Analisi Matematica I, Ing. Aerospaziale (K-Z) a.a. 2013/2014 Prof.ssa M.R. Lancia - Prof.ssa S. Marconi
30 Settembre
Presentazione del corso.
Richiami di insiemistica.
1 Ottobre
Funzione. Funzione iniettiva, suriettiva, biettiva. Funzione crescente e decrescente.
2 Ottobre
Grafico di funzione. Intervalli.
Domini di funzioni:
• f (x) =q
x−1 x(x+1)
[R : −1 < x < 0 ∨ x > 1]
• f (x) =pln(x2− x − 1) [R : x 6 −1 ∨ x > 2]
• f (x) = √1
|x|−x
[R : x < 0]
• f (x) = √1
x−|x|
[R : ∅]
• f (x) =pln(sen x) [R : x = π2 + 2kπ, ∀k ∈ Z]
• f (x) = sen(4
√x+1)
e
x x2+1−1
[R : −1 6 x < 0 ∨ x > 0]
• f (x) = ln(cos x − 12)
[R : −π3 + 2kπ < x < π3 + 2kπ, ∀k ∈ Z]
• f (x) = psen(ln(e4 x− 1))
[R : ln(1 + e2kπ) 6 x 6 ln(1 + eπ(2k+1)), ∀k ∈ Z]
• f (x) =
√
ln(3x−√ 5−x) ln |x−2|
[R : 1 < x < 2 ∨ 2 < x < 3 ∨ 3 < x 6 5]
• f (x) =
√sen x+cos x tg2x−3
[R : −π4 + 2kπ < x < 3π4 + 2kπ,
x 6= π3 + 2kπ,π2 + 2kπ,2π3 + 2kπ, ∀k ∈ Z]
• f (x) =
q1 2−log2x r
log1 2
√
|x−1|
[R : 0 < x < 1 ∨ 1 < x >√ 2]
• f (x) = log2log3log4x [R : x > 4]
• f (x) = ln(32x− 4 · 3x+ 3) [R : x < 0 ∨ x > 1]
• f (x) =q
ln 12− |x| [R : ∅]
• f (x) = √ ctg x
sen x−cos x
[R : π4 + 2kπ < x < 5π4 + 2kπ, x 6= π + 2kπ, ∀k ∈ Z]
• f (x) =p sen√
x
[R : 4k2π2 6 x 6 π2(2k + 1)2, k ∈ Z];
• f (x) = ln(√
1 − x2− x) [R : −1 6 x <
√ 2 2 ] 3 Ottobre
Insiemi di numeri reali. Massimo e minimo. Assioma di completezza. Estremo superiore e in- feriore. Esempi: A = {q ∈ Q | q2 > 2}, A = 1
n, n ∈ N \ {0} , A = n−1
n , n ∈ N \ {0} , A =n−3
n2 , n ∈ N \ {0} ∪ {x ∈ R | 0 < x < 2}.
Intorni. Punti di accumulazione. Insiemi aperti e chiusi. Derivato e chiusura di un insieme. Punto di frontiera. Teorema di Bolzano-Weierstrass (senza dim.).
7 Ottobre
Funzioni monotone. Funzioni periodiche. Funzioni pari e dispari. Esempi:
f (x) = x2− 6, f (x) = x24x+1, f (x) = 3xx22−4−2, f (x) = x3− 4x, f (x) = 2x4x2+3, f (x) = xx−13+3x. Funzione limitata superiormente, limitata inferiormente, limitata, illimitata superiormente, illimita- ta inferiormente, estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo assoluto, punti di massimo e minimo, oscillazione della funzione.
Funzioni fondamentali: funzione lineare, quadratica, cubica, potenza a base reale ed esponente rea-
le, funzione reciproca, funzione esponenziale, funzione logaritmica, modulo, parte intera, funzione segno, mantissa.
8 Ottobre Successioni.
9 Ottobre
Funzioni goniometriche: seno, coseno, tangente, cotangente.
