrio,
1
=(
1
;
1 ) e
2
=(
1
;+
1
) con
1
arbitrario.
Esaminiamoora il caso (B). Dall'equazionecos
1
+cos
2
=0otteniamo che
(B1)
2
=
1
oppure (B2)
2
=+
1 .
Esaminiamoprimail caso (B1). Sostituendo
2
=
1
nellaprima delle(?? )abbiamo:
R(mg cR)cos
1 cR
2
sin( 2
1 )=0
(mg cR)cos
1
cRsin(2
1 )=0
(mg cR)cos
1
2cRsin
1 cos
1
=0
cos
1
(mg cR 2cRsin
1 )=0:
1
(B12) mg cR+2cRsin
1
=0.
(B11)
1
= =2, oppure
1
= 3=2. Nel primo caso
2
= =2, nel secondo
2
= =2
ovvero
2
= 3=2. Le nuove con gurazioni di equilibrio sono dunque
3
= (=2;=2) e
4
=(3=2;3=2).
(B12)sin
1
=(cR mg)=(2cR),cheesistep erjcR mgj=(2cR)1,oanche(dop oqualche
passaggio) cR> mg=3. Sia
0
= sin 1
(cR mg)=(2cR) appartenente al I quadrante (se
cR mg >0) oalIVquadrante (secR mg<0). Abbiamoallora
1
=
0 e
1
=
0 ,
che danno
2
=
0 e
2
=
0
, risp ettivamente. Le con gurazioni di equilibrio che
corrisp ondono a questesoluzionisono
5
=(
0
;
0 ) e
6
=(
0
;
0 ).
Esaminiamoora il caso (B2). Sostituendo
2
=+
1
nella prima delle(?? ) abbiamo:
R(mg cR)cos
1 cR
2
sin =0
ovvero cos
1
= 0, vale a dire
1
= =2 oppure
1
= 3=2, che danno
2
= 3=2 e
2
=5=2,ovvero
2
==2risp ettivamente. Lecorrisp ondenticon gurazionidiequilibrio
sono dunque
7
=(=2;3=2) e
8
=(3=2;=2).
Riassumendo, abbiamotrovato otto con gurazioni diequilibrio,
1
= (
1
;
1 );
1
arbitrario,
2
= (
1
;+
1 );
1
arbitrario,
3
= (=2;=2)
4
= (3=2;3=2)
5
= (
0
;
0 )
6
= (
0
;
0 )
7
= (=2;3=2)
8
= (3=2;=2)
Le con gurazioni
1 e
2
rappresentano due famiglie ad un parametro di equilibri ed
esistono nelcaso incuimg =cR. Lecon gurazioni
5 e
6
esistono solo secR>mg=3 e
con
0
=sin (cR mg)=(2cR) (determinazionedelI o delIVquadrante).
6) Calcoliamole derivate secondedell'energia p otenziale:
V
11
@ 2
V
@
2
1
=R(cR mg)sin
1 +cR
2
cos(
2
1
) (11)
V
22
@ 2
V
@
2
2
=R(cR mg)sin
2 +cR
2
cos(
2
1
) (12)
V
12
@ 2
V
@
1
2
= cR 2
cos(
2
1
): (13)
La stabilita' delle otto con gurazioni di equilibrio trovate discende dallo studio delle
matrici Hessiane corrisp ondenti aciascun equilibrio.
Per
1
(ricordiamochecR=mginquestocaso)abbiamoV
11 (
1 )=V
22 (
1
)= V
12 (
1 )=
cR 2
e lamatrice Hessianae'
H
1
=H(
1 )=
cR 2
cR 2
cR 2
cR 2
!
con det(H
1
)=0,e quindi
1
non e'stabile.
Per
2
(anchein questo caso cR=mg)abbiamo V
11 (
2 )=V
22 (
2
)= V
12 (
2
) = cR 2
.
La matriceHessiana e'
H
2
=H(
2 )=
cR 2
cR 2
cR 2
cR 2
!
Gli elementidiagonali sono negativi e det(H
2
)=0; quindianche
2
non e' stabile.
