Prof. Massimiliano de Magistris

(1)

Elettrotecnica

Introduzione ai circuiti

Prof. Massimiliano de Magistris

massimiliano.demagistris@uniparthenope.it

Dinamica generale dei circuiti lineari Università di Napoli PARTHENOPE

Dipartimento di Ingegneria

(2)

In questa lezione affronteremo il problema della dinamica generale di circuiti lineari, e cioè indipendentemente dal numero di elementi dinamici e dal tipo di forzamenti.

Dopo aver mostrato come le equazioni circuitali nel caso

dinamico sono sempre riconducibili alla forma di un problema di Cauchy, riprenderemo i concetti di transitorio e regime,

definendo i circuiti dissipativi. Studieremo dunque i circuiti del secondo ordine con le relativa equazione caratteristica,

frequenze e modi naturali, forma della soluzione ed espressioni per l’imposizione delle c.i.

Introdurremo poi la forma di stato per le equazioni dinamiche, ed il concetto di circuito resistivo associato, affrontando la

soluzione generale attraverso lo studio degli autovalori della forma normale.

Dinamica generale dei circuiti lineari

2

(3)

Unità 1: circuiti dinamici e problema di Cauchy, dinamica del primo ordine, circuiti dissipativi e regime, circuiti con

interruttori ed analisi ad intervalli.

Unità 2: Circuiti di ordine N, dinamica in circuiti del secondo ordine, equazione caratteristica, frequenze e modi naturali, dinamica e condizioni iniziali;

Unità 3: variabili ed equazioni di stato, circuito resistivo

associato, forma normale delle equazioni di stato ed analisi con autovalori.

Dinamica generale dei circuiti lineari

3

(4)

Unità 1:

Circuiti dinamici e problema di Cauchy, dinamica del primo ordine, circuiti dissipativi e regime.

Circuiti con interruttori ed analisi ad intervalli.

Dinamica generale dei circuiti lineari

4

(5)

Un circuito è dinamico se sono presenti elementi quali

condensatori, induttori, mutui accoppiamenti. L’ordine del

circuito è dato dal numero di equazioni dinamiche indipendenti, che (di norma) è il numero di elementi dinamici equivalenti.

Abbiamo già incontrato semplici esempi (del primo ordine). In particolare, detta x(t) una qualsiasi variabile del circuito,

abbiamo ricondotto il problema alla forma (di Cauchy):

( ) ( ) ( )

_!

( )

( ) ( )

0

0 0 0

0 0 transitorio regime

( ) ,

; 1 ; lim ( 0)

t t

r r

r t

x x b t

x t X x t e x t t t

x t X

x dx dt x t x t

l t

t l t

- -

®¥

ì = +

ï ® = é - ù + ³

í = ë û

ïî

= = - = >

"

#$$$%$$$&

"

dove X₀è la condizione iniziale, l la frequenza naturale, t la costante di tempo, x_r(t) per definizione la soluzione di regime.

Circuiti dinamici e problema di Cauchy

5

(6)

( )

0 ⁰

( )

0 ⁰

( ) (

0

)

evol. libera evol. forzata

,

t t t t

r r

x t = X e^- ^-^t - x t e^- ^-^t + x t t ³ t

!"#"$ !"""#"""$

dove il primo termine rappresenta la dinamica del circuito a partire dalla condizione iniziale X₀ senza forzamento

(evoluzione libera), e l’insieme degli altri due quella del circuito a partire da condizioni iniziali nulle e con l’effettivo forzamento (evoluzione forzata).

La linearità garantisce l’unicità della soluzione, e ne dà la forma analitica. La sua struttura rivela che la frequenza naturale l e la costante di tempo t non dipendono dal

forzamento b(t); inoltre il regime x_r(t) non dipende dalle condizioni iniziali, ed è isomorfo al forzamento.