Funzioni composte. f ◦ g 6= g ◦ f . Esempi: f ◦ g e g ◦ f e loro insieme di definizione: (1) f (x) = 1−x1 e g(x) =√
x, (2) f (x) = x−1x e g(x) = ln x, (3) f (x) = x + 5 e g(x) = 2−x1 . Esercizio: date f (x) = 1x, g(x) =√
x, h(x) = x+1, calcolare f (g(x)), f (h(x)), g(f (x)), g(h(x)), h(f (x)), h(g(x)), f (g(h(x))), h(g(f (x))), individuandone il dominio.
Funzione invertibile. Funzione inversa. Esempi: f (x) = x2 per x > 0 e la radice, esponenziale e logaritmo, funzioni circolari inverse: arcoseno, arcocoseno, arcotangente, arcocotangente opportu- namente ristrette.
Teorema: f strettamente monotona ⇒ f iniettiva.
10 Ottobre
Funzioni inverse: f : A → B invertibile, allora f−1(f (x)) = x su A e f (f−1(y)) = y su B. Esempio:
sen(arcsin x) e arcsin(sen x).
Operazioni con i grafici di funzioni. Traslazioni: g(x) = f (x) + a, g(x) = f (x + a), a 6= 0. Esempi:
f (x) = x2+ 2, f (x) = x2− 1, f (x) = (x + 1)2, f (x) = (x − 2)2.
Dilatazioni: g(x) = af (x), a 6= 0, funzione opposta g(x) = −f (x). Esempi: f (x) = 2 sen x, f (x) = 12sen x, f (x) = − sen x. Cambio di scala: g(x) = f (ax) , a 6= 0. Esempi: f (x) = sen(2x), f (x) = senx2.
Modulo: g(x) = |f (x)|. g(x) = f (|x|). Esempio: f (x) = e|x|. Successioni.
14 Ottobre
Operazioni sui limiti di successioni nel caso di successioni convergenti. Operazioni sui limiti di suc- cessioni nel caso di successioni non convergenti o non tutte regolari con esempi. Operazioni sui limiti di successioni nel caso di successioni regolari.
Forme indeterminate. Esempi: limn→+∞(n −√
n) = +∞, limn→+∞(√
n + 1 −√ n) = 0, limn→+∞(√
n2+ n − n) = 12, limn→+∞nn12 = 0, limn→+∞n2 1n = +∞, limn→+∞n2 n21+1 = 1.
Limiti fondamentali. limn→+∞ ln nnα = 0, ∀α ∈ R+. limn→+∞ √n n = 1.
Limiti notevoli.
15 Ottobre Successioni.
16 Ottobre Successioni.
17 Ottobre Serie.
21 Ottobre
Limiti di successioni.
• limn→+∞ 2−nn2+3+n3−n = −∞
• limn→+∞(√
n2+ n − n) = 12
• limn→+∞(√ n −√3
n) = +∞
• limn→+∞n2(e1n − 1) = +∞
• limn→+∞ sen nn = 0
• limn→+∞ sen
1 1n n
= 1
• limn→+∞n sen4n = 4
• limn→+∞ √n+1
n+2tg√1n = 1
• limn→+∞ enn2n = +∞
• limn→+∞tg2nπn2−5n2 = −∞
• limn→+∞ n(1−cosn1)
senn1 = 12
• limn→+∞ √n+1
n+2tg√1n = 1
• limn→+∞ 1 − 3
q 1 +n12
n2 = −13
• limn→+∞
n2+2 n
5−2α
senn1α2
=
0 α > 2
1 α = 2
+∞ α < 2
α ∈ R
• limn→+∞ sen n(eneαn2n−1) =
(0 α > 2
@ α < 2 α ∈ R
• limn→+∞ ln nα+nα+11 =
+∞ α > 0
0 α = 0
−∞ −1 6 α < 0 +∞ α < −1
α ∈ R
• limn→+∞((2a)n− an) =
+∞ α > 12 1 α = 12 0 −12 < α < 12
@ α 6 −12
α ∈ R
• Esiste α ∈ R tale che limn→+∞(3n− 2n− an) = 0? [R: No]
• limn→+∞ 12 +n1n
= 0
• limn→+∞(n ln(n − 1) − (n − 1) ln n) = +∞
• limn→+∞n2n1 = 1
