– – Oscillazioni e stabilità dei fasci Oscillazioni e stabilità dei fasci

Lezione 3 Acceleratori

• • Lezione 3. ….. riassunto Lezione 3. ….. riassunto

– – Anelli di collisione Anelli di collisione

• Generalità e definizione della luminosità ( R=σ R= σ L L)

– – Oscillazioni e stabilità dei fasci Oscillazioni e stabilità dei fasci

• • Oscillazioni Oscillazioni longitudinali o di fase o di di sincrotrone

sincrotrone dovute alla radiofrequenza

• • Oscillazioni Oscillazioni trasversali o di betatrone. Sono betatrone causate dai campi magnetici.

• Piano di fase trasverso : Emittanza ed accettanza : Emittanza ed accettanza

Lezione 3

Lezione 3 Anelli di collisione Anelli di collisione

Anelli di accumulazione ( generalit Anelli di accumulazione ( generalità à ) )

In un Collider tutto funziona come in un sincrotrone, ma le particelle non

vengono estratte alla fine del ciclo, ma mantenute nell’anello (e⁺e^-, p-antip) o negli anelli ( pp ) e mandate a collidere l’una contro l’altra.

In un anello di collisione si guadagna moltissimo in energia ( siamo nel c.m.) anche se si perde in rate. [ luminosità minore]

Lezione 3

Lezione 3 Anelli di collisione Anelli di collisione

Energia

a

Acceleratore b

p_b=0

s=m_a²+m_b²+2E_am_b

~2E_am_b

a b

Anelli di collisione

|p_a|=|p_b| s=(E_a+E_b)²

0.5 5 10³

10⁵ 1

10 e⁺e^-

5 50 500 52

5200 5.4x10⁵ 10

100 1000 pp

E fascio (GeV) Collider E fascio (GeV)

Acceleratore s^½ (GeV)

Lezione 3

Lezione 3 Luminosit Luminosit à à

Un anello di collisione non è altro che un sincrotrone Î fasci in bunch.

Un bunch colpisce un altro bunch che si muove in senso opposto.

In questo caso più che di intensità del fascio (fasci) si parla di luminosità della macchina. La luminosità dipende anche dalla

geometria dei fasci e dalla loro densità.

La luminosità non è altro che il rate di interazioni per sezione d’urto unitaria.

Per chiarire il concetto consideriamo:

1) un fascio estratto da un acceleratore che colpisce una targhetta.

Lezione 3

Lezione 3 Luminosit Luminosit à à

1) Fascio su targhetta

Consideriamo un fascio di intensità n₁ particelle che colpisce una targhetta di lunghezza l e di densità di particelle n₂ Î

per ogni singola particella il numero di interazioni nella targhetta sarà

N=σ

x

essendo

σ

fascio).

Il rate è

R=(dN/dt)=

σ

xn

xn

xl

e combinando le caratteristiche della targhetta e del fascio:

R=

σ

xL

L = luminosità ed ha le dimensioni [cm^-2s^-1]

La luminosità non è altro che il rate di interazioni per sezione d’ urto unitaria.

Lezione 3

Lezione 3 Luminosit Luminosit à à

2) Collider

Nel caso di un collider invece:

ƒ Importano le dimensioni ed allineamento dei fasci.

ƒ Possiamo non essere nel c.m. (Hera, PEP2).

ƒ Le particelle (bunch) possono incrociarsi ad angoli ≠ 0.

Quale semplice esempio consideriamo un collider ad e+e- oppure protone

antiprotone. In questo caso i due fasci viaggiano nello stesso anello, in direzioni opposte, ma collidono in pochi punti, poiché sono tenuti separati al di fuori di questi punti.

Nel caso protone-antiprotone si possono tenere separati i due fasci con dei quadrupoli. Nel caso e=e- (LEP) i due fasci sono tenuti separati

elettrostaticamente.

