Una particella di massa m= 0.3 kg viene tirata con una forza F lungo un piano inclinato di 60°, liscio, e sale con accelerazione costante pari a 1 m/sec

FISICA per SCIENZE BIOLOGICHE A.A. 2012/2013 Compito generale – 8 Luglio 2013

1)

Una particella di massa m= 0.3 kg viene tirata

con una forza F lungo un piano inclinato di 60°, liscio, e sale con accelerazione costante pari a 1 m/sec

²

.

a) Si calcoli la forza F applicata e la velocità nel punto B che dista 3 m dal punto A ( A è alla base del piano inclinato), dove ha iniziato la salita con velocità nulla.

b) Sapendo che nel punto B viene lasciata libera di muoversi, si determini la quota del punto C del piano inclinato in cui si arresterà e la massima compressione della molla , di costante elastica K = 1000 N/m, che raggiungerà dopo essere discesa lungo il piano inclinato e aver percorso il tratto L= 1 m su un piano orizzontale liscio.

2)

Una cisterna cilindrica di altezza H = 1 m e raggio R = 1 m contiene acqua , fino ad un’altezza di 80 cm sopra cui galleggia uno strato di olio ( densità 0.8 g/cm

³

) di 20 cm ed è aperta in aria.

Sulla parete laterale della cisterna è presente un foro circolare di raggio r = 0,5 cm ad un’altezza h=

20 cm dal suolo, chiuso da un tappo. Si calcoli:

a) la velocità, in modulo direzione e verso, dello zampillo d’acqua all’uscita dal foro, qualora venga tolto il tappo .

b) il tempo impiegato a riempire un contenitore che ha volume 250 ml.

3)

Una particella A con carica positiva Q = 3.2 10

^-19

C è fissata in un punto O. Una seconda particella B, con carica negativa q = -3.2 10

^-19

C e massa m = 18.22 10

^-31

kg, si muove con velocità uniforme lungo una circonferenza di raggio R = 49 x 10

^-12

m con centro in O.

Si determini :

a) Il modulo della velocità della particella q;

b) L’energia cinetica, potenziale e totale del sistema delle due cariche.

[Nota: ε0 = 8.85 10^-12 C²/Nm² ]

4)

Due moli di un gas perfetto monoatomico compiono il ciclo A→B→C→A costituito dalle seguenti trasformazioni reversibili:

- A→B isocora con pA = 4 atm, VA = 3 litri e pB = pA/4;

- B→C espansione isobara;

- C→A compressione adiabatica.

a) Si rappresentino le tre trasformazioni in un diagramma (V, p), si calcoli il volume dello stato C e le temperature di A, B e C;

b) Si calcoli il calore scambiato durante il ciclo ed il lavoro svolto dal gas, specificandone il segno.

[Nota: 8.31 J/Kmole =0.082 l atm /K mol]

SCRIVERE IN MODO CHIARO. GIUSTIFICARE I PROCEDIMENTI. SOSTITUIRE I VALORI NUMERICI SOLO ALLA FINE.

NON SCORDARE LE UNITA` DI MISURA.

Testi, soluzioni ed esiti alle pagine: www2.fisica.unimi.it/bettega, www.mi.infn.it/~sleoni

B

A

F

C

SOLUZIONE ESERCIZIO MECCANICA

a) Scelgo l’asse x di un sistema d’assi ( x,y) parallelo al piano inclinato e diretto verso l’alto. . Indico con F la forza applicata per farla salire con accelerazione a e con FR la forza risultante. F è parallela al piano inclinato e diretta verso l’alto, si ha quindi : F- Px = FR= ma , dove Px è la componente della forza Peso parallela al piano inclinato ( diretta verso il basso), che ha modulo P_x = mg sen 60°. Inoltre FR ha modulo 0.3 N . Si ricava quindi F = FR + mgsen 60° e sostituendo i valori numerici si ottiene F = 2.85 N ( i), dove i è il versore dell’asse x.

La velocità della particella nel punto B si ottiene applicando al tratto AB il teorema lavoro della forza

risultante – variazione dell’energia cinetica . Si ha quindi (FR) (AB) =(1/2) m ( v_B ² - v_A ² ), dove FR = 0.3 N , AB = 3m e v_A = 0. Si ricava v_B= 2.5 m/s.

b) Da B in poi agisce solo P_x, applicando al tratto BC il teorema lavoro della forza risultante –variazione dell’energia cinetica, si ha : -mg sen 60° ( BC) = 0 - (1/2) m v_B², da cui si ricava (BC) = 0.35m.