• limn→+∞nln n1 = e
• limn→+∞(2ne−n− en3−n) = 0
• limn→+∞ex2nxn=
+∞ x > 1
1 x = 1
0 |x| < 1
@ x 6 −1
• limn→+∞ e
x2n
xn =
0 x > 1
1 x = 1
+∞ |x| < 1
@ x = −1
0 x < −1
• limn→+∞ (1−3
√x−1)n
n =
@ x > 9 0 1 6 x 6 9 +∞ x < 1 Confrontare le seguenti successioni:
• an= 2n+ n3+ ln5n
bn= n6+ ln n + 3n per n → +∞
[R: bn `e un infinito di ordine superiore rispetto a an]
• an=√
n − 2n3+ n ln n
bn= 5n + ln n per n → +∞
[R: an`e un infinito di ordine superiore rispetto a bn] Determinare l’ordine di infinito di
an= n3ln n + tg(e−n) +n24 +√
n6+ n − 1 per n → +∞. [R: 4]
Determinare l’ordine di infinito di an= e
√n
n+1 − cos1n+
√n−1
n2−1 + arcsinn2n+1 per n → +∞. [R: 12] 22 Ottobre
Serie.
23 Ottobre Serie.
Studiare il carattere delle seguenti serie al variare di x.
• P+∞
n=1e−nx
n2 [R: Converge in [0, +∞), diverge in (−∞, 0)]
• P+∞
n=1 e−nx2
1+n [R: Converge per x 6= 0, diverge per x = 0]
• P+∞
n=1
(ln x−1)n
n+ln n [R: Converge in [1, e2), diverge in [e2, +∞), indeterminata in (0, 1)]
• P+∞
n=1e3nx−nx3 [R: Converge in (−√
3, 0) e in (√
3, +∞), diverge in (−∞, −√
3] e in [0,√ 3]]
• P+∞
n=1 1
n(1+nx2) [R: Converge per x 6= 0, diverge per x = 0]
• P+∞
n=1 n2
enα1 −1
sen1n [R: Converge per α < 2, diverge per α > 2.]
• P+∞
n=0 lnnx
(n2+1)2n [R: Converge in1
e2, e2, diverge in (e2, +∞), indeterminata in (−∞,e12)]
• P+∞
n=1
n(x+2)n
2n+1 [R: Converge in (−4, 0), diverge in [0, +∞), indeterminata in (−∞, −4]]
• P+∞
n=0(sennx + cosnx) [R: Conv. per x 6= kπ2, div. per x = π2+ kπ, indet. per x = kπ, k ∈ Z]
• P+∞
n=12n+1sennx
[R: Converge a 1−2 sen x2 per −π6 + kπ < x < π6 + kπ, diverge per π6 + 2kπ 6 x 6 5π6 + 2kπ, indeterminata per 7π6 + 2kπ 6 x 6 11π6 + 2kπ, k ∈ Z]
24 Ottobre Limiti di funzioni.
28 Ottobre
Numeri complessi. Forma algebrica. Unit`a immaginaria. Parte reale e parte immaginaria. Piano complesso. Operazioni con i numeri complessi: somma e prodotto. Operazioni inverse: Differenza e divisione. Opposto e reciproco di un numero complesso. Modulo e coniugato di un numero complesso. Propriet`a del modulo e del coniugato. Disuguaglianze triangolari. Legge di annullamento del prodotto. Potenza di un numero complesso in forma algebrica. Potenze di i.
Risolvere le seguenti equazioni:
• |z| + 2i|Im(z)| = 1 + i [R: z1 =
√3
2 + 12i, z2= −
√3 2 −12i]
• z2− |Re(z + i)| = 1 [R: z1 = 1+
√5
2 , z2 = −1−
√5 2 ]
• |z| = 1 ∧ Im 1−2iz + 2Re z2− i = 1 [R: z1= −1, z2 = i]
29 Ottobre Limiti di funzioni.
30 Ottobre
Forma trigonometrica dei numeri complessi. Argomento principale. Esempi:
z = 1 − i =√
2 cos −π4 + i sen −π4, z = −1 −√
3i = 2 cos 4π3 + i sen 4π3 .