+ ^{4 metri}

Lezione 3

Lezione 3 Luminosit Luminosit à à

Consideriamo 2 pacchetti in cui la densità di particelle per unità di area nel piano trasverso è dato da:

Cioè 2 distribuzioni gaussiane identiche e normalizzate ad un totale di n₁ ed n₂ particelle rispettivamente.











 +

−











 +

−

=

=

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2

2 1 2

1

2 2

y x

y x

x y

y x

x y

y x

n e ds

dn

n e ds

dn

σ σ

σ σ

σ πσ

σ

πσ

Lezione 3

Lezione 3 Luminosit Luminosit à à

Il numero di interazioni per ogni incrocio dei fasci si ottiene integrando su tutte le particelle del fascio 1 moltiplicato per la loro probabilità di interazione.

● Il numero di particelle del fascio 1 in un elemento di area dxdy è:

● la probabilità di interazione di una particella del fascio 1 che si trova in x,y è:

= al numero di particelle del fascio 2 che si trovano in un’area pari alla σ

( )

dn ^{x y}

x y

y x

⋅

=











 +

− ² ₂ ² ₂

2 1 2

1

, 2

σ πσ

( )

2

2 2 2 2

, 2 σ

σ πσ

σ

σ ⋅

= ^







 +

−

y x

x y

y x

n e y

x dn

Lezione 3

Lezione 3 Luminosit Luminosit à à

Il numero totale di interazioni per bunch e per incrocio sarà:

Infatti:

( ) ( )

y x x y

y x

y x

y x

n e n

dy e

n dx n

dxdy n e

y n x p y x dn N

x y

y x

σ σ πσ

σ σ σ π

σ σ σ π

σ σ

σ σ

4 4

, 4 ,

2 1 2 int

2 2

2 1 int

2 2 2

2 1 int

1 int

2 2 2

2

2 2 2 2

=

⋅

⋅

=

=

=

∫

∫

∫

∫

∞ +

∞

−

∞ − +

∞

−

−











 +

−

σ σ π

σ π

π ^σ

σ =

∫

∫

∞ − +

∞

−

− ²

2

2 2

2 2

2 2 1

x x

dxe dxe ^x

Lezione 3

Lezione 3 Luminosit Luminosit à à

Se abbiamo k pacchetti in ogni fascio ( 2k punti di incrocio ) e se f è la frequenza di rivoluzione il rate per incrocio è:

Oppure usando le correnti i

=n

ef ed i

=n

ef k f n L n

k f n L n

R

y x y x

σ πσ σ σ σ πσ

4 4

2 1 2 int int 1

=

⇒

⋅

=

⋅

=

2 2

1

4 kf e i

L i

y x

σ σ

= π

Lezione 3

Lezione 3 Luminosit Luminosit à à

• Esempio: paragone acceleratore-collider (stessa energia nel c.m. e stessa sezione d’urto di interazione (e.g. e.m. ~ 1µb)

• Acceleratore

< l >

n (s^-1)

n= densità del fascio incidente =10¹² q s^-1 ρ= densità della targhetta = 1gr/cm³

l= spessore della targhetta =1cm σ_int= σ_em = 1µb

A= numero di Avogadro = 6x10²³

1 5

int

= 6 × 10

⋅

⋅

⋅

⋅

= n l A s

R ρ σ

Lezione 3

Lezione 3 Luminosit Luminosit à à

• Collider

n₁ n₂

n

=n

= particelle per fascio

i

= i

=50 mA Î n

=n

= 3.3x10

q s

F= sezione trasversa dei fasci= 0.1x0.01 cm

B= numero di bunch = 1

f= frequenza di rotazione = 10

s

1 2 int

2 1 int

2

1

⋅ ≅ 100

⋅

⋅

= ⋅

⋅ ⋅

= ⋅ s

F e

f

i i F

f n

R n σ σ

Lezione 3

Lezione 3 Luminosit Luminosit à à

Osserviamo L ~ 10

cm

s

.