La soluzione può essere riscritta nella forma equivalente:

Evoluzione libera e forzata

6

(7)

L’analisi di qualsiasi circuito del primo ordine si può eseguire in modo standard, con gli equivalenti di Thévenin o di Norton

delle parti a-dinamiche. Fissate le c.i. v_C(0)=V₀, i_L(0)= I₀, si ha, rispettivamente:

+ - i_C(t)

+-

vC(t)

R_Th e₀(t)

+ -

B_A

+ - i_L(t)

+-

vL(t) R_Th

i_L(t)

B_A

+ - vL(t)

C +

- i_C(t)

vC(t) C

jcc(t)

Equivalenti generali dei circuiti del primo ordine RC o RL.

( ) ( ) ( )

0

0 ;

C

L

t

C r r C Th

t

L r r L Th

v t V v e v t R C

i t I i e i t R L

t

t t

-

é ù

= ë - û + =

é ù

= ë - û + =

I termini di regime v_r(t) ed i_r(t) saranno calcolati con i metodi più opportuni a seconda del forzamento (stazion./sinusoid.)

Circuiti del primo ordine RC ed RL

7

(8)

La procedura si può riassumere nel modo:

- si determina la resistenza equivalente R_Th del bipolo a-

dinamico visto dai terminali del condensatore o dell’induttore, e di conseguenza la costante di tempo t del circuito;

- si determina una soluzione di regime del circuito semplificato con l’equivalente di Thévenin o di Norton;

-si impone la condizione iniziale e si determina il valore della costante di integrazione.

Per calcolare le altre grandezze del circuito si applica il

principio di sostituzione agli elementi dinamici, sostituiti da generatori di tensione (condensatore) o corrente (induttore) che impongono l’andamento delle grandezze ottenute. Ciò definisce il cosiddetto “circuito resistivo associato”.

Per un esempio svolto si veda es.7.1 a pag. 380 del testo

Circuiti del primo ordine RC ed RL

8

(9)

Vogliamo legare l’esistenza del regime a condizioni di tipo energetico nel circuito. Per circuiti del primo ordine la

condizione t>0 è necessaria affinché il limite tà¥ sia definito.

Consideriamo ad es. un generico circuito dinamico con un solo condensatore C, e sia R_eq la resistenza equivalente del bipolo adinamico ad esso connesso. Posta V₀=v_C(0) la c.i., si ha:

( )

0

( )

0

( )

0 0

; 1 ; 0 0

0

eq t

C Cr Cr eq

eq

R

v t V v t e v t R

R C R

l

l l

l ì > Þ <

é ù ï

= ë - û + = - í < Þ >

ï ® ¥ Þ =

î

C v_C R_eq +

-

circuito dinamico con un solo condensatore C

Dunque in presenza di resistori

strettamente passivi (R_eq>0) si ha l<0 ed il transitorio risulta evanescente (à0)!

Dissipatività e regime/1

9

(10)

L’energia immagazzinata dal condensatore e la tensione risultano decrescenti nel tempo se R_eq>0!

In presenza di elementi non strettamente passivi o attivi R_eq£0 e l’energia (e le tensioni e correnti) possono non decrescere, o addirittura crescere esponenzialmente.

I circuiti per cui è garantita l’evanescenza dell’evoluzione libera sono detti dissipativi. Per essi è sempre definito un regime!

I concetti visti si estendono a circuiti di ordine N qualsiasi.

Considerata l’evoluzione libera, per la conservazione della potenza:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

( ) ( ) 2

2

( ) ( ) ( )

0 0

0 1

2 0

eq

C

a a

C R C

eq

t t C

i i a

C C R

eq

d v t

p p Cv t

dt R

W t W P dt v t dt

R

é ù

+ = « êë úû = -

- = -

ò

= -

ò

Dissipatività e regime/2

10

(11)

Un importante motivo di innesco della dinamica nei circuiti è

l’azione di interruttori che, cambiando il loro stato, cambiano la topologia del circuito in corrispondenza dell’istante t₀. Se il

circuito è regime prima dell’intervento dell’interruttore, si

determina dunque un transitorio prima di raggiungere il nuovo regime. È naturale effettuare l’analisi per intervalli, t<t₀ e t³t₀.

