Urti su scale diverse + urto Urti

Urti

urto :

su due o più corpi in contatto tra loro

[approssimazione impulsiva: trascuro forze esterne]

m

m

Fr21

Fr12

Urti su scale diverse

He4

++

p

+

meteor-crater 1200 m

∆t ≈ 4 ms

α Ν

r risultato di un contatto fisico

r risultato di una interazione tra particelle

Quantità di Moto negli Urti

per ogni tipo di urto

la quantità di moto totale si conserva

L esercita su R forza F(t) R esercita su L forza –F(t) F(t) e –F(t) sono

coppia di forze azione e reazione:

r intensità varia nel tempo

r intensità è uguale istante per istante

∫

∫

−

=

∆

=

∆

i

i i

i

t

t L

t

t R

dt t F p

dt t F p

)) ( (

) (

t F

F(t)

- F(t)

= 0

∆ +

∆

∆

−

=

∆

L R

L R

p p

p p

costante p

p

p r = r

+ r

=

le forze impulsive sono interne al sistema,

quindi NON influenzano la quantità di moto totale

Energia negli Urti

l’energia cinetica NON si conserva sempre negli urti posso avere conversione in

r energia termica

r energia acustica

r energia potenziale elastica (deformazione dei corpi)

r energia rotazionale

urto elastico:

energia cinetica totale non cambia

[es. urto fra bocce]

urto anelastico:

energia cinetica totale non si conserva

[es. urto palla di gomma su pavimento]

urto perfettamente anelastico:

massima trasformazione energia cinetica totale,

i due corpi rimangono uniti

[es. urto palla di plastilina su pavimento]

f tot i

tot

K

K ) ( )

( =

...

) (

)

( K

= K

+ E

+ E

+

2 , 1

,

) (

) (

i i

f

i tot f

tot

m m

m

K K

+

=

≠

in tutti i casi la quantità di moto si conserva sempre

http://ww2.unime.it/weblab/ita/wf2/urti/urti_ita.htm

Urti in UNA dimensione urto perfettamente anelastico

[conservo solo quantità di moto]

prima

dopo

le particelle dopo l’urto

rimangono unite con velocità v_f

f i

i

f i

v m m v

m v

m

p p

r r

r

r r

) ( _{1 2}

2 2 1

1 + = +

=

) ( _{1 2}

2 2 1

1

m m

v m v

v_f m ^{i i} +

= r + r r

esempio: pendolo balistico

dispositivo per determinare velocità dei proiettili

M v m V m

) ( +

= conservazione

quantità di moto

gh M m V

M

m ) ( )

2 (

1 ₂

+

=

+ conservazione

energia meccanica m gh

M v m+ 2

=

cm h

kg M

g m

s m v

3 . 6

4 . 5 5

. 9 /

630

=

=

=

=

trasformo alta velocità proiettile in bassa velocità corpo pesante [di facile misurazione]

urto elastico

[conservo quantità di moto ed energia cinetica]

f f

i i

f i

v m v

m v

m v

m

p p

2 2 1

1 2

2 1

1r r r r

r r

+

= +

prima =

dopo

(1)

2 2 2 2

1 1 2

2 2 2

1

1 2

1 2

1 2

1 2

1

) ( ) (

f f

i i

f tot i

tot

v m v

m v

m v

m

K K

+

= +

=

bersaglio mobile

) (

)

( _{1 1 2 2 2}

1 i f i f

f

i p m v v m v v

pr = r ⇒ − = − −

) (

) (

) (

)

(K_{tot i} = K_{tot f} ⇒ m₁ v₁²_i −v₁²_f = −m₂ v₂²_i −v₂²_f

divido le due precedenti equazioni e sostituisco … )

( )

(v_1i +v_1f = v_2i +v_2f

i i

f

i i

f

m v m

m v m

m m

v m

m v m

v m m m

m v m

2 2 1

1 1 2

2 1

2 1

2 2 1

2 1

2 1

2 1

1

2

2

+ + −

= +

+ + +

= −

) )(

( )