Luminosità tipiche di collider e

e

sono 10

÷10

LHC (pp) ha una luminosità di progetto di 10

Lezione 3 Oscillazioni e stabilit

Lezione 3 Oscillazioni e stabilità à dei fasci dei fasci

La presenza della radiofrequenza fa sί che le particelle si raggruppano in pacchetti (bunch).

In un acceleratore circolare si innestano inoltre, ogniqualvolta la particella passa nella cavità a RF con la fase Φ non giusta (ma comunque molto vicina a Φ

) delle oscillazioni di sincrotrone o oscillazioni longitudinali ( oscillazioni di fase o di energia).

Nel caso di piccoli movimenti si innescano delle oscillazioni identiche a quelle dell’oscillatore armonico e con frequenza proporzionale ( in

genere minore) alla frequenza di rivoluzione.

Lezione 3 Oscillazioni e stabilit

Lezione 3 Oscillazioni e stabilità à dei fasci dei fasci

Per avere stabilità (ovvero soluzione dell’equazione dell’oscillatore armonico (sin e cos)) la particella deve

passare nella RF quando questa ha una fase Φ

<π/2 per un acceleratore circolare a focalizzazione forte (con

quadrupoli) quando la particella accelerata è non

relativistica ( γ ~1 ), mentre per γ più elevato deve essere π/2<Φ

<π.

Questo comporta che all’iniezione ho una certa fase, che

cambia per γ più elevato Î devo spegnere la RF Î si

spacchetta il fascio Î posso perdere il fascio.

Lezione 3 Stabilit

Lezione 3 Stabilit à à dei fasci dei fasci

La frequenza angolare di una particella che gira in un sincrotrone è data da:

Con τ periodo di rivoluzione e L circonferenza dell’orbita.

Differenziando ln(ω) otteniamo:

Dove α_pè chiamato fattore di compressione dell’impulso.

L’espressione fra parentesi è normalmente scritta come:

Si osserva che η_tr<0quando l’energia del fascio è maggiore di U_tr=γ_trmc²mentre è >0per sincrotroni all’iniezione (bassa energia) o sempre per acceleratori lineari.

È questo il momento in cui bisogna cambiare la fase del campo elettrico.

2

2

L πβc τ

ω = π =

p dp L

dL d

d d

p



 



 −

=

−

=

−

= α

γ β

β τ

τ ω

ω

2

1

2 2

2

1 1

1

tr p

tr α γ γ

η = γ − = −

Lezione 3 Oscillazioni di sincrotrone Lezione 3 Oscillazioni di sincrotrone

Le quantità fisiche della particella generica sono connesse a quelle della particella sincrona ( indicata con l’indice s) tramite le seguenti relazioni:

Energia totale U = U_s+δU Impulso p = p_s+δp

Frequenza angolare ω = ω_s+δω Periodo di rivoluzione τ = τ_s+δτ

( δω e δτ hanno segno opposto). Siccome la particella sincrona deve arrivare alla RF in fase possiamo scrivere:

ω_rf = hω_s

Con hintero. h è chiamato numero armonicoe rappresenta il numero di cicli che fa la RF durante un giro della particella sincrona. Se indichiamo con φ_s la fase del voltaggio della RF quando la particella sincrona arriva alla cavità RF e con φ quella della particella generica avremo:

ϕ= δφ = φ – φ_s

Lezione 3 Oscillazioni di sincrotrone Lezione 3 Oscillazioni di sincrotrone

Il guadagno di energia per giro della particella generica e di quella sincrona sarà (si assume che il voltaggio non cambi quando la particella attraversa la cavità a RF):

∆U = qV sinφ

∆u_s= qV sinφ_s

Se all’ inizio del giro nla differenza in energia della particella generica rispetto alla particella sincrona è (δU)_n=U-U_salla fine del giro nsarà:

(δU)_n+1=(U+∆U)-(U_s+∆ U_s) Dopo un giro avremo che δUcambia di

∆(δU)=∆U- ∆U_s=qV(sinφ-sinφ_s) Nell’ipotesi di oscillazioni lente possiamo scrivere:

Che diventa definendo W=-δU/ω_rf=-(U-U_s)/ω_rf

( ) ( ) _s( _s)

s

qV U

dt U

d ω φ φ

π τ

δ

δ sin sin

2 −

∆ =

≅

(

)

π ^{sin −sin}

= qV _s

dW

Lezione 3 Oscillazioni di sincrotrone Lezione 3 Oscillazioni di sincrotrone

Sempre nell’ ipotesi di oscillazioni lente dopo un giro abbiamo:

∆ϕ≅(dϕ/dt)τ_s=ω_rfδt

Dove δt è la differenza nei tempi di arrivo della particella generica e di quella sincrona alla RF.

Dopo un giro δt cambia di:

∆(δt)=τ-τ_s=δτ=-η_trτ(dp/p) Æ

Dove

Sostituendo la dW/dt nella dϕ/dt otteniamo per le oscillazioni di fase della particella generica:

U W dt

d

s tr rf

2 2

β η

ϕ _≅ ω _U

U p

p δ

β δ

2

= 1

(

)

2 ²

.. 2

=

−

+ _s

s tr s

U qV

h φ φ

πβ η ϕ ω

Lezione 3 Oscillazioni di sincrotrone Lezione 3 Oscillazioni di sincrotrone

Per piccole variazioni della fase possiamo scrivere:

ed otteniamo così l’equazione di un oscillatore armonico:

Ω_s è la frequenza delle oscillazioni di sincrotrone.

Osserviamo che η_trcosφ_s deve essere positivo per avere frequenze di oscillazione reali e per assicurare la stabilità di fase.

Ricordando che per ogni giro si guadagnano pochi MeV nella RF avremo che Ω_s/ω_s<<1.(meno di un’oscillazione per giro).

(

)

2 ²

.. 2

=

−

+ _s

s tr s

U qV

h φ φ

πβ η ϕ ω

s s

s

ϕ ϕ φ φ

φ

φ sin( ) cos sin

sin = − ≅ +

2 2

.. 2

2

cos con 0

mc qV h

s s

s

γ πβ

φ ω η

ϕ ϕ

= Ω

≅ Ω

+

Lezione 3 Oscillazioni di Betatrone Lezione 3 Oscillazioni di Betatrone

Abbiamo visto che le particelle vengono mantenute sull’orbita circolare con dei magneti bipolari ed il fascio viene focalizzato tramite l’uso di quadrupoli (e sestupoli per abolire le aberrazioni cromatiche) che funzionano quali lenti convergenti (divergenti).

Î Oscillazioni anche nel piano trasverso chiamate oscillazioni di betatrone

Lezione 3 Oscillazioni di Betatrone Lezione 3 Oscillazioni di Betatrone

Oscillazioni di βtrone.

Consideriamo un acceleratore circolare con solamente magneti bipolari.

Sul piano orizzontale ho una focalizzazione geometrica (se B è uniforme e verticale in direzione).

P₁ dista da P₂ ½ circonferenza e la particella fa quindi un’oscillazione completa per giro. (numero di oscillazioni = ν_x=Q=1).

Attenzione: un angolo di deviazione α=1 mrad (rispetto alla particella di riferimento) dà una deviazione =αρ (ρ raggio dell’acceleratore), ma se ρ=1 km αρ=1m Î tubo a vuoto enorme ed apertura del magnete enorme.

P₂

P₁ P₁ P₂

s

Lezione 3 Oscillazioni di Betatrone Lezione 3 Oscillazioni di Betatrone

Se la deflessione è nel piano // a B, la particella spiralizza e se ne va.