Circuito dinamico con interruttore

Il circuito è in regime stazionario per t<0; l’induttore è equivalente ad un c.c.; pertanto R₂ ed R₃

risultano in serie e si ha:

2 3

0 10=0.66 A

L 15 t i E

R R

< ® = =

+

R₂ E

+ -

t=0 R₁

R₃ i_L L

R₁= R₂= 10 W, R₃= 5 W L = 0.1 H, E = 10 V.

Circuiti con interruttori e analisi ad intervalli

11

(12)

Passiamo a calcolare il regime per tà¥: l’interruttore è chiuso per t>0 e dunque i resistori R₁ ed R₂ risultano in parallelo

1 2 3

1 2

10 =1 A

r 10

t i E

R R R

R R

® ¥ ® = =

+ +

( ) ( ) ( )

( )

0

1 2 3

1 2

0.01

0 ;

(0) 0.66 A; (0) 1 A

10 , 0.01 s

0.34 1

t

L r r

L r

eq eq

t L

i t I i e i t

I i i

R R R R L R

R R

i t e

t

-

é ù

= ë - û +

= = =

= + = W = =

+

= - +

Per un esempio svolto si veda es.7.17 a pag. 433 del testo

Circuiti con interruttori e analisi ad intervalli

12

(13)

Unità 2

Estensioni ai circuiti di ordine N

Dinamica in circuiti del secondo ordine, equazione caratteristica, frequenze e modi naturali,

imposizione delle condizioni iniziali

Dinamica generale dei circuiti lineari

13

(14)

I concetti sin qui visti si generalizzano in modo naturale a

circuiti di ordine N, cioè con N elementi dinamici. In tal caso le equazioni circuitali si possono ridurre ad un sistema di N

equazioni differenziali lineari di ordine 1, ovvero un’unica equazione differenziale lineare di ordine N.

La soluzione dell’omogenea si basa sempre sull’equazione

caratteristica associata, che sarà ora un’equazione algebrica a coefficienti reali à frequenze naturali l_i reali o complesse

coniugate!

La soluzione ha ancoraun termine transitorio ed uno di regime, con le stesse proprietà generali dei circuiti del primo ordine.

La determinazione delle costanti di integrazione, che dipende sempre dalle c.i., sarà in funzione della forma prescelta, ovvero una eq. di ordine N o un sistema N eq. ordine 1.

Estensione ai circuiti di ordine N

14

(15)

Un circuito con due elementi dinamici è un circuito del secondo ordine. Anche per esso esistono metodi di analisi generali come quelli visti nel caso del primo ordine. Prima di affrontarli val la pena di analizzare un caso semplice.

Il circuito è un RLC serie con forzamento e(t). Dalla LKT si ottiene:

R e(t) ⁺ C

-

L

i v_L

+ -

v_C +

- Esempio di circuito dinamico del secondo ordine (RLC serie)

( )

( ) ( ) ( )

2

0 0

2

; ; ;

; 0 ; 0

C

R L C R L L

C C

C C L

dv

v v v e t v Ri v L di i C

dt dt

d v dv

LC RC v e t v V i I

dt dt

+ + = = = =

+ + = = =

Dinamica dei circuiti del secondo ordine

15

(16)

La soluzione del problema è nota dall’analisi matematica.

Consideriamo dapprima il caso dell’evoluzione libera, e(t)=0.

Associamo l’equazione (algebrica) caratteristica al problema

differenziale: ₂

2

1 0 1

2 4

R R

LC RC

L L LC

l + l + = ® l_± = - ± - Esprimiamo le c.i. in funzione della sola incognita v_C(t):

( ) ( )

₀

0

0 ; ^C ^C 0

C

t

dv i I

v V

dt ₌ C C

= = =

L’espressione della soluzione è legata al segno del discriminante dell’equazione caratteristica:

2 2

1 0 4 0

0 R

L LC ì>

D = - ïí<

ï=î

Dinamica dei circuiti del secondo ordine/2

16

(17)

( )

( ) ( )

( )