)(

( _{1 1 1 1 2 2 2 2 1}

1 v i v f v i v f m v i v f v i v f

m + − = − + −

N.B. note:

m₁, m₂ v_1i, v_2i

conservazione p (1) velocità relative (2)+

velocità relative uguali ed opposte prima e dopo l’urto

(2) (v_1i −v_2i) = −(v_1f −v_2f )

2_i

≠ 0

v

bersaglio fisso

f f

i f

i p m v v m v

pr = r ⇒ ₁( ₁ − ₁ ) = _{2 2}

2 2 2 1

1 1 1

1( )( )

) ( )

(K_{tot i} = K_{tot f} ⇒ m v_i +v _f v_i −v _f = m v _f

divido le due precedenti equazioni e sostituisco …

i f

i f

m v m v m

m v m

m v m

1 2 1

1 2

1 2 1

2 1

1

2

= +

+

= −

2_i

= 0 v

r masse uguali [m₁=m₂]

i f

f

v v

v

1 2

1 0

=

= scambio di velocità

[es. urto fra bocce/palle da biliardo]

r bersaglio massiccio [m₂>>m₁]

proiettile rimbalza indietro

[es. urto palla golf su palla cannone palla da baseball su mazza]

i f

i f

m v v m

v v

1 2

1 2

1 1

2 



 



= 

−

=

r proiettile massiccio [m₁>>m₂]

i f

i f

v v

v v

1 2

1 1

= 2

= proiettile indisturbato, bersaglio scatta in avanti

[es. urto palla cannone su palla golf]

http://ww2.unime.it/weblab/ita/wf2/urti/urti_ita.htm

esempi: urto elastico

i f

f

v v

v

1 2

1 0

= urto fra palle di biliardo uguali: =

pendolo multiplo:

rapida successione di urti elastici:

ad ogni urto una palla si ferma e palla successiva si muove

con stessa velocità

esercizi urti in una dimensione

Urti in DUE dimensioni

prima dopo

urto non frontale (corpi non allineati

nella direzione del moto)

dopo urto i corpi non si muovono sullo stesso asse

⇒

conservazione quantità di moto:

f f

i i

f i

v m v

m v

m v

m

p p

2 2 1

1 2

2 1

1r r r r

r r

+

= +

=

per componenti:

fy fy

iy iy

fx fx

ix ix

v m v

m v

m v

m

v m v

m v

m v

m

2 2 1

1 2

2 1

1

2 2 1

1 2

2 1

1

+

= +

+

=

+

⇒

2 2 1

1

2 2 1

1 1

1

f f

f f

ix

v m v

m

v m v

m v

m

−

= +

+

= +

conservazione energia cinetica

[per urti elastici solamente!!!]

2 2 2 2

1 1 2

2 2 2

1

1 2

1 2

1 2

1 2

1

f f

i

i m v mv m v

v

m + = +

esercizi urti in due dimensioni

Centro di Massa

palla lanciata in aria:

traiettoria parabolica [tipo moto proiettile]

mazza da baseball lanciata in aria:

moto complicato e diverso per le varie parti mazza = sistema di punti materiali

centro di massa: punto che si muove lungo traiettoria parabolica [tipo moto proiettile]

centro di massa

punto che si muove come se

4

4

permette di descrivere

moto complessivo del sistema meccanico

esempio: sistema di due particelle collegate da sbarra rigida [priva di massa]

M

< M

r applico F vicino ad M₁ sistema ruota in

senso orario

r applico F vicino ad M₂ sistema ruota in

senso anti-orario

r applico F vicino al CM sistema trasla

si muove come se tutta la massa fosse concentrata nel CdM

individuo centro di massa con questo esperimento !!

Posizione del centro di massa

posizione media della massa del sistema

2 1

2 2 1

1

m m

x m x

x m

CM def

+

= +

esempio:

x₁=0, x₂=d

se m₁ = m₂ ⇒ x_CM= (x1+x2)/2 metà strada

se m₂ = 2m₁ ⇒ x_CM= 2/3 d vicino particella pesante

sistema n particelle in 3 dimensioni

M x m m

x m m

m m

x m x

m x

m x

x m ^{i i}

i i i n

n n

CM def

∑

∑ ∑

+ = + +

+ + +

= +

...

...

