ANALISI GRAFICA DI CIRCUITI NON LINEARI

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Università degli Studi di Roma Tor Vergata Dipartimento di Ing. Elettronica

corso di

ELETTRONICA APPLICATA Prof. Franco GIANNINI

ANALISI GRAFICA DI

CIRCUITI NON LINEARI

SOMMARIO

‰ Introduzione

‰ Comportamento di induttori e condensatori in presenza di salti

‰ Multivibratori

‰ Oscillatori a rilassamento di tipo N

‰ Oscillatori a rilassamento di tipo S

‰ Oscillatori monostabili, bistabili, astabili

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A cura del Prof. F. Giannini, R. Giofrè, M. Imbimbo, P. Longhi, A. Nanni, A. Ticconi

ANALISI GRAFICA DI CIRCUITI NON LINEARI

L’analisi dei circuiti comprendenti uno o due elementi non lineari ed un solo elemento reattivo, condensatore o induttore, può farsi in modo agevole utilizzando le curve caratteristiche di uno degli elementi non lineari.

Il metodo è particolarmente efficace se la forma d’onda d’ingresso, che pilota il circuito, è di tipo impulsivo. In questo caso si può infatti tracciare agevolmente il “ciclo di lavoro” del dispositivo sul piano della sua caratteristica di uscita, partendo da alcune semplici considerazioni ed in particolare osservando che:

a) Un condensatore, che in continua si comporta come un circuito aperto, in presenza di un salto di tensione si comporta dinamicamente come un cortocircuito. La tensione ai suoi capi rimane cioè costante onde evitare che diventi infinita la corrente che lo attraversa nell’istante di salto, ovvero ΔV_C=0.

a) Un induttore, che in continua si comporta come un cortocircuito, in presenza di un salto di tensione si comporta dinamicamente come un circuito aperto. La corrente che lo attraversa rimane cioè costante onde evitare che diventi infinita la tensione ai suoi capi nell’istante di salto, ovvero ΔI_L=0.

ESEMPIO 1 (I)

i

( )

D D D

v t L d i v R i

= dt + + ⋅

i_D

v_D

v₀(t)

v_i(t) L D

R

r_d

r_i

Il punto di lavoro è inizialmente nell’origine e vi rimane nell’istante t_o in quanto l’induttanza non fa variare istantaneamente il regime di corrente del diodo D. Successivamente, se

T

è abbastanza lungo perché si esauriscano i transitori, il punto di lavoro si porterà in C e lì resterà quando, per t=t₁, la tensione di ingresso passerà istantaneamente

La caratteristica i-v del diodo D viene linearizzata a tratti per semplificare l’analisi.

da V⁺ a V^-. Il punto di lavoro si sposterà poi verso il punto E’, in quanto, finché il diodo non cambia stato (cioè fino a che il punto di lavoro non raggiunge

D E

t V₂

V₁

t₀ t₁ T

A

B C

V^- V

+

vD

iD

A=B

C=D

E

E’

V⁺/R

V^-/R

V⁺ V^-

V1

V2

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ESEMPIO 1 (II)

i_D

v_D

v₀(t)

v_i(t) L r_d

R

' d

D E

d

v V r V

R r

= − =

+ Raggiunta l’origine, il diodo si interdice e l’analisi del

circuito si farà utilizzando lo schema (b), dal quale si deduce che il punto di lavoro si porterà nel punto E.

Gli andamenti temporali sono esponenziali e possono essere ricavati graficamente nel modo indicato.

A=B

E

E’

V⁺

V^- C=D

r_d

r_i

v_D

i_D

V_c

V_E’

V_E V_k V_k

V_h

τ 1

τ 2

1

d

L R r

τ =

+

2

i

L R r

τ =

+

Schema (a)Schema (b) r_i

i

D E

i

v V r V

R r

= − =

+

ESEMPIO 1 (III)

V_k’

V_k

V_h

τ

¹

τ

2 V⁺

V^-

v_i v_o

t

' '

C H

E K

E K

V V V

V V V

V V V

+

−

−

⎧ − =

⎪ − =

⎨ ⎪ − =

⎩

Quanto alla tensione di uscita, si osservi che l’andamento sarà analogo, gli esponenziali avranno cioè le stesse costanti di tempo. I valori iniziali e finali saranno però differenti e dovranno essere calcolati dalla:

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ESEMPIO 2 (I)

