Calcolo 3 - 8 settembre 2008

Calcolo 3 - 8 settembre 2008

Esercizio 1

Si consideri la seguente successione di funzioni fn(x) = 2^n(x−

√

2)+ 2^n(1−x)+ 2²ⁿ, x ∈ IR

a) Determinare l’insieme E di convergenza puntuale e la funzione limite f (x).

b) Studiare la convergenza uniforme di f_n in E (promemoria: (a^x)⁰= a^xlna).

Soluzione:

a)E = [1,√

2] f (x) =

 2 per x = 1,√ 2 1 per x ∈ (1,√

2)

b) fnnon converge uniformemente ad f in E, ma converge uniformemente in ogni intervallo [a, b] con 1 < a < b <√ 2.

Esercizio 2

Considerate la serie di potenze

∞

X

n=1

(−1)ⁿ2²ⁿ⁺¹(3x)²ⁿ+ (2x)²ⁿ⁺¹

(2n + 1)! .

Calcolare la somma f (x) della serie.

Soluzione:

f (x) = sin 6x

3x + sin 2x − 2x − 2.

Esercizio 3

Sviluppare in serie di Fourier la funzione periodica, con periodo 2π, f (x) = (x − π)², x ∈ [0, 2π].

Soluzione:

f (x) = π² 3 +

∞

X

k=1

4

k²cos(kx).

Esercizio 4

a) Utilizzando la trasformata di Laplace, risolvere l’equazione differenziale y⁰⁰⁰(x) = e^xH(x) + δ(x), con le condizioni iniziali y(0) = y⁰(0) = y⁰⁰(0) = 0.

b) La soluzione `e limitata in [0, +∞)? ed in (−∞, 0)? ed in IR?

Soluzione:

a) y(x) = H(x)(e^x− x − 1)

b) La soluzione ´e limitata in (−∞, 0), non ´e limitata in in [0, +∞) e dunque neppure in IR.

Esercizio 3 (vecchio programma)

Considerate il sistema differenziale

x⁰= y + αx + βy², y⁰= −x + γy³.

1

a) Trovare tutti i valori di α, β, γ per i quali il sistema ´e hamiltoniano.

b) Per i valori trovati al punto a), studiare la stabilit´a dei punti di equilibrio.

c) Nel caso non-hamiltoniano, studiare la stabilit´a dell’origine per α > 0, β = 0, γ < 0.

Soluzione:

a) α = γ = 0.

b) (0, 0) stabile, (0, −_β¹) instabile (sella).

c) L’origine ´e instabile per ogni terna (α, β, γ), con α > 0, β = 0, γ < 0.

Esercizio 4 (vecchio programma)

a) Posto:

Ly = y^III− 4y⁰⁰+ 4y⁰, b(x) = 10 sin(x) + 7x cos(x) + x sin(x) determinare tutte le soluzioni di Ly = 0.

b) Determinare con il metodo degli annichilatori l’integrale generale, di Ly = b specificando l’annichilatore di b.

c) Determinare, qualora esistano, tutte le soluzioni sia di Ly = 0 sia di Ly = b limitate per x → −∞ .

Soluzione:

a) y(x) = c1+ c2e^2x+ c3xe^2x, ci∈ IR

b) y(x) = c1+ c2e^2x+ c3xe^2x+ cos(x) + sin(x) + x cos(x) + x sin(x), ci∈ IR, A = (D²+ 1)²

c) Tutte le soluzioni di Ly = 0 sono limitate per x → −∞, mentre non ci sono soluzioni di Ly = b limitate per x → −∞ .

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