ISTITUZIONI DI MATEMATICA (CANALE M-Z) - DESIGN 21/09/2020 Prof. S. Creo Tempo di svolgimento della prova: 75 minuti

ISTITUZIONI DI MATEMATICA (CANALE M-Z) - DESIGN 21/09/2020

Prof. S. Creo

Tempo di svolgimento della prova: 75 minuti

Risolvere per esteso i seguenti esercizi, motivando adeguatamente i procedi- menti seguiti e mettendo in evidenza ogni risposta.

1) (8 punti) Data la seguente funzione

f (x) = 5x²+ 35x + 50 2x²− 24x + 72, determinarne il dominio, il segno e gli eventuali asintoti.

N.B.: dopo averli determinati, scrivere le equazioni degli asintoti della funzione.

2) (10 punti) Determinare se esistono valori di α ∈ R tali che la seguente funzione sia continua nel punto x = 0:

f (x) =











arctg(√

x³) tg(2x³) (2 − 2 cos(x²)) log(1 +√

x) x > 0,

α⁸sen(5x) + (x + 1)α²− α cos(−6x) x ≤ 0.

3) (12 punti) Data la funzione

f (x) = arctg x + log(x²+ 1),

trovare il suo dominio D, studiarne la monotonia in D, individuare gli eventuali punti di massimo e di minimo di f (x) in D e nell’intervallo I = [0, 10] e dire se sono assoluti o relativi. Studiare inoltre la concavit`a e la convessit`a di f (x).