Analizziamo il comportamento del circuito sul piano delle caratteristiche d’uscita del transistore, proponendoci di valutare l’andamento temporale della tensione di collettore V_CE

r_d

r_i

0 H L’ L

K T J

i_b= i_bL i_b= i_bK V_CC

V_CC r_d r_i

r_i J’ J

J’’

K

L’’ L’

H≡L

V_CC/(R//r_i) Al “salto” l’induttore si comporta da circuito aperto ed

il transistore vede come carico solo il diodo D che era e rimane aperto. La retta di carico dinamica avrà perciò pendenza –arctg(1/r_i) ed il punto di lavoro si porterà istantaneamente nel punto K corrispondente all’intersezione con la caratteristica i_b=i_bk=cost, tendendo prima in J’ e poi, dopo il punto J’’ dove il transistore esce dalla saturazione, in J, che viene raggiunto se T è sufficientemente lungo. Per t=T interviene un nuovo salto di tensione che porta il punto di lavoro in L’, seguendo la spezzata indicata.

+V_CC

R

L

D

ESEMPIO 2 (II)

ib=ibL

ib=ibK

V_CC r_d

r_i

r_i

J

J’ J’’ K

L’

L’’

H≡L

V_CC/(R//r_i)

v_CE

i_C

t T

τ 1 τ ² τ 3

τ 4

Finché la tensione di collettore non raggiunge il valore Vcc infatti, il diodo D rimane aperto e presenta la resistenza inversa r_i. Raggiunto tale valore, il diodo si chiude e presenta la resistenza diretta r_d. Da qui la spezzata indicata. Raggiunto il punto L’, intersezione della spezzata con la caratteristica ib=ibk=cost, il punto di lavoro la seguirà tendendo in H≡L. In L’’ però il diodo cambierà nuovamente stato e farà variare la costante di tempo dell’evoluzione temporale esponenziale. Dal seguente grafico si ricava l’andamento della tensione di uscita.

( )

1

2

3 '

3 ' 2

//

// 1 // 1 // 1

i sat

i

oe

d

oe

i

oe

L r r R

L r R

h

L r R

h

L r R

h

τ

τ τ

τ τ

= +

⎛ ⎞

= ⎜ + ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞

= ⎜⎝ + ⎟⎠

⎛ ⎞

= ⎜⎝ + ⎟⎠ Si noti in particolare come la presenza del diodo D, detto di free wheeling (libera circolazione) limiti l’entità delle sovratensioni che si sviluppano ai capi del transistore, evitando il possibile danneggiamento (caso dei “relais”)

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ESEMPIO 3 (I)

0 H L

K T J R

R₁

C

v_i v_o

+V_CC

v_BE i_B

i_bH≡i_bL i_bK≡i_bJ V_i/R

L’analisi viene svolta sul piano delle caratteristiche di uscita del transistore, determinando così l’andamento della tensione di collettore. Il calcolo della v_o(t) è immediato osservando:

1. I salti di tensione sul collettore si ritrovano tali e quali in uscita (il condensatore è un corto circuito per le variazioni brusche di tensione);

2. I livelli a regime corrispondono ad un unico valore possibile di v_o, e cioè v_o=0 ; 3. Gli andamenti temporali sono esponenziali e le costanti di tempo sono le

stesse, quale che sia il punto del circuito che si esamina.

ESEMPIO 3 (II)

Tracciamo ora il luogo dei punti di lavoro.

R₁//r_d R₁//r_i

L H

J K

V_CC V_CC/R₁

i_bK≡i_bJ

i_bH≡i_bL Al salto il condensatore si comporta come un

corto circuito, sicché la retta di carico dinamica avrà la pendenza:

1

1 / / _i a r c t g

R r

⎛ ⎞

− ⎜ ⎟

⎝ ⎠

L H

J K

ibK≡ibJ ibH≡ibL

v_CE

i_C

v_Cv_o

1 t

τ ^τ

²

( )

( )

1 1

2 1

// 1 // 1

oe i

oe d

C R h r

C R h r

τ τ

= ⋅ +

= ⋅ +

Il salto di tensione positivo in ingresso produce infatti un abbassamento della tensione di collettore e quindi un salto negativo ai capi del diodo D che risulta interdetto presentando la resistenza inversa r_i. Il punto di lavoro si porta istantaneamente in K e poi, con legge esponenziale, raggiunge J. Al tempo t=T interviene un nuovo salto di tensione, negativo, in ingresso che produce un salto positivo in uscita. Il diodo, che al tempo T è in condizioni di riposo, è polarizzato ora in diretta e presenterà la corrispondente resistenza r_d. Il punto di lavoro si riporta perciò istantaneamente in L, ottenuto come intersezione della caratteristica i_B=i_BL=cost con la retta di carico dinamica di pendenza:

1

1 // _d a r c tg

R r

⎛ ⎞

− ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Successivamente, sempre con legge esponenziale, il punto di lavoro ritorna in H chiudendo il ciclo.

