Scala appoggiata al muro
Figure 1:
Una scala omogenea di lunghezza l e massa m `e appoggiata ad una parete sulla quale scorre senza attrito. Non vi `e attrito neanche fra la scala ed il pavimento.
Si determini il moto della scala e la reazione dei punti di appoggio in funzione dell’angolo θ. Esiste un angolo al quale la scala si stacca dalla parete?
Soluzione
Il sistema `e descritto da un grado di libert`a che possiamo prendere come l’angolo θ formato dalla scala con il pavimento.
Utilizziamo la conservazione dell’energia per trovare l’equazione del moto.
Ad un generico angolo θ risulta:
E = 1
2mvG2 +1
2IGθ˙2+ mgl
2sin θ (1)
1
Per scrivere l’energia `e necessario trovare la velocit`a con cui si muove il centro di massa. Scriviamo prima le sue componenti e poi deriviamo:
xG= l 2cos θ yG= l
2sin θ
(2)
Si noti che il centro di massa percorre una traiettoria circolare di raggio l/2.
˙
xG= −l 2
θ sin θ˙
˙ yG= l
2θ cos θ˙
(3)
Di conseguenza:
vG= l 2 θ˙ e
E = 1
8ml2θ˙2+ 1
24ml2θ˙2+ 1
2mgl sin θ = 1
6ml2θ˙2+1
2mgl sin θ
All’istante iniziale la scala `e in posizione verticale, per cui sostituisco E = mgl/2 nell’equazione precedente ottenendo:
θ˙2 = 3g
l (1 − sin θ) (4)
Derivando e semplificando il termine ˙θ, si ottiene la accelerazione:
theta = −¨ 3g
2l cos θ (5)
Per trovare le reazioni vincolari, scriviamo la prima equazione cardinale nella componenti x e y:
RB= m¨xG
RA− mg = m¨yG (6)
Le componenti dell’accelerazione del centro di massa possono essere espresse in funzione dell’angolo θ:
¨
xG= −l 2
θ sin θ −¨ l 2
θ˙2cos θ
¨ yG = l
2
θ cos θ −¨ l 2
θ˙2sin θ
(7)
Sostituendo ˙θ e theta trovate in precedenza e inserendo nella prima¨ equazione cardinale si ricavano le reazioni vincolari in funzione di θ:
RB = 3
4mg cos θ(3 sin θ − 2) RA= 1
4mg(1 − 3 sin θ)2
(8)
Si vede che per sin θ = 2/3 la reazione vincolare RB si annulla e la scala si stacca dalla parete.
2