2 1

3 3 2

2 1

1

M y m m

y m m

m m

y m y

m y

m y

y m ^{i i}

i i i n

n n

CM def

∑

∑ ∑

+ = + +

+ + +

= +

...

...

2 1

3 3 2

2 1

1

M z m m

z m m

m m

z m x

m z

m x

z m ^{i i}

i i i n

n n

CM def

∑

∑ ∑

+ = + +

+ + +

= +

...

...

2 1

3 3 2

2 1

1

y x

z P(x_i,y_i,z_i) particella di coordinate (x_i,y_i,z_i) vettore posizione:

k z j y i

x

rr_i = _ir + _i r + _i r

rr

sistema di n particelle

∑

∑ ∑ ∑

=

=

+ +

= +

+

=

n

i

i i CM

i i i

i i i

i i

i CM

CM CM

CM

r M m

r

M

z m y

m x

m k

z j y i x r

1

1 r

r

r r r r

vettore posizione CM

nel linguaggio dei vettori:

corpi rigidi

∫

= r dm

rr_CM M1 r

∑ ∫

∑ ∫

∑ ∫

→

∆

→

∆

→

∆

∆ →

=

∆ →

=

∆ →

=

dm M z

M z z m

dm M y

M y y m

dm M x

M x x m

i i i

m i i CM def

m i i CM def

m i i CM def

1 1 1

0 0 0

N.B. se oggetto possiede simmetria

CM si trova su centro, asse o piano di simmetria

Moto di un Sistema di Particelle

N.B. sistema isolato:

= 0

=

∑

^⇒

n n

CM

m r m r m r

r

M r =

r

+

r

+ ... + r

n n

CM

m v m v m v

v

M r =

r

+

r

+ ... + r

n n

CM

m a m a m a

a

M r =

r

+

r

+ ... + r

Il CM è utile nella descrizione del moto del sistema

∑

= ⁿ

i

i i

CM m r

r M

1

1 r

r

dt r v_i drⁱ

r = dt

v a_i drⁱ

r = le forze interne

si elidono a due a due [azione e reazione]

∑

= +

+ +

=

CM

F F F F

a

M r r

r

... r r

il CM si muove come particella di massa M su cui agisce la risultante delle forze esterne

dt p a d

M

F

r

r r

=

∑ =

esempi: moto centro di massa

fuoco artificiale

g

est

F

F r r

=

CM segue

traiettoria parabolica [la stessa del razzo inesploso]

ballerina che fluttua in aria:

traiettoria testa-busto orizzontale !!!

[non parabolica

come nel lancio di un corpo]

CM segue

traiettoria parabolica

esercizi centro di massa

Moto di un Sistema di Particelle

Il CdM è utile nella descrizione del moto del sistema

M v m dt

r m d M

dt r

v^r_CM ⁼ d^{rCM = 1}

∑

∑

tot i

i i

CM m v p p

v

Mr =

∑ ^⇓

∑

quantità di moto totale è pari alla massa totale per la velocità del CdM [moto particella massa M, velocità v_CM]

∑

∑

=

= ^CM _i ⁱ _{i i}

CM ma

M dt

v m d M

dt v

ar dr 1 r 1 r

∑

∑

= _{i i i}

CM m a F

a

Mr

⇓

somma forze esterne

(quelle interne si elidono a coppie)

dt p a d

M

F_{est CM} r^tot r r

=

∑

il CdM si muove come particella di massa M su cui agisce la risultante delle forze esterne

sistema isolato:

∑

⇒

conservazione quantità di moto propulsione di un razzo

[sistema a massa variabile]

durante il moto si conserva la massa del sistema [massa combustibile + massa navetta]

f

i p

p =

0 )

)(

( + + <

+

−

= dM U M dM v dv con dM

Mv

U dv

v

u = ( + )− velocita` relativa prodotti di scarico

dt M dv dt u

dM

dv M u dM

=

−

=

−

ove R=-dM/dt rapidita`

consumo conbustibile

Ma

Ru =

∫

∫

−

=

f

i f

i

M

M v

v M

u dM dv

M u dM dv

f i i

f M

u M v

v − = ln (II⁰ equazione del razzo)

devo diminuire la massa finale per avere aumento di velocita`