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OSCILLATORI NON SINUSOIDALI (MULTIVIBRATORI)

Il tipo di oscillatore non sinusoidale che viene esaminato utilizza dispositivi a due terminali a resistenza negativa, quali il diodo Tunnel, Gunn, il transistore unigiunzione (ovvero un transistore bipolare polarizzato in zona di valanga e con la giunzione base-emettitore chiusa su una resistenza R). Quale che sia l’elemento attivo, si può comunque far riferimento a due categorie di resistenze negative, unificando le proprietà dei circuiti che le utilizzano: resistenze negative di tipo N e di tipo S.

v i

tipo N

v i

tipo S

In entrambi i casi è evidente che si tratta di dispositivi non lineari (linearizzati a tratti per comodità) che sarà opportuno analizzare utilizzando le curve caratteristiche e rimanendo nel dominio del tempo.

Si vedrà in particolare che, con opportune scelte circuitali, sarà possibile individuare tre “modi” di funzionamento del dispositivo, realizzando tre diversi tipi di multivibratori,differenti in base al numero di stati stabili che il circuito presenta: monostabile, se lo stato stabile è uno soltanto; bistabile, se esistono due stati stabili^(*); astabile, se non esistono stati stabili.

Quest’ultimo in particolare è il vero e proprio oscillatore non sinusoidale, potendosi i primi due considerare dei sottocasi del funzionamento astabile.

(*) Si vedrà in seguito che gli stati stabili possibili sono tre e non due. Il terzo stato non è comunque raggiungibile dal sistema in condizioni normali di funzionamento.

OSCILLATORI A RILASSAMENTO TIPO DIODO TUNNEL (TIPO N) (I)

Consideriamo il seguente circuito:

i_D

v_D V_CC

L R

Ed osserviamo che, al variare di V_CC e di R, la retta di carico

CC D D

V − ⋅ = R i v

può intersecare la caratteristica del diodo una o tre volte

v_D i_D

R₁

R₂ R₃

R₄

V_CC1 V_CC2 V_CC4 V_CC3

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OSCILLATORI A RILASSAMENTO TIPO DIODO TUNNEL (TIPO N) (II)

Consideriamo le diverse possibilità, partendo dall’equazione differenziale che regola il funzionamento del circuito

CC D D D

V L d i R i v

= dt + ⋅ +

Che poniamo nella forma

CC

'

D

V v L d i

− = dt

dove

v ' = v

_D

+ ⋅ R i

_D

è la proiezione sull’asse delle tensioni del generico punto della caratteristica di coordinate (i_D,v_D) fatta in “direzione R”

v_D i_D

R (i_D,v_D)

R i_D V’

v_D

OSCILLATORI A RILASSAMENTO TIPO DIODO TUNNEL (TIPO N) (III)

Esaminiamo ora il caso seguente supponendo di chiudere l’interruttore dell’alimentazione all’istante t=0. Il punto di lavoro del diodo, inizialmente nell’origine, si muove lungo il tratto 0-H₁ tendendo al punto di lavoro a regime K. Ciò può dedursi

facilmente dal fatto che in ogni istante si ha v_D

i_D

R

V_CC V_CC/R

v’

H₁

H₂ K

CC

'

V > v

_{per cui}

d

_D

0

dt i >

La corrente perciò cresce fino a che, nel punto K, il punto di lavoro si ferma essendo

CC

'

V = v

e quindi

d

_D

0

dt i =

Consideriamo ora il caso in cui il punto K, unica intersezione con la retta di carico, sia localizzato nella zona a R_D<0 e partiamo ancora nell’origine O.

v_D i_D

R

V

H₁

H₂ K

v’ v’ v’

A

B

D

R₁

R₃

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OSCILLATORI A RILASSAMENTO TIPO DIODO TUNNEL (TIPO N) (IV)

Il punto di lavoro tende a portarsi all’intersezione della caratteristica con la retta di carico statica (punto A), ovvero al punto d’incontro della retta corrispondente alla resistenza R₁ e della retta corrispondente alla resistenza R. Giunto in H₁si avrà ancora:

' 1

CC H

V > v

per cui dovrà ancora essere

d

_D

0 dt i >

e il punto di lavoro non potrà seguire il tratto H₁-H₂tendendo a Kperché ciò comporterebbe una

d

_D

0 dt i <

Il punto di lavoro dovrà perciò saltare, portandosi sul terzo ramo della caratteristica (punto B). Il salto avverrà a corrente costante per la presenza dell’induttore L sul circuito. Poiché poi

'

CC B

V < v d

_D

0

dt i <

il punto di lavoro potrà spostarsi verso il basso tendendo al punto C. Giunto in H₂si avrà ancora

' 2

CC H

V < v

e

D

0 d i dt <

E quindi ancora :

E il punto di lavoro non potrà seguire il tratto H₂-H₁ tendendo a K perché ciò comporterebbe

d

_D

0 dt i >

Il punto di lavoro dovrà perciò nuovamente “saltare” sul primo ramo della caratteristica (punto D), riprendendo successivamente a spostarsi verso l’alto (punto A) ripetendo il ciclo indefinitamente (comportamento astabile).

OSCILLATORI A RILASSAMENTO TIPO DIODO TUNNEL (TIPO N) (V)

C v_D

i_D H R

1

H

2

K

A B

D

R₁

R₃

t

t

1 1

2 3

L R R

L R R τ

τ

= +

= + i_D

Le forme d’onda d’uscita sono chiaramente non sinusoidali e si possono ottenere graficamente come nel grafico riportato a fianco.

Ritornando ai salti del punto di lavoro da H₁ a B e da H₂ a D, osserviamo quanto segue. Il punto di lavoro deve, per definizione, appartenere alla caratteristica del dispositivo.

Questo principio è apparentemente contraddetto durante il salto, perché il punto di lavoro abbandona la curva caratteristica.

In realtà il corrispondente ∆i è assorbito dalla capacità parassita presente in parallelo al diodo e normalmente trascurata.

A titolo di esempio è perciò indicato un possibile ciclo di lavoro quando si porti in conto l’effettiva influenza dell’elemento parassita C

∆i_D V_CC

L R

v_D i_D

∆i

∆i

v_D i_D

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OSCILLATORE MONOSTABILE

( V

CC

± Δ − V ) v

D

= ⋅ R i

D

Esaminiamo ora il caso di un’unica intersezione con un ramo a resistenza positiva, R₃ ad esempio, ed osserviamo che il punto K è ancora un punto di lavoro stabile. Partendo dall’origine, viene raggiunto seguendo il luogo indicato nella figura. Supponiamo ora di applicare un impulso di tensione negativo (positivo se l’intersezione è con il tratto di pendenza R₁) di ampiezza sufficiente perché la retta di carico corrispondente alla nuova situazione:

intersechi la caratteristica in un ramo diverso da quello di partenza e di durata tale da consentire al punto di lavoro di raggiungere il punto di rottura H₂ (H₁ se l’intersezione è con R₁). In questo caso il punto di lavoro, raggiunto H₂, salta sul ramo R₁ e prosegue nel ciclo indicato fino a rispostarsi in K dove si ferma. Il comportamento del circuito è tipicamente monostabile, in quanto perturbato dal suo stato stabile, vi torna dopo un’evoluzione temporale che è determinata dalle sue caratteristiche intrinseche e dagli elementi che costituiscono il circuito, ma non dal segnale di ingresso.

v_D i_D

R

H₁

H₂

K R₃ R₁

∆V

v_D

i_D

H₁

H₂ K

t

A

B

C

∆V v_in

t

1 1

2 3

L R R

L R R τ

τ

= +

= +

τ

1

τ

2

OSCILLATORE BISTABILE

Esaminiamo ora il caso di triplice intersezione ed osserviamo, in particolare, che anche l’intersezione con il tratto a R<0 dà luogo ad una condizione di equilibrio stabile. È facile vedere infatti che una perturbazione che allontani da K il dispositivo è contrastata dal circuito che tende a riportare il circuito in K.

Supponiamo ora di essere nel punto K2 e di ripetere le considerazioni fatte per il monostabile. Un impulso negativo di ampiezza ∆V1 e di durata opportuna, sposta il punto di lavoro nel tratto OH1. Il circuito si evolve raggiungendo K1 dove rimane indefinitamente fino a che un nuovo impulso , questa volta positivo, non costringe il dispositivo a portarsi sul ramo a pendenza R3. il circuito si evolverà nuovamente fino a tornare su K2.

