Calcolo delle Probabilità: esercitazione 8
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Argomento: Distribuzione gamma e esponenziale (pag. 387 e seguenti del libro di testo).
NB: assicurarsi di conoscere le definizioni, le proprietà richiamate e le relative dimostrazioni quando necessario
Esercizio 1
1) Il tempo di vita, T, espresso in anni di un’apparecchiatura elettronica si distribuisce come una gamma di parametri θ=1 e α=2. Si calcoli il tempo di vita medio dell’apparecchiatura.
2) Qual è il tempo di vita medio se θ=α=1/2 (distribuzione chi-quadro con 1 gradi di libertà)?
3) Si definisce funzione di sopravvivenza la funzione S(t) = P(T>t). Si calcoli la sopravvivenza di una generica apparecchiatura prodotta nel caso di una gamma di parametri θ e α=1.
4) Si definisce funzione di rischio la funzione
) t ( S
) t ) ( t ( = ϕ
λ dove ϕ(t) è la f.d.d. di T. Si
dimostri che la funzione di rischio è costante nel caso di una variabile aleatoria di tipo gamma con parametri θ e α=1 (v.a. esponenziale negativa).
5) Si dimostri che la funzione di rischio determina univocamente una variabile aleatoria assolutamente continua.
Esercizio 2
Sia X una v.a. con distribuzione gamma di parametri θ e α. 1. Si determini la funzione generatrice dei momenti di X
2. Si ricavi la funzione generatrice dei momenti per α=1 e si determini il valore atteso della v.a. corrispondente (esponenziale negativa)
3. Si determini la funzione generatrice dei momenti per θ=1/2 e α=g/2 e si determini il valore atteso e varianza della v.a. corrispondente (chi quadrato con k gradi di libertà)
Esercizio 3
È noto da studi condotti su una particolare famiglia di coralli che il numero aleatorio N di gruppi di coralli presenti su un transetto di lunghezza r individuato su un fondale caraibico è una v.a. di Poisson di parametro λr con λ>0.
Supponendo che si sia incontrato sul transetto un gruppo coralli, qual è la distribuzione della v.a. T che rappresenta la lunghezza della porzione di transetto fino al prossimo avvistamento?