Lezione 2 Metodi di rappresentazione

Lezione 2

Metodi di rappresentazione

Tipi e sistemi di proiezione

Disegno tecnico industriale Fabrizio Stefani

In questa lezione

• Metodi di rappresentazione

– le proiezioni

• Assonometrie

• Proiezioni ortogonali

Rappresentazione

• Problema: trasferire dimensioni e caratteristiche funzionali di oggetti 3D appartenenti al mondo reale (es.: componenti meccanici) su un

supporto 2D (es.: la carta, lo schermo del PC)

• Metodo utilizzato: le proiezioni

– Trasformano punti in un sistema di coordinate 3D in punti in un sistema di coordinate2D

– La proiezione di un oggetto 3D si ottiene tramite dei raggi di proiezione (proiettori) che partono da un

centro di proiezione, passano attraverso ciascun punto dell’oggetto, e intersecano un piano di

proiezione (quadro) generando la proiezione

Le proiezioni

Le proiezioni nel disegno tecnico

Raccomandata UNI 4819

Raccomandata UNI 4819

Assonom.

oblique

•Il presente diagramma a blocchi attua una classificazione lievemente diversa dal precedente in quanto classifica le assonometrie ortogonali come caso particolare di proiezioni ortogonali

•Anche se comunemente le proiezioni ortografiche vengono chiamate proiezioni ortogonali, secondo questa seconda classificazione ciò non è preciso, in quanto le proiezioni ortogonali comprendono le proiezioni

ortografiche e l’assonometria ortogonale.

In azzurro sono evidenziate le proiezioni utilizzate nel

disegno tecnico

Proiezioni prospettiche

• Uno o più centri di proiezione sono posti a distanza finita dall’oggetto da rappresentare (prospettiva centrale)

• I raggi di proiettanti sono divergenti (proiezioni coniche)

• Non utilizzate nel disegno tecnico perché

– Non è completa (facce nascoste)

– Non è univoca (scelta posizione centri)

– E’ troppo laboriosa rispetto al risultato ottenuto

• Ampiamente usate nel disegno architettonico

Proiezioni parallele

• Il centro di proiezione è all’infinito (punto

improprio) ovvero l’oggetto si rappresenta come apparirebbe ad un osservatore all’infinito

• I raggi di proiezione sono paralleli e sono anche dette proiezioni assonometriche o assonometrie

• Nonostante soddisfi le esigenze visive meno

delle prospettive, é utilizzata nel disegno tecnico perché:

– Consente di rispettare rapporti e dimensioni reali – E’ facile da eseguire

* In realtà le proiezioni parallele includono anche le rappresentazioni ortografiche, distinte dalle assonometrie

Assonometrie: riferimenti e definizioni

x, y, z terna di assi ortogonali solidali con l’oggetto (terna obiettiva)

x’, y’, z’ proiezioni di x, y, z

rispettivamente sul piano di proiezione

Rapporti di riduzione:

p=u’_x/u q=u’_y/u r=u’_z/u

|u_x|=|u_y|=|u_z|=u u_x, u_y, u_z unità di misura su x, y, z rispettivamente, tali che

u’_x, u’_y, u’_z unità assonometriche o ridotte proiezione di u_x, u_y, u_z

rispettivamente sul piano di proiezione

Assonometrie secondo il rapporto di riduzione

• Isometrica: le dimensioni lineari parallele a tutti e tre gli assi subiscono la stessa

riduzione (p=q=r)

• Dimetrica: solo due dimensioni subiscono la stessa riduzione, la terza è diversa

• Trimetrica: tutte e tre sono diverse

Proprietà delle assonometrie

• Il fatto che i raggi proiettanti siano paralleli conferisce le seguenti proprietà:

1. I lati e le superfici di un oggetto paralleli al quadro si proiettano su di esso in vera grandezza e forma,

qualunque sia l’angolo che la direzione dei raggi proiettanti forma con il quadro

2. Segmenti paralleli nello spazio si proiettano ancora paralleli sul quadro

3. Le grandezze delle proiezioni di superfici e segmenti paralleli tra loro, inclinati rispetto al quadro, sono

direttamente proporzionali alle grandezze dei segmenti e delle superfici proiettati

• In particolare le lunghezze dei segmenti

paralleli agli assi cartesiani vengono ridotti

secondo i rispettivi rapporti di riduzione

Proprietà delle assonometrie

Tipi di proiezioni parallele

Osservatore lontanissimo.