Il funzionamento è tipicamente bistabile (K1 e K2 sono i due punti stabili) ed il circuito si porterà alternativamente nei due stati. Come si vede, malgrado K sia un terzo stato stabile, una volta che il circuito se ne allontani non può più tornarvi.

L’oscillogramma ottenuto è riportato a fianco.

i_D

v_D

R

V_CC V_CC/R

H₁

H₂ K

K₁

K₂

R₁ R₃

o

v_D

i_D

H₁

H₂

t

A B

∆V v_in

t

K₁ K

K₂

∆V

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OSCILLATORE A RILASSAMENTO A TRANSISTORE (TIPO S)

Un transistore montato ad emettitore comune con la base a massa tramite una resistenza R_b, presenta nella zona di valanga un tratto ad R_t<0 di tipo S.

R_b

i

v

i

v i

R_b

v

r_c

i

v

Esaminiamo dunque il circuito di fianco, cui corrisponde l’equazione differenziale:

( )

CC c

V R i i v Ri v RC d v

= + + = + + dt

che poniamo nella forma

' CC

V v RC d v

− = dt

Essendo

v’

la proiezione in direzione “R” del generico punto di lavoro (i,v) sull’asse delle ascisse.

Usiamo allora le stesse considerazioni già fatte per il caso R<0 di tipo N: l’evoluzione del circuito sarà studiata sulla base della posizione della tensione v’ rispetto alla tensione di alimentazione V_CC.

R

R C

r_C

V_CC

C R

V_CC S v

i i_c

MULTIVIBRATORE ASTABILE (I)

L’intersezione tra la retta di carico statica V_CC-v=Ri e la caratteristica deve avvenire solo sul tratto a R<0

Supponiamo che il punto di lavoro sia, a t=0, nell’origine e seguiamo l’evoluzione del fenomeno. Il punto di lavoro si muove da 0 verso A, come si vede dal fatto che essendo:

CC

'

V > v d 0

dt v >

sarà anche

Nel punto H₁, per ragioni analoghe, il punto di lavoro non potrà seguire il tratto a R<0 e

“salterà” a tensione costante per la presenza del condensatore, nel terzo ramo della caratteristica (punto B). In tale punto si ha:

'

CC B

V < v d 0

dt v >

sarà anche

( )

( )

1 1

2 3

//

//

C R R C R R τ

τ

= ⋅

= ⋅

v i

V_CC A

V_CC/R

B

C

D

K H₁

H₂

t

t i

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MULTIVIBRATORE BISTABILE (II)

t i

( )

t

( )

1 1

2 3

//

//

C R R C R R τ

τ

= ⋅

= ⋅

v

V_CC

i

A B

C

D

K H₁

H₂ K₁ K₂

τ

1

τ

2

Esaminiamo infine il caso di un multivibratore bistabile. In questo caso il circuito prima di tornare al punto di partenza K₁, si sposta in K₂ da cui si sposta solo in seguito all’intervento di un impulso di segno opposto a quello che lo ha spostato da K₁. L’evoluzione del fenomeno, per quel che riguarda il resto, è analogo a quanto già visto. Il risultato è mostrato in figura.

Consideriamo il caso di un multivibratore monostabile e supponiamo che l’intersezione avvenga con il ramo a R₁>0 (punto K).

Supponiamo inoltre che l’ampiezza e la durata dell’impulso di comando siano opportune. Il punto di lavoro si sposta tendendo in A. Giunto in H₁ “salta” in B per poi proseguire tendendo in C. In H₂ salta nuovamente portandosi in D e prosegue quindi fino a K. Il risultato è mostrato nella figura al fianco

i

C

D H₁

v

V_CC A B

K H₂

τ

1

τ

2

t t i

C D

v

A B

K H₂

Un dispositivo a resistenza negativa, il diodo tunnel ad esempio, può essere utilizzato per realizzare un amplificatore a riflessione.