Per
3
abbiamoV
11 (
3 )=V
22 (
3
)=2cR 2
mgReV
12 (
3
)= cR 2
. La matriceHessiana
e'
H
3
=H(
3 )=
2cR 2
mgR cR
2
cR 2
2cR 2
mgR
!
con det(H
3
)= (2cR 2
mgR) 2
c 2
R 4
. La con gurazione di equilibrio e' dunque stabile
se
(
2cR 2
mgR >0
(2cR 2
mgR) 2
c 2
R 4
>0
(
2cR 2
mgR >0
2cR 2
mgR >cR 2
3
Per
4
abbiamoV
11 (
4 )=V
22 (
4
)=mgR e V
12 (
4
)= cR 2
. La matrice Hessianae'
H
4
=H(
4 )=
mgR cR
2
cR 2
mgR
!
con det(H
4
) = (mgR) 2
c 2
R 4
. La con gurazione di equilibrio e' dunque stabile se
(mgR) 2
c 2
R 4
>0, ovvero mg>cR.
Per
5
abbiamo
V
11 (
5
) = R(cR mg) sin
0 +cR
2
cos( 2
0 )=
= R(cR mg) sin
0 cR
2
cos (2
0 )=V
22 (
5 )
V
12 (
5
) = cR
2
cos ( 2
0 )=
= cR 2
cos(2
0 )
e lamatrice Hessiana e'
H
5
=H(
5 )=
R(cR mg) sin
0 cR
2
cos(2
0
) cR
2
cos(2
0 )
cR 2
cos(2
0
) R(cR mg) sin
0 cR
2
cos (2
0 )
!
con determinante det(H
5
) = [R(cR mg) sin
0 cR
2
cos(2
0 )]
2
c 2
R 4
cos 2
(2
0 ). La
con gurazione di equilibrioe' dunque stabilese
(
R(cR mg)sin
0 cR
2
cos (2
0
) >0
[R(cR mg) sin
0 cR
2
cos(2
0 )]
2
c 2
R 4
cos 2
(2
0 ) >0
ovvero
(
R(cR mg) sin
0 cR
2
cos (2
0
) >0
R 2
(cR mg) 2
sin 2
0
2cR 3
(cR mg) cos(2
0 )sin
0
>0
Sostituendo cR mg=2cRsin
0
,il sistema siriduce a
(
4sin 2
0
1 >0
3sin 4
0 sin
2
0
>0
la cui soluzione e' sin 2
0
>1=3, ovvero, dop o qualche passaggio, cR <mg p
3=(
p
3+2).
Aggiungendo la condizione di esistenza della con gurazione di equilibrio
5
, otteniamo
mg=3<cR<mg p
3=(
p
3+2) p erla stabilita'di
5 .
Gli elementidella matrice Hessianap er
6
sono glistessi di
5
equindi valgono lestesse
considerazioni.
7
V
11 (
7
) = R(cR mg) cR 2
= mgR
V
22 (
7
) = R(mg cR) cR 2
=mgR 2cR 2
V
12 (
7
) = cR 2
e lamatrice Hessiana e'
H
7
=H(
7 )=
mgR cR
2
cR 2
mgR 2cR
2
!
Essendo uno degli elementisulla diagonale negativo, la con gurazione di equilibrio
7 e'
instabile.
Per
8
abbiamo
V
11 (
8
) = R(mg cR) cR 2
=mgR 2cR 2
V
22 (
8
) = R(cR mg) cR 2
= mgR
V
12 (
8
) = cR 2
e lamatrice Hessiana e'
H
8
=H(
8 )=
mgR 2cR
2
cR 2
cR 2
mgR
!
Essendouno degli elementisulla diagonale negativo,anchela con gurazione diequilibrio
8
e' instabile.
![Definition 1 Dato p ∈ [0, 1], una v.a. discreta X che assume solo i valori 0 ed 1, con P (X = 1) = p e P (X = 0) = 1 − p, si dice di Bernoulli di parametro p.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)