Prodotto in forma trigonometrica. Potenza in forma trigonometrica: formula di De Moivre. Divi- sione in forma trigonometrica.
Esempi: (1 + i)5 = −4 − i, (1 + i√
3)n− (1 − i√
3)n= 2n+1i sen π3n,
1−i 1+i
3
= i.
Radice n-esima di un numero complesso. Radici n-esima dell’unit`a reale. Radici n-esima dell’unit`a complessa.
31 Ottobre Limiti di funzioni.
4 Novembre
Esempio: dato z =√
3 + 3i calcolare z4 e le radici quarte di z4. Esponenziale complesso. Forma z = ρeiϑ.
Teorema fondamentale dell’Algebra. Scomposizione di polinomi a coefficienti complessi. Caso dei polinomi a coefficienti reali.
Risolvere le seguenti equazioni:
• (3z + 1)3+ 8 = 0
• ((z − i)4+ 16)(z2− 1) = 0
• z8− 2√
3z4+ 4 = 0 Limiti di funzioni.
• limx→0 √
1 + xsen x1
=√ e
• limx→0+ ln(cos(ex−1)2) (tg(sen x2))xβ =
−∞ β > 2
−12 β = 2 0 β < 2
5 Novembre Funzioni continue.
6 Novembre Limiti di funzioni.
• limx→0 ln(tg4x+1)
e2 sen4 x−1 = 12
• limx→0 cos x2 1
tg4 x =
√e e
• limx→0 x5ex3−ln(1+x5)
(√
1+x4−1)2 = 4
• limx→0 cos x senx2+1−cos x2x+x4 = 23
• limx→+∞ (2
x−1
x3+2−1) lnx−3x+1 sen 3
x3
= −4 ln 23
• limx→0(1 + x)ln x= 1e
• limx→π
2 tg x(ecos x− 1) = 1
• limx→0 ln(e+x)−1x = 1e
• limx→+∞ 1xlog222xx−1+1 = 0
• limx→+∞x log2 22xx−1+1 = 0
• limx→0 ln(2−cos(2x)) ln2(1+sen(3x)) = 29 Confrontare le seguenti funzioni
• f (x) = sen3x +√3 x2 g(x) =√
1 − cos x + tg2x + arcsin x per x → 0+
[R: f `e un infinitesimo di ordine inferiore rispetto a g per x → 0+]
• f (x) =√
x + sen x + sen3x + tg3x + ex2 − 1
g(x) = x + sen2x + cos x − 1 per x → 0+ [R: f `e un infinitesimo di ordine inferiore rispetto a g per x → 0+] Determinare l’ordine di infinito di f (x) = ln
ex2+1 ex+1
per x → +∞. [R: 2]
Determinare l’ordine di infinitesimo di
• f (x) = 5 q1
8 −x13 per x → 2 [R: 15]
• f (x) = sen(x − 2) + 1−e(x−2)33 per x → 1 [R: 1]
7 Novembre Funzioni continue.
11 Novembre
Funzioni continue. Operazioni sulle funzioni continue.
Discontinuit`a eliminabile, di salto, di infinito.
Teoremi sulle funzioni continue.
• Teorema della permanenza del segno.
• Teorema dell’esistenza degli zeri.
• Teorema dei valori intermedi (I) con dimostrazione.
• Teorema di Weierstrass.
• Teorema dei valori intermedi (II) con dimostrazione.
• Criterio di invertibilit`a.
• Teorema sul limite delle funzioni monotone.
• Criterio di continuit`a per le funzioni monotone.
• Teorema di continuit`a delle funzioni inverse.