0

0 0

0 1 0

0 1

0 +

0 cos sin

0 +

t t

C

t

C d d

d d

t t

C

K K V

v t K e K e K K I

C A V

v t e A t B t I

j A B

C K V

v t K e K te I

K K

C

l l

s

s s

l l

w w

l s w s w

l s s

+ -

+ + - -

-

- -

+ =

ìï

D > ® = í

+ =

ïî ì =

D <± = - ± ® = + ïíïî- + =

ì =

D =± = - ® = ïíïî- + =

L’evoluzione libera del circuito, a seconda dei casi, può porsi nelle forme seguenti, dove riportiamo le corrispondenti

espressioni per le costanti d’integrazione in relazione alle c.i.:

Dinamica dei circuiti del secondo ordine/3

17

(18)

t₊ t_-

Re(l) Im(l) x

x -1/t+

-1/t- Re(l)

Im(l)

x

-sx jwd

-jw_d

1/s

Re(l) Im(l)

-sx Re(l)

Im(l) x x jwd

-jw_d 2p/wd

v(t)

t

v(t)

t

v(t)

t 2p/wd

v(t)

t

(a) (b)

(c) (d)

Andamenti tipici dell’evoluzione libera per un circuito del

secondo ordine in relazione alla

posizione delle

frequenze naturali sul piano

complesso

Dinamica dei circuiti del secondo ordine/4

18

(19)

È importante osservare che l’equazione differenziale per il caso omogeneo, l’equazione caratteristica e le frequenze naturali l_i, sono indipendenti dalla variabile scelta per la riduzione; ad

esempio:

2 2

2

0; ;

0 0

0 1 0

C L

L C L

C C

dv di

Ri v v i C v L

dt dt

dv

di di d i

Ri L v R L

dt dt dt dt

d i di

LC RC i LC RC

dt dt l l

+ + = = =

+ + = ® + + =

E’ sempre possibile ricavare le c.i. in termini della variabile richiesta a partire da quelle note. Ad es., dalla LKT si ha:

( ) ( )

0 0 0

0

(0) ; ^L 0 ; _L 0

t

di v

i I v V RI

dt ₌ L

= = = - -

Dinamica dei circuiti del secondo ordine/5

19

(20)

Caso generale, forzamento e(t)¹0. Come sempre la soluzione è data dalla somma dell’integrale dell’omogenea e della

soluzione a regime. In relazione alla generica grandezza x(t) e in termini delle c.i.:

0 0

0

0 0

1

1 2

0 0

(0) (0)

0

(0) (0)

( ) ( ) ( ) 0

(0) (0)

0

r

t t

r

r r

d

t t

r

t t

x K K x

dx dx

K K

dt dt

x A x

x t x t x t dx dx

A B

dt dt

x K x

dx dx

K K

dt dt

l l

s w

l

+ -

+ + - -

= =

= + +

ìï

D > ® íï = + +

î

= + ìï

= + D < ® íï = - + +

î

= +

ìï

D = ® íï = + +

î

Dinamica dei circuiti del secondo ordine/6

20

(21)

Come esempi svolti su circuiti dinamici del secondo ordine si vedano:

- es.7.3 a pag. 391 del testo - es.7.4 a pag. 392 del testo - es.7.5 a pag. 393 del testo - es.7.6 a pag. 393 del testo - es.7.7 a pag. 394 del testo

Va infine osservato che i modi di evoluzione naturali di un circuito del secondo ordine saranno gli stessi che si

presenteranno in generale nei circuiti dinamici di ordine N.

Circuiti del secondo ordine vs. ordine N

21

(22)

Unità 3:

Variabili ed equazioni di stato, circuito resistivo associato

Forma normale delle equazioni di stato ed analisi con autovalori

Dinamica generale dei circuiti lineari

22

(23)

La riduzione della forma canonica a quella di Cauchy può effettuarsi in termini delle variabili di stato (tensioni dei

condensatori e correnti degli induttori) che hanno le proprietà:

1) sono continue anche in presenza di discontinuità di altre grandezze

2) sono legate in modo algebrico a tutte le altre variabili

3) identificano univocamente l’energia immagazzinata dal circuito

Possiamo ad es. mostrare la continuità della tensione di un condensatore C a partire dalla sua caratteristica in forma

integrale; considerato un istante t ed un intervallo Dt centrato in t:

( )

( ) ( ) ( )

2

2 2

0 2

1

2 2

lim 0

t t

C C C

t t t t

C C C

t t t

t t

v t v t i d

C

i d v t v t

t t

+D

-D +D

- +

D ® -D

D D

æ + ö - æ - ö =

ç ÷ ç ÷

è ø è ø

= Þ =

ò ò

Equazioni e variabili di stato

23

(24)

Mostriamo con un esempio come ricavare le equazioni di stato e la natura del legame tra esse e le altre grandezze.