Compensando la capacità parassita con un induttanza in parallelo, infatti, ed utilizzando un circolatore per separare l’ingresso dalla uscita, si avrà, un coefficiente di riflessione

ρ > 1 essendo

R

_T

– R

₀

R

_T

+ R

₀

ρ = −−−−−−−

R

_T

< 0 R

₀

> 0

con

Di conseguenza, un segnale che entra nella porta 1 , esce dalla porta 2 , viene riflesso dal dispositivo a R<0, rientra amplificato nella porta 2 ed esce dalla porta 3 raggiungendo il carico

1

2 3

Il circolatore è un dispositivo non reciproco che consente ai segnali di “viaggiare” solo

nella direzioneIndicata dalla freccia, garantendo l’isolamento per la circolazione del segnale in direzione opposta

AMPLIFICATORE A RIFLESSIONE

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MIXER

SOMMARIO

‰ Introduzione

‰ Moltiplicazione tra segnali

‰ Mixer con differenziale

‰ Mixer a cella di Gilbert

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MIXER. INTRODUZIONE

In una catena ricevente, il segnale a radiofrequenza viene amplificato da un amplificatore a basso rumore (

LNA

) ed inviato ad un mescolatore (

Mixer

) per la conversione a frequenza più bassa, facendolo “battere” con un segnale generato localmente da un oscillatore (

LO

^).

Successivamente, tra i prodotti del battimento si sceglie una banda, filtrando le altre e, quella prescelta viene amplificata da un amplificatore a frequenza intermedia (

IFA

) e poi mandato all’utilizzatore

LNA IFA

LO Mixer

N.B.In una catena trasmittente si effettua l’operazione inversa scegliendo, all’uscita del mixer, il risultato del battimento a frequenza più alta, che viene inviato allo stadio finale di potenza.

MIXER (I)

2

ds gs gs

i = ⋅ + ⋅a v b v Per moltiplicare tra loro due segnali può essere utilizzato un circuito non lineare, realizzando così, la traslazione di un segnale da un campo di frequenza ad un altro.

i_d

v_gs

( )

o L ds

v = ⋅R i t R_L

i_ds(t) I_DD

+V_DD L₀

V_GG v_rf(t) v_lo(t) Sarà quindi, in generale

( ) ( ) ( )

²

( )

ds DS GG gs gs

I t = I V + ⋅ a v t + ⋅ b v t

Ponendo ora I_Q=I_DS(V_GG) e v_gs(t)= v_rf+ v_lo ,

( )

^{2 2}

2

_r

ds Q rf lo rf l

f o

o l

I t I a v a v b v b

b v v v

+ ⋅

= + ⋅ + ⋅ ⋅

⋅

+ + ⋅

( )

( )

c o s c o s

rf R F R F

lo L O L O

v V t

v V t

ω ω

=

=

Avremo

Assumendo ora sinusoidali le due tensioni v_rf e v_loovvero

Avremo, in questo caso, che i termini al quadrato daranno un contributo in continua ed uno alla seconda armonica,mentre il doppio prodotto darà un contributo alla frequenza somma ed uno alla frequenza differenza

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Più esattamente , lo sviluppo darà, per la parte in continua

(

^{2 2}

)

continua

1

DD Q

2

RF LO

I = I = I + b V ⋅ + V

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2

cos(2 ) c

cos cos 1

2 cos

( s

os 2 ) co

RF L

RF LO RF LO R

ds RF RF LO LO RF LO

F LO RF LO

O

b V V i

t b V V

t a V t a V t b V t V

t

t

ω ω ω ω

ω

ω ω ω

+ ⋅ ⋅ ⋅ ⎡ − ⎤ + ⋅ ⋅ ⋅ +

⎡ ⎤

= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⎣ + ⎦ +

⎡ ⎤

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Un contributo che tra l’altro,tenderà a spostare il punto di lavoro ed in ogni caso aumenterà la potenza fornita dalla batteria), mentre,per la parte in alternata avremo:

( )

o L ds

v = ⋅R i t R_L

i_ds(t) I_DD

+V_DD

L₀

V_GG v_rf(t) v_lo(t)

MIXER (II)

Ne segue che la parte in alternata della corrente

i

_ds

(t)

contiene, tra gli altri, traslato in frequenza in basso ed in alto di una quantità ω_LO

,

il segnale a radiofrequenza ω_RF. Uno di tali segnali, con opportuni filtri potrà essere separato dagli altri ed utilizzato nella catena di trasmissione e/o ricezione di un T/R.

MIXER (III)

+V_DD

( )

( )

1

2

cos cos

o O RF LO

o O RF LO

v V t

v V t

ω ω ω ω

= ⋅ ⎡ ⎣ − ⎤ ⎦

= ⋅ ⎡ ⎣ + ⎤ ⎦

R_L L₁

V_GG v_rf(t) v_lo(t)

C₁ Sostituendo infatti l’induttanza L_o di choke, presente

sul drain, con un circuito risonante si potrà effettuare l’operazione di filtraggio ovvero di scelta di uno dei termini della corrente di drain in modo da ottenere sul carico R_L un segnale alla frequenza voluta. Nel caso in figura, scegliendo L₁e C₁in modo da avere:

1

ω

_{RF LO}

1 L C

1 1

ω = − ω =

trasleremo in basso la frequenza ω_RF, ovvero la porteremo in banda base.