Stabilire per quali valori dei parametri risultano continue le seguenti funzioni:
• f (x) =
( sen(x2) x(√
1+x−1) x > 0
a2x+ 3 x 6 0 [R: a = −1]
• f (x) =
(2x+ b x 6 2
sen(4x−8)
2b−bx x > 2 [R: b = −2]
• f (x) =
ln(x + β2) x > 0
1−cos(αx)
arctan x2 x < 0
1 x = 0
[R: α = ±√
2, β = ±√ e]
Stabilire se la seguente funzione `e prolungabile per continuit`a nei punti in cui non `e definita:
f (x) = arctanx12cos2−x4 . [R: in x = 0 s`ı, in x = 2 no]
12 Novembre Funzioni derivabili.
13 Novembre
Funzioni derivabili in un punto e in un intervallo. Funzione derivata. Interpretazione geometrica.
Retta tangente.
Punti di continuit`a ma non derivabilit`a:
punto angoloso. Esempio: f (x) = |x| in x0 = 0;
punto di cuspide. Esempio: f (x) = 3
√
x2 in x0 = 0;
punto di flesso a tangente verticale. Esempio: f (x) = √3
x in x0 = 0.
Teorema: f derivabile ⇒ f continua. Non vale il viceversa (vedi esempi precedenti).
Derivate delle funzioni fondamentali.
Operazioni sulle derivate: combinazione lineare, prodotto e quoziente. Esempi:
• D((x2+ cos x) ln x) = (2x − sen x) ln x + (x2+ cos x)x1
• D(tg x) = cos12x = 1 + tg2x
• D(ctg x) = −sen12x = −1 − ctg2x
• D
x x2+1
= (1+x1−x22)2
Teorema di derivazione delle funzioni inverse con dimostrazione.
• D(ax) = axln a
• D(ex) = ex
• D(arcsin x) = √ 1
1−x2
• D(arccos x) = −√1
1−x2
• D(arctan x) = 1+x1 2
• D 4xx = 1−x ln 44x
Teorema di derivazione delle funzioni composte
• D(cos(ln3x)) = −3 sen(ln3x)) ln2x1x
• D(sen(ln(2 + cos x))) = − cos(ln(2 + cos x))2+cos xsen x
• D(10x tg x) = 10x tg x tg x +cosx2x
Derivata di f (x)g(x).
• D(xx) = xx(ln x + 1)
• D((1 + x2)sen x) = (1 + x2)sen x
cos x ln(1 + x2) +2x sen x1+x2
Derivabilit`a delle funzioni definite per casi.
• Determinare i valori dei parametri α, β ∈ R in modo che la seguente funzione sia continua e derivabile.
f (x) =
((x − β)2− 2 x > 0 α sen x x < 0 [R: f continua e derivabile in R per α = −2√
2, β =√
2 e per α = 2√
2, β = −√ 2]
• Studiare la continuit`a e la derivabilit`a della seguente funzione al variare di α, β, γ ∈ R.
f (x) =
(x−1)2+4 sen(x−1)
2(ex−1−1) x < 1
αx + β 1 6 x 6 2
4 cos(x−2)
(x−2)γ x > 2
[R: f continua per α = 2, β = 0, γ = 0 e per α = −2, β = 4, γ < 0. Non `e derivabile in 1 e 2]
14 Novembre Massimi e minimi.
Funzioni derivabili.
18 Novembre
Concavit`a verso l’alto e verso il basso in un punto e in un intervallo nel caso di funzioni derivabili e nel caso di funzioni non derivabili. Punto di flesso. Criterio di convessit`a: legame tra concavit`a e derivata seconda.
Teorema: f derivabile in I e derivabile due volte in un punto di flesso x0∈ I ⇒ f00(x0) = 0.
Non vale il viceversa. Esempi: f (x) = x3, f (x) = x4. Flessi a tangente verticale.
Criteri per lo studio locale delle funzioni tramite le derivate successive: criterio per massimi e minimi relativi e per flessi a tangente obliqua.
Esempio: stabilire per quali valori di a ∈ R la seguente funzione ammette massimo o minimo in x = 0:
f (x) = (a2− 2)x2+ (a −√
3)x3+ 2 cos x.