Un esempio per la scrittura delle equazioni di stato di un circuito

C R₃

v_C +

- R₂

+- e(t)

R₁ i_C

2 3

2 2 3 3

1 2 3

1 2 2

2 3

0 ( )

0 ( , )

( ) 0

1 ( , )

C

C C C

C C

i i i

e t v

R i R i i f v t

R R R

v R i e t R i R R

dv dv

i C f v t

dt dt C

+ + =

ì - -

ï + = ® = =

íï- - - + = +

î +

= ® =

La corrente del condensatore i_C è espressa da una funzione

algebrica f(v_C,t), che sostituita nella caratteristica (differenziale) del condensatore produce la

forma di Cauchy nella variabile di stato v_C.

Equazioni di stato: un esempio

24

(25)

Quanto appena ricavato dalla riduzione per sostituzione può essere ottenuto con il circuito resistivo associato, definito

sostituendo al condensatore un generatore ideale che

rappresenta la grandezza v_C. Applicando la sovrapposizione:

Circuito resistivo “associato”

all’esempio precedente

2 3 2 3

1 1

2 3 2 3

( ) ^C ( , )

C C C C

e t v

i i i f v t

R R R R

R R

R R R R

¢ ¢¢

= + = - - =

+ +

Dunque la corrente del

condensatore i_C è questa volta trovata in funzione di v_C

sostituendo al condensatore un generatore di tensione ed

analizzando il corrispondente circuito a-dinamico

R₃ v_C

R₂

+- e(t)

R₁ i_C

+ -

Equazioni e circuito resistivo associato/1

25

(26)

Quanto visto è generale: si può sempre definire un circuito resistivo associato ad un qualsiasi circuito dinamico

sostituendo ai condensatori generatori di tensione ed agli induttori di corrente.

L’analisi (algebrica) di tale circuito a-dinamico permette di

ricavare le correnti dei condensatori e le tensioni degli induttori in funzione delle sole tensioni dei condensatori e correnti degli induttori (variabili di stato), che sostituite nelle caratteristiche degli elementi dinamici forniscono le equazioni di stato per il circuito.

Infine, comunque risolte le equazioni di stato, ogni grandezza nel circuito originario può ottenersi dalla sola analisi del circuito resistivo associato ove i generatori di sostituzione hanno gli

andamenti temporali determinati per le variabili di stato.

Equazioni e circuito resistivo associato/2

26

(27)

In riferimento al circuito in figura, assumiamo v_C1 e v_C1 come variabili di stato. Consideriamo il circuito resistivo associato, applicando la sovrapposizione. Ciò equivale a caratterizzare in tensione il D.B. adinamico come “visto” dai generatori di

sostituzione v₁ e v₂:

Esempio del secondo ordine, corrispondente circuito resistivo associato e doppio bipolo adinamico caratterizzabile da v₁ e v₂.

1 1 2

*

2 1 2

*

2 1 ( )

1 1

2 1 ( )

1 1 , 0

i v v e t

R R R G

i v v

R R

R R e t

G R

R R

= - - üïïý ® = +

= - + ï

ïþ

æ - ö æ ö

ç ÷ ç- ÷

= çççè - ÷÷÷ø = çè ÷ø

i v i

i

+ - i1

v2

C1

R e(t)

+ -

R C2

i2

+ -

v1

R e(t)

+ -

R v1

+

- + v2

-

+

- i2

DB

i1

+

- v1

+ -

v2

+ -

Circuiti del secondo ordine: un esempio

27

(28)

Accoppiando le caratteristiche dei condensatori:

1 1 1 1 2

2 2 2 1 2

0

1 10 2 20

1 1 10

1 0

20

2 2

2 1 ( )

1 1 ( )

(0) (0) ; (0)

2 1

( )

, ( ) ,

1 1

0

dv e t

C i v v

dt R R R

A t

C dv i v v

dt R R

v V v V

RC RC e t V

A t RC

V

RC RC

= = - - üï

ï ì = +

= = - + ïýï ® íî =

= = ï

ïþ

æ - ö æ ö

ç ÷ ç - ÷ æ ö

ç ÷

= çç- ÷÷ = ççè ÷÷ø = çè ÷ø

è ø

x x b

x X

b X

!

