Anno Accademico 2006/2007
Fisica Matematica (A/L)
Nome:.................................
N. matr.:................................. Ancona,20luglio 2007
1.
E datoil camp odi forze
F(x;y;z)= 1
x
^
j:
Si chiede di:
(i) Calcolarne il rotore;
(ii) calcolarne la circuitazione sulla circonferenza di centrol'origine e raggio
unitario sulpiano (x;y);
(iii) discutere la conservativita o meno delcamp o, sulla basedei risultati dei
due puntiprecedenti e lanaturadeldominio.
2. Un'asta materiale p esante AB di massa m e lunghezza l si muove nel piano
verticale O (x;y). L'estremo A scorre senza attrito sull'asse x, mentre l'asta
ruotalib eramente attorno ad A. Oltre alla forza p eso, sull'asta agiscono due
molle di ugualcostanteelasticak >0 che collegano l'origine O con l'estremo
A dell'astae l'estremo B con lasuaproiezione H sull'asse x (vedi gura).
(i) Determinareilnumerodigradidilib ertaescegliereleco ordinateLagran-
giane;
(ii) scrivereleequazionidelmotoedesplicitarelereazionivincolariutilizzan-
dei versori di unsistema solidale.
(ii) Un cerchio di raggio R si muove in un sistema di riferimento sso nello
spazio O (x;y;z);il cerchio ruota attornoal suo diametro AB che a sua
voltarimanesempreortogonalealpiano(x;y),conl'estremoAvincolato
a muoversi sulla circonferenza di centro O e raggio R del piano (x;y).
Dop o aver determinato il numero dei gradi di lib erta ed intro dotto le
co ordinate lagrangiane ed un opp ortuno sistema di riferimento solidale,
calcolare le comp onenti della velo cita angolare nei due sistemi di rife-
rimento in funzione delle co ordinate lagrangiane scelte e delle velo cita
(generalizzate).
x
y
O R
A B z
4. UnsistemamaterialeecostituitodadueasteomogeneeAB eBC,incernierate
inB,risp ettivamentedimassaM edmelunghezzaLedl ,vincolateamuoversi
in mo dotale che l'estremoA dell'asta AB scorrasenza attritolungo l'asse x,
l'angolo dell'asta AB con l'asse x sia sso e l'astaBC sia lib era di ruotare
attornoal suoestremoB.
m,l A
B M,L
C
x y
ψ
(i) Determinare il numero di gradi di lib erta ed intro durre le co ordinate
lagrangiane;
(ii) scriverel'energiacinetica delsistemain funzione delleco ordinate lagran-