Se invece scegliamo L₁e C₁in modo da avere

2

ω

_{RF LO}

1 L C

1 1

ω = + ω =

trasleremo in alto la frequenza ω_RF, ovvero moduleremo la portante ω_LOcon la banda base.

In ogni caso, l’ampiezza del segnale d’uscita

O L LO RF

V = ⋅ ⋅ R b V ⋅ V

risulterà, tra l’altro, funzione anche del livello dell’oscillatore locale (V_LO).

Il circuito risonante L₁C₁è un corto circuito per tutte le armoniche tranne che per la frequenza di risonanza per cui si comporta come un circuito aperto

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A cura del Prof. F. Giannini, R. Giofrè, M. Imbimbo, P. Longhi, A. Nanni, A. Ticconi

MIXER CON AMPLIFICATORE DIFFERENZIALE (I)

Per moltiplicare tra loro due segnali,, possiamo ricorrere ad un differenziale

ad accoppiamento di emettitore “modulando”

il generatore di corrente

I

₀^.

Ricordiamo infatti che in un transistore, la trasconduttanza è funzione lineare della corrente di polarizzazione ovvero

q

_m

= I

₀

/ V

_T

Perciò, se

I

₀ varia linearmente con la tensione dell’Oscillatore Locale sarà

q

_m

= K

₁

V

_LO

/ V

_T

Il segnale d’uscita, poi è proporzionale a quello d’ingresso, ovvero

V

_out

= q

_m

V

_RF

R

_L

Sarà perciò, ottenendo il prodotto dei due segnali,

Eseguendo l’operazione di battimento con un circuito non lineare, in realtà si producono dei segnali inutili allo scopo (il quadrato dei segnali che facciamo battere), mentre utilizziamo solo il doppio prodotto dell’operazione, che possiamo ottenere direttamente con un moltiplicatore analogico.

V

_CC

i

_C1

R _L R _L

v

_rf

i

_C2

i

_e1

I

_o

( )

Q

₁

Q

₂

v

_out

E i

_e2

v

_lo

V

_out

= K

₁

V

_RF

R

_L

V

_LO

/ V

_T

Q ₁ Q ₂ V _CC I _1C

R _e R _c

v _o R _c

+ - v _s1 +

- v _s2

R _s E R _s

B ₂ B ₁

I _2C

i _b1 i _b2

-I _1e -I _2e

I _ET

-V _EE

Come è noto, nell’amplificatore differenziale con accoppiamento d’emettitore abbiamo:

(

1 2

) (

1 2

)

1

e e E T c c

F

I I I I I

− + = = α +

dove, assumendo uguali le due correnti di saturazione inversa I_s1= I_s2dalle

( ) ( )

1

ln

1 1 2

ln

2 2

be T c s be T c s

V = V I I V = V I I

avremo:

1 2

1 2

exp

^{be be}

exp

^id

c c

T T

V V V

I I

V V

⎛ − ⎞ ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

e quindi:

1 2

1 1

1 exp 1 exp

c c F ET

id id

T T

I I I

V V

V V

α

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

+ = ⎜ ⎛ ⎞ + ⎛ ⎞ ⎟

+ − + +

⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟

⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎟

⎝ ⎠

MIXER CON AMPLIFICATORE DIFFERENZIALE (II)

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MIXER CON AMPLIFICATORE DIFFERENZIALE(III)

Assumendo infatti

I

_ET

=I

₀

+ΔI

₀^:

( ) ( )

( )

⁰

( ) ( )

0

2 2 4

4 4

F ET lo F ET

C lo

T T

F F

lo rf lo

T T

V t

I I

I tgh V t

V V

I V I

V V t V t

t V

α α

α α

⎛ ⎞

Δ = ⎜ ⎟ =

⎝ ⎠

= +

con un termine quindi che contiene il prodotto

V

_rf

*V

_lonella tensione

V

_out

(t)=2ΔI

_C

R

_L

V_out=2R_LΔI_C

1:1

V_id/2 V_id/2

V_1be I_1e I_2e V_2be

R_L R_L

-V_EE

I_1C=I_CC+ΔI_C I_2C=I_CC-ΔI_C ΔI_C

I_ET=I₀+ΔI₀ R₁

R₂

R₃ C_cpli

C_cple V_rf(t)

V_lo(t)

Alimentando ora il differenziale nel modo indicato ( modulando in particolare la corrente

I

_ET con la tensione

V

_rf) e variando

q

_m

= I

_ET

/ V

_T , otteniamo il voluto mixing dei segnali.