[R: a < −√
3 ∨ a > √
3 ⇒ x0 = 0 `e un minimo, −√
3 < a < √
3 ⇒ x0 = 0 `e un massimo, a = −√
3 ⇒ x0= 0 `e un flesso, a =√
3 ⇒ x0 = 0 `e un minimo]
Asintoti verticali, orizzontali e obliqui.
Esempio: f (x) = 32x ln(e − 3x1).
[R: x = 3e1 asintoto vert., y = 32x +2e1 asintoto obliquo per x → ±∞]
Studio completo di funzione: insieme di definizione, simmetrie (funzione pari, dispari, periodica), studio del segno, intersezioni con gli assi, limiti e asintoti, classificazione dei punti di discontinuit`a (eliminabile, di salto o di infinito), studio della derivata prima, punti di massimo, minimo, flessi a
tangente orizzontale, punti di non derivabilit`a (punti angolosi e cuspidi, flessi a tangente verticale), studio della derivata seconda, flessi, concavit`a verso l’alto o verso il basso.
Esempio: studiare la funzione f (x) = |x|x2e1−x2−x. 19 Novembre
Teorema di De L’Hˆopital.
Funzioni integrabili.
20 Novembre
Integrale indefinito. Primitiva di una funzione. Insieme delle primitive. Propriet`a dell’integrale indefinito. Integrali indefiniti immediati.
Integrali del tipoR f (g(x))g0(x)dx =R f (g(x))d(g(x)) = F (g(x)) + c
• R esen xcos x dx = esen x+ c
• R x2+2x
1+(x3+3x2+1)2 dx = 13arctan(x3+ 3x2+ 1) + c
• R x√
9 − x2dx = −13p(9 − x2)3+ c
• R tg x dx = − ln | cos x| + c
• R ctg x dx = ln | sen x| + c
• R ln4x
x dx = ln55x + c
• R e2x
√1−e4xdx = 12arcsin e2x+ c Integrali per scomposizione.
• R x
x+1dx = x − ln |x + 1| + c
• R cos2x dx = x2 +sen(2x)4 + c
• R sen2x dx = x2 −sen(2x)4 + c
• R tg2x dx = tg x − x + c
• R x2+5
1+x2 dx = x + 4 arctan x + c
• R ex
1+ex dx = x − ln(1 + ex) + c 21 Novembre
Funzioni integrabili.
25 Novembre
Esercizi sugli integrali impropri.
Integrazione per sostituzione.
Integrazione per parti.
Integrazione di funzioni razionali fratte.
26 Novembre
Integrazione di funzioni razionali fratte e funzioni integrali.
27 Novembre Esercizi.
28 Novembre
Integrali di funzioni razionali fratte.
• R x3−2x+3
x4−x3 dx
• R x3+2x−2
x4+x3+x+1dx
Integrali impropri di funzioni positive su intervalli illimitati o intervalli limitati non chiusi.
Studio di R xαdx, con α ∈ R.
Esempio: Re3 e2
1
x(ln2x−4)dx.
2 Dicembre Integrali impropri.
• R+∞
0
√1 xe−
√xdx.
Criterio del confronto e del confronto asintotico.
Funzione integrale.
• Insieme di definizione, continuit`a, derivabilit`a, intervalli di monotonia, asintoto obliquo per x → +∞, prolungabilit`a in 0, retta tangente per x = 2, della funzione F (x) =Rx
2 3t
32t−2·3t+1dt.
3 Dicembre
Polinomio di Taylor.
4 Dicembre
Polinomio di Taylor e di Mac Laurin. Sviluppo di Mac Laurin di f (x) = 1−x1 ed espressione del suo resto utilizzando la serie geometricaP+∞
k=0xk con |x| < 1. Sviluppo di Mac Laurin di f (x) = 1+x1 2
ed espressione del suo resto a partire dallo sviluppo di f (x) = 1−x1 .
Propriet`a degli sviluppi: sviluppo di una combinazione lineare e derivata di uno sviluppo. Uso di quest’ultima propriet`a per ricavare lo sviluppo di arctan x e ln(1 + x).