Sul quadro nero ho una

proiezione

ortogonale. Su quello rosso una obliqua

Tipi di proiezioni ortogonali

• Gli assi della terna obiettiva giacciono su 3 piani di riferimento ortogonali (le 3 facce adiacenti del cubetto in figura)

• Se si dispone uno dei 3 piani ortogonali di riferimento parallelamente al

piano di proiezione, si ottiene la doppia proiezione ortogonale o del Monge o proiezione ortogonale ortografica

• Se nessuno dei piani di riferimento è parallelo al piano di proiezione si ottiene la cosiddetta proiezione assonometrica o assonometria ortogonale

• Analogamente anche nelle proiezioni oblique, se uno dei piani di riferimento é parallelo al quadro si ottiene una proiezione particolare detta assonometria cavaliera

Proiezioni ortografiche e assonometriche

• Proiezioni ortogonali (ortografiche)

– Corrispondenza biunivoca tra elementi geometrici giacenti su piani paralleli al piano di proiezione e la loro rappresentazione

– Rappresentazione solo parziale, quindi occorrono più proiezioni ortogonali

• Proiezioni assonometriche (ortogonali e oblique)

– Mantengono il parallelismo ed i rapporti semplici – Distorsione degli angoli e delle curve

– Rappresentazione unica

Proiezione ortogonale

Proiezione assonometrica

Relazioni analitiche per assonometrie ortogonali

Poiché i raggi sono ortogonali al quadro π, i triangoli OO’B, OO’A e OO’C sono retti.

Ne consegue:

Inoltre, si può dimostrare:

(1)

(2)

Assonometrie ortogonali: isometrica

Nel caso dell’assonometria isometrica i rapporti di riduzione sono posti uguali a 1, pertanto:

u’x = u’y = u’z

Quindi per le equazioni (1) (slide precedente) la terna da proiettare è orientata in modo che:

α = β = γ

α, β, γ sono i direttori della retta OO’, per i cui coseni vale

Di conseguenza, per le due relazioni precedenti:

Infine usando le equazioni (2) :

Altre assonometrie ortogonali

Assonometrie ortogonali secondo normativa

Assonometrie oblique: cavaliera

• Nella cavaliera

– il quadro è posto

parallelamente ai due assi x e z, quindi si ha p=r=1 – i raggi proiettori investono

il quadro a 45°

• Da B esce un cono di infiniti raggi con

semiapertura 45°, quindi (*) occorre fissare α per determinare B’ e quindi la direzione y’

• Secondo normativa si preferisce α=45°

(*) Resta un grado di liberta, ovvero l'angolo α che i

segmenti perpendicolari al piano di proiezione (direzione y’) formano con l'orizzontale (direzione x=x’). Tale

angolo e solitamente di 30° o 45°

y’

x’ x’

Assonometria cavaliera: riduzioni

• B’ al variare di α descrive la

circonferenza sul quadro

• Poiché BB’’

forma con y un angolo di 45° si ha

BB’’=B’’B’

ovvero anche

q è unitario.

Assonometria cavaliera: riduzioni

• Perciò la

cavaliera teorica è

un’assonometria isometrica.

• All’atto pratico, per evitare un effetto ottico di allungamento si può porre q=0.5

Cavaliera teorica (isometrica)

α = 45°

p=q=r=1

Cavaliera pratica (dimetrica)

α = 45°

p=r=1 q=0.5

Altre assonometrie oblique: planimetrica o militare

• E’ una assonometria cavaliera (quadro parallelo a un piano riferimento) in cui gli assi x e y determinano il piano parallelo al quadro (p=q=1).

Altre assonometrie oblique: cabinet

• Le proiezioni cabinet hanno una direzione di proiezione che forma un angolo di atan(2) = 63.4° col piano di

proiezione

• In tal modo i segmenti perpendicolari al piano di

proiezione hanno una lunghezza dopo la proiezione pari a meta del vero

• Le proiezioni cabinet sono un filo più realistiche delle cavaliere, a causa dell'accorciamento dei segmenti

Assonometrie oblique secondo normativa

Proiezioni ortogonali di un punto

Proiezioni ortogonali di un

segmento

Proiezioni ortogonali di una figura

piana

Proiezioni ortogonali di un solido

Si noti che lo spigolo in vista è sotto perché il punto

improprio è a sinistra

dell’oggetto