Si ha quindi AC= 3.35m e la quota di C risulta : h_C = (AC) sen60° = 2.9 m. La velocità nel punto A alla base del piano, durante la discesa, si calcola applicando il teorema di conservazione dell’energia meccanica al tratto CA, sapendo che in C si ha solo energia potenziale U = mg hC, mentre in A solo energia cinetica. Si ha quindi mg h_C = (1/2) m v_A² da cui si ricavav_A = 7.5 m/s .

Applicando di nuovo il teorema di conservazione dell’energia meccanica al sistema molla+ particella, si ha la massima compressione x quando (1/2) m vA2 = (1/2) k x ², da cui si ottiene x= 0.13 m

SOLUZIONE ESERCIZIO FLUIDI

a) Supponendo l’acqua nella cisterna un fluido ideale in moto stazionario e irrotazionale, posso applicare il teorema di Bernoulli ai due punti A e B dell’acqua, dove A si trova all’interfaccia acqua-olio, mentre B in corrispondenza del forellino . Indicata con dH2O la densità dell’acqua e con dolio quella dell’olio , si ha : pA + dH2O g hA + (1/2 ) dH2O vA2

= pB + dH2O g hB + (1/2 ) dH2O vB 2, dove :

pA= patmo + doliog holio e pB= patmo. Poiché il raggio del forellino è molto minore di quello della cisterna , per l’equazione di continuità si può assumere con buona approssimazione vA =0. Sostituendo i valori numerici si ricava vB = 3.86 m/s.

b) La portata volumetrica Q dell’acqua che fluisce attraverso il forellino è Q= vB S, dove S è la sezione del forellino, e vale pertanto 303 ml/s. Per riempire il contenitore da 250 ml occorreranno 0.83s

SOLUZIONE ESERCIZIO ELETTROSTATICA

a) Nel moto circolare l'accelerazione centripeta ha la seguente espressione:

R a

_c

v

2

=

e la corrispondente forza che agisce sulla particella q è data da:

2 0 2

4 1

R Qq R

m v ma

_c

= πε

=

da cui si ricava la velocità v:

v = ( 1 4πε

₀

Qq R m )

^1/2

= (9 ×10

⁹

Nm

²

C

²

× 3.2 ×10

⁻¹⁹

3.2 ×10

⁻¹⁹

C

²

(49 ×10

⁻¹²

m) ×18.22 ×10

⁻³¹

kg )

^1/2

= 3.2 10

⁶

m / s

a) L’energia totale E

tot

del sistema è la somma dell’energia potenziale elettrostatica U e dell’energia cinetica K. Calcolo U, K e E

tot

, indicando con Q e q le cariche delle particelle in modulo:

K = 1 2 mv

²

= 1

2 ×18.22 ×10

⁻³¹

× (3.2 ×10

⁶

)

²

J = 0.93×10

⁻¹⁷

J U = − 1

4πε

₀

Qq

R

= −(9 ×10

⁹

) × 3.2 ×10

⁻¹⁹

3.2 ×10

⁻¹⁹

49 ×10

⁻¹²

J = −1.9 ×10

⁻¹⁷

J E

_tot

= K +U

= 0.93×10

⁻¹⁷

J −1.9 ×10

⁻¹⁷

J = −0.97 ×10

⁻¹⁷

J

SOLUZIONE ESERCIZIO TERMODINAMICA a)

Il volume dello stato C può essere calcolato utilizzando l’espressione pVγ = costante, con γ = 5/3:

pAV_Αγ

= pCVCγ V_Cγ

= pA/ p_C V_Αγ VC= (pA/ pC V_Αγ) (1/ γ)

= ( pA/ pC )(3/5) V_{Α =} = ( 4 )(3/5)

3 10^-3 m³ = 6.9 10^-3 m³ T_A = p_A V_A /nR = 72.2 K

TB = pB VB /nR = pA/4 VA /nR = TA/4= 18.1 K

TC = pC VC /nR = (1/4) pA VC /nR = (10⁵ x 6.9 10^-3)/(2x8.31) K = 41.5 K b) Il Lavoro compiuto dal gas nell’intero ciclo è

L_CICLO = Q _AB + Q _BC + Q _CA = nc_V ΔTAB + nc_p ΔTBC

= 2x8.31x(3/2 (18.1-72.2)+ 5/2 (41.5-18.1)) J = -376.4 J Il Lavoro è negativo in quanto subito dal gas.

QCICLO = LCICLO = -376.4 J

B

A

F p C

A V

V V_C

C A

B A B