Si avrà:

+V_CC

K

₁

MIXER A CELLA DI GILBERT

Combinando opportunamente due celle

differenziali usate per moltiplicare v_RF e v_LO, si ha:

( ) ( )

0 0

, ,

2 2

2 2

F rf

T

F A B L O

A B

T

V t

I I tg h

V

I V t

I tg h

V α

α

⎛ ⎞

Δ = ⎜ ⎜ ⎝ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ ⎞

Δ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

R_L R_L

1 1

2 A 2 B

A B

I I

I I

+ + Δ − Δ

1 1

2 A 2 B

A B

I I

I I

+

+ Δ − Δ ^{Vout=2RLΔIout}

12IA+ ΔIA

12IA−ΔIA 1

2IB−ΔIB

12IB+ ΔIB

IA

Δ ΔI_B

out A B

I I I

Δ =Δ −Δ

I

0

Δ

12 0 0

IA= I + ΔI I_A =¹_{2 0}I − ΔI₀

V

_LO

V

_RF

I

₀

da cui:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

0 0

2 0 2

2 2

2 2 2

8

2 2

F LO

F A B LO

out A B

T

L rf

r

O L

f T

T

F F O

T T

I I V t

I I I tgh

V

V t V t V t

I I

tgh tgh tgh

V

t

V

I t V

V

V

α V α

α α

⎛ ⎞

Δ =Δ −Δ = − ⎜ ⎟ =

⎝ ⎠

⎛ ⎞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= Δ ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ = ⎜ ⎝ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ ⎜ ⎟ ⎟ ⎠

che dipende solo dal prodotto dei due segnali e che ricade nei casi precedenti ricordando che:

( ) ²

out L out

v t = R Δ I

da cui è facile filtrare il contributo ω ± ω voluto.

- +

IV / 33

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Nelle applicazioni viste, i moltiplicatori analogici eseguono in realtà il prodotto delle tangenti iperboliche delle tensioni interessate.

Ne segue che il prodotto dei due segnali si ha solo con segnali piccoli rispetto a V_T( 26 mV ). Per estendere la dinamica dei moltiplicatori, si può ricorrere ad una predistorsione dei segnali, con un circuito, ad esempio, che dia in uscita la funzione inversa della tangente iperbolica (

tgh

^-1

(v)

).

Ponendo infatti:

V

_CC

v

_in

I

₁

v

_out

Q

₁

Q

₂

I

₂

Convertitore tensione-corrente

DINAMICA DEL MIXER(I)

I

₁

= I

₀

+ g

_m

V

_in

I

₂

= I

₀

- g

_m

V

_in

Δ V=V

_out

= V

_T

ln((I

₀

+ g

_m

V

_in

)/I

_s

)-V

_T

ln((I

₀

- g

_m

V

_in

)/I

_s

) Δ V=V

_out

= V

_T

ln((I

₀

+ g

_m

V

_in

)/ (I

₀

- g

_m

V

_in

))

Δ V=V

_out

= 2V

_T

tgh

^-1

(g

_m

V

_in

/ I

₀

)

Si ottiene per la tensione d’uscita

Ovvero:

Da cui:

tgh

^-1

(v)= ½ ln((1+v)/(1-v))

Ricordiamo che vale la:

V

_rf

V

_lo

Tgh

^-1

(V

_rf

)

Tgh

^-1

(V

_lo

)

V

_out

Avremo, in questo caso,

Δ V=V

_out

= I

₀

(g

_m1

V

_rf

/ I

₀₁

)(g

_m2

V

_lo

/ I

₀₂

)

I

₀

Garantendo il legame lineare voluto

DINAMICA DEL MIXER (II)

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Università degli Studi di Roma Tor Vergata Dipartimento di Ing. Elettronica

corso di

ELETTRONICA APPLICATA Prof. Franco GIANNINI

AMPLIFICATORI

OPERAZIONALI

SOMMARIO

‰ Introduzione

‰ Caratteristiche degli Op. Amp.

‰ Amplificatore invertente

‰ Amplificatore non invertente

‰ Amplificatore differenziale

‰ Integratore e derivatore

‰ Integratore e derivatore reali

‰ Banda passante

‰ Generatori di tensione di riferimento

‰ Alimentatore stabilizzante