Corso di Laurea in Ingegneria Clinica V Esercizi di Geometria
Esercizio 1. Dato il vettore −→v =
1 2 3
di R3 determinare il vettore −→w ∈Span
2 2 2
tale
che risulti h−→v , −→w i = 1.
Esercizio 2. Determinare i vettori di modulo 4 ortogonali ai vettori
1 0 0
,
0 2
−1
.
Esercizio 3. In R3, con il prodotto scalare canonico, sono dati i vettori
−
→u =
5 2 1
, −→v =
2 1
−3
, determinare:
a. il modulo di −→u , −→v; b. il versore di −→u;
c. il coseno dell'angolo tra −→u e −→v;
d. il vettore −→w proiezione ortogonale di −→u su −→v. Esercizio 4. Veri care che le colonne (le righe) della matrice
A =
1 2
√3 2
√3 2 −1
2
costituiscono una base ortonormale di R2
Esercizio 5. Una matrice reale A per cui At = A−1, o in modo equivalente AAt = AtA = I si chiama matrice ortogonale. Veri care che sono equivalenti le seguenti condizioni:
a. A è ortogonale;
b. le righe di A costituiscono una base ortonormale di Rn; c. le colonne di A costituiscono una base ortonormale di Rn.
Esercizio 6. Dati i punti P = (2, 0), Q = (−1, 1) e la retta r : 5x − y = 0
a. Trovare i punti appartenenti all'asse del segmento P Q ed aventi distanza d =√
3dalla retta r;
b. Determinare l'angolo acuto formato dalla retta P Q e dalla retta r.
Esercizio 7. Dati il punto P = (2, −1) e la retta r : 3x − 2y + 1 = 0 determinare:
a. la distanza di P da r;
b. le equazioni delle rette parallele ad r e aventi da essa distanza d = 2.
Esercizio 8. Dire se le rette r : x+y +2 = 0, s : 2x−y −1 = 0, t : 4x+y +3 = 0, appartengono ad uno stesso fascio.
Esercizio 9. Siano A = (1, −1) e B = (−3, 1) gli estremi della base maggiore di un trapezio rettangolo ABCD nel quale la diagonale maggiore BD è parallela al vettore −→v = (3, −4)t e la diagonale minore è ortogonale a −→v. Determinare:
a. le coordinate dei vertici C e D;
b. detto D' il simmetrico di D rispetto alla retta AB, calcolare l'area del triangolo OBD', ove O è l'origine del riferimento.
Esercizio 10. Date le rette r : x + y = 0, s : x − y = 0, determinare per quale valore di h la retta t : (1 + 2h)x + (1 + 2h)y + 3h + 2 = 0appartiene al fascio individuato da r ed s. Veri care che al variare di h la retta t descrive un fascio. Dire se tale fascio è proprio o improprio.
Esercizio 11. Nel fascio di rette (x − y) + k(3x − y + 2) = 0 determinare:
a. quella parallela al vettore −→v = (2, 1); b. quella ortogonale a −→w = (0, 1).
Esercizio 12. Dati i punti O(0, 0), A(1, 0), B(0, 1), C(h, k) con h, k parametri reali diversi da 1, determine il punto D intersezione delle rette OA e BC ed il punto E intersezione delle rette OB ed AC. Detti P, Q, R i punti medi rispettivamente dei segmenti DE, AB, OC, veri care che P, Q, R sono allineati per ogni valore reale di h, k 6= 1.
Esercizio 13. Dati i punti A(−1, 1) e B(2, −3), determinare il punto C che rende il triangolo ABC isoscele sulla base AB, di area 10 e che si trova, rispetto alla retta AB, dalla stessa parte dell'origine O.
Esercizio 14. Dato il triangolo di vertici A(2, 0), B(0, 2), C(−2, −2), calcolare le coordinate del suo baricentro e del suo ortocentro. Calcolare inoltre il perimetro e l'area del triangolo ed i coseni dei suoi angoli interni.
Esercizio 15. Determinare la retta r passante per A(2, −1), B(−1, 2). Determinare il punto P simmetrico dell'origine O rispetto ad r. Veri care che il quadrilatero AOBP è un rombo e calcolarne l'area.