Anche con l’inserzione di quadrupoli, le particelle con posizione

trasversa o direzione leggermente diverse da quella della particella di riferimento (quella sul piano mediano) fanno un moto oscillatorio

attorno alla particella di riferimento (nel piano trasverso xy)

Î

Î Inserzione di quadrupoli ( focheggiamento forte)

Lezione 3 Oscillazioni di Betatrone Lezione 3 Oscillazioni di Betatrone

Nel caso di un acceleratore circolare a focalizzazione forte le

oscillazioni di betatrone sono di frequenza molto maggiore di quelle di sincrotrone ( SPS(CERN) T

≤ 100000 T

(radiali) ).

Inoltre le oscillazioni di betatrone radiali (x) sono disaccoppiate da quelle verticali (y) e da quelle di sincrotrone (longitudinali).

Normalmente le oscillazioni di betatrone radiali (x) sono di ampiezza >

di quelle verticali, in quanto su quelle radiali influisce anche la dispersione in impulso.

Î Tubo a vuoto ellittico

Lezione 3 Oscillazioni e stabilit

Lezione 3 Oscillazioni e stabilit à à dei fasci dei fasci

Consideriamo il sistema di coordinate:

Si puo’ mostrare che:

Discorso del tutto analogo per le x.

s x

y

y’=dy/ds x’=dx/ds

costante '

' 2

)

( s = y

+ yy + y

= R

= ellisse =

R γ α β



 



 +

=

= 4

1 ' ,' 1

2

1 β ²

γ β β

α

Lezione 3 Oscillazioni e stabilit

Lezione 3 Oscillazioni e stabilit à à dei fasci dei fasci

L’equazione:

è l’equazione di un’ ellisse di area πR

con σ e

= semiassi dell’ellisse.

L’ area dell’ellisse è una costante, ma la forma puo’ cambiare al variare di s, in quanto α, β, γ dipendono da s.

β

(funzione di ampiezza) dipende dall’ottica della macchina e

costante '

' 2

)

( s = y

+ yy + y

= R

= ellisse =

R γ α β

Lezione 3 Oscillazioni e stabilit

Lezione 3 Oscillazioni e stabilit à à dei fasci dei fasci

β=σ/σ’

Î In un anello di collisione conviene avere β basso, ovvero focalizzare nel punto d’interazione.

<β>

=80 m β

=0.5 m

LHC LHC

Lezione 3 Emittanza ed accettanza Lezione 3 Emittanza ed accettanza

Emittanza: se i punti rappresentativi y ed y’ del 90% delle particelle del

fascio sono contenuti in πR

(area ellisse), πR

è per definizione

l’emittanza del fascio.

Abbiamo quindi un’emittanza verticale e radiale che restano costanti.

Per definire l’ellisse di area costante abbiamo assunto che l’impulso delle particelle non varia (in modulo) durante il movimento nel piano trasverso. Questo è quasi vero, comunque se varia adiabaticamente (ovvero molto lentamente), l’invariante diventa:

m s R p

s R

βγ

) ( )

cost = ( =

Lezione 3 Emittanza ed accettanza Lezione 3 Emittanza ed accettanza

Inviluppo delle traiettorie (x o y, x’ o y’)

Î Fondamentale conoscere y

in quanto determina le dimensioni sia del tubo a vuoto che l’apertura dei magneti, necessarie a far passare il fascio di accettanza nota.

B B

y y’

y

y’

L’inviluppo delle traiettorie delle

particelle del fascio non è altro

che l’ascissa del punto B (quello

con la y maggiore) in funzione di

s

Lezione 3 Emittanza ed accettanza Lezione 3 Emittanza ed accettanza Accettanza.

Accettanza.

L’accettanza è per definizione l’emittanza massima accettata dalla camera a vuoto all’iniezione.

Accettanze ed emittanze si esprimono in π (mmxmrad) Accettanza tipica di un sincrotrone è:

~ 30

π (mmxmrad)