Compito di Meccanica Razionale
Prof. F. Bagarello 11 marzo 2011
Lo studente risolva almeno due dei seguenti quesiti:
1. Considerare un punto materiale descritto da una lagrangiana dipendente dal tempo nel modo seguente: L = eαt/m(1
2m( ˙x2+ ˙y2+ ˙z2)− V (x, y, z))
, α > 0. Ottenere le equazioni di Eulero-Lagrange e commentare. In particolare dedurre il significato fisico delle equazioni ottenute (senza questo commento l’esercizio sar`a considerato NON completato), e stabilire se allo stesso risultato si pu`o pervenire utilizzando una lagrangiana che non dipenda esplicitamente dal tempo. Stabilire inoltre se il sistema ammette quantit`a conservate.
2. Sia ⃗F = (f (x, y), g(z), h(y)) la forza agente su un sistema materialeS. Trovare la forma pi`u generale di f, g, h perch`e ⃗F sia conservativa.
3. Considerare tre dischi uguali di raggio R e peso P , disposti come in figura sul piano verticale (O; x, y). Tutte le superfici sono liscie. I baricentri dei dischi in basso, G1 e G2, sono collegati da una molla di lunghezza a riposo nulla e costante elastica k > 0. Determinare il valore di k perch`e la configurazione in figura sia di equilibrio.
- 6
x y
O
G1 A G2
A@
1