Operazioni con gli “o piccolo”.
Esempi:
• limx→0 ex−1+ln(1−x)tg x−x = −12
• limx→+∞(x − x2ln(1 + sen1x)) = 12 5 Dicembre
Polinomio di Taylor.
9 Dicembre
Limiti di funzioni mediante l’utilizzo degli sviluppi di Taylor.
• limx→+∞ sen(e−x)−[1−cos(ee−x − x4)]2 = 34
• limx→0x2[exxarctan(e−x) − (earctan1x − 1)] = −12
• limx→0 (1+sen x)sen x−1−arctan(αx2) x(1−cos x) =
(−1 α = 1
@ α 6= 1 (α ∈ R)
• limx→0 (cos x−1)(ex2−1)+x4
2
xα =
1
24 α = 6 0 α < 6 +∞ α > 6
(α ∈ R)
• limx→0 ln(1+x2)3
arcsin3x−xαsen x =
0 −1 < α < 1
−3 α = 1
−∞ 1 < α < 2 +∞ α > 2
(α > −1)
Ordine di infinitesimo
• f (x) = ln(1 + 2x) − 2 sen x + 2x2 per x → 0. [R: 3]
• f (x) = cos√
x − e−x2 per x → 0+. [R: 2]
10 Dicembre Esercizi vari.
• Determinare il massimo e minimo assoluto di f (x) = 3
√
x2+p(4 − x)3 2 in I = [−1, 6].
[R: x = 6 max assoluto, x = 0, 4 min assoluti]
• Determinare il massimo e minimo assoluto di f (x) = √x+1
x2+1 in R.
[R: x = 1 max assoluto, non ha min assoluti]
• Studiare la funzione f (x) =p(x − 3)3 2(x + 1).
• Insieme di definizione e continuit`a, insieme dove la funzione `e di classe C1, intervalli di monotonia e limx→3+ (x−3)F (x)α con α ∈ R per F (x) =Rx
3 sen2t ln(t − 2) dt.
[R: F definita, di classe C1 e strettamente crescente in (2, +∞), limx→3+ F (x)
(x−3)α = 0 per α < 2,
sen23
2 per α = 2, +∞ per α > 2]
11 Dicembre Esercizi vari.
• Calcolare l’area della regione di piano compresa tra il grafico della funzione
f (x) = |x − 1| arctan x e l’asse x in [−1, 2]. [R: π2 −12 −32ln 2 +12arctan 2 +12ln 5]
• Determinare z ∈ C tale che zz − Re(z(2 − i)) = 14 e arg(z) = 34π.
[R: non ci sono soluzioni]
• Verificare che la funzione f (x) = ex2(x − 1) + arctan(ln x) + 2 `e invertibile nel suo insieme di definizione e calcolare (f−1)0(2). [R: f invertibile in R+. (f−1)0(2) = e+11 ]
• Stabilire se la funzione f (x) = ln x−3ln x+2 `e invertibile nel suo insieme di definizione e calcolare (f−1)0 −32. [R: f invertibile in (0, e−2) ∪ (e−2, +∞). (f−1)0 −32 = 45]
• Studiare il carattere della serie P+∞
k=0
√ 3k
2k+1coskx in [0, 2π].
[R: converge a 12 1
1−
√ 3 2 cos x
in [0,π6) ∪ (5π6 ,7π6 ) ∪ (π6, 2π], diverge in [π6,π2) ∪ (3π2 ,11π6 ], indeterminata in (π2,5π6 ] ∪ [7π6 ,3π2 )]
12 Dicembre Esercizi vari.
16 Dicembre Esercizi vari.
18 Dicembre Esercizi vari.
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N. Fusco - P. Marcellini - C. Sbordone. Elementi di Analisi Matematica uno e due, ed. Liguori.
L. Cosimi - M.R. Lancia. Complementi ed Esercizi di Analisi Matematica e Geometria Analitica, ed. Esculapio.
M.R. Lancia - S. Marconi. Temi d’esame di Analisi Matematica Edizione aggiornata 2013, ed.
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