Circuiti del secondo ordine: un esempio/2

28

(29)

Come già osservato, per qualsiasi circuito del secondo ordine il circuito resistivo associato può esser visto come un DB

adinamico lineare collegato ai generatori di sostituzione. Le eqq. di stato si ricavano accoppiando le caratteristiche di tale DB con quelle degli elementi dinamici, nei vari casi. Ad es.:

Generico circuito con due elementi dinamici (C,L) e circuito resistivo associato

+-

DB

v2(t) i1(t)

+

- v1(t) C

+-

DB

i₁(t) +

- v1(t)

+ -

+

- i2(t)

v2(t) L

+

- i₂(t)

v₂(t)

1 11 1 12 2 1

2 21 1 22 2 20

cc

C dv H v H i i dt

L di H v H i v dt

- = + +

Osserviamo che tale forma generalizza la forma equivalente di Thévenin-

Norton per i circuiti del primo ordine

Circuiti dinamici del secondo ordine

29

(30)

Per generalizzare quanto visto a circuiti di ordine N qualsiasi è opportuno considerare le equazioni di stato nella forma

normale:

( ) ( )

( )

0 0 10 20 0

1 1

11 1

1

( ),

, ,...

,... , ( ) ( ) ,... ( )

T N

T T

N N

N

N NN

A t

t x x x

x x t b t b t

a a

A

a a

= +

ìïí

= =

ïî

= = éë ùû

æ ö

ç ÷

= ç ÷

ç ÷

è ø

x x b

x x

x b

!

"

# $ #

"

Con x vettore di stato, b(t) dei forzamenti, A la matrice dinamica del circuito.

Forma normale, autovalori ed autovettori

30

(31)

L’analisi della forma normale può effettuarsi con gli autovalori l ed autovettori u della matrice dinamica A. Considerata

l’evoluzione libera, in analogia con quanto visto per i circuiti del primo ordine, ricerchiamo la soluzione omogenea nella forma:

( )

1 1

1 1 11 1 1

1 1

, ( ) ,... ( )

( ) ...

- 0

( ) ...

0 - 0

t t t

N N

t t t

N N

t t t

N N N NN N

A x t u e x t u e t e

x t u e a u e a u e

I A

x t u e a u e a u e

I A

l l l

l

l l

l

= = = ® =

= = + ü

ï ® =

ýï

= = + þ

¹ Þ =

x x x u

u

!

"

!

Il sistema è lineare omogeneo nell’incognita u. Per soluzioni non banali (u¹0) la matrice dei coefficienti non può avere

rango pieno. Da ciò la condizione |lI-A|=0. Si verifica che essa coincide con l’eq. caratteristica del circuito! Le sue soluzioni, gli autovalori della matrice A, sono le frequenze naturali del

circuito.

Forma normale, autovalori ed autovettori/2

31

(32)

Forma normale, autovalori ed autovettori/3

L’equazione caratteristica, essendo algebrica di ordine N a

coefficienti reali, avrà N soluzioni reali o complesse coniugate, che sono gli autovalori l_i. Per ogni autovalore l_i è possibile

trovare un autovettore u_i corrispondente come soluzione del sistema lineare:

(

liI A^-

)

ui = ⁰

La soluzione generale può allora scriversi:

( )

t = 0

( )

t + _r

( )

t = k1 1e^l¹^t + ... + k_N _Ne^l^N^t + _r

( )

t

x x x u u x

Le c.i., su tale forma, si impongono come:

( )

1 1 ... _N _N _r 0 0

k u + + k u + x = X

32