Teoria:  funzioni  reali  di  più  variabili  

Mattia  Natali  

  1  

Teoria:  funzioni  reali  di  più  variabili  

µ Definizioni:  

Ø Derivate  parziali  (caso  bidimensionale):  

§

∂f

∂x ( x

₀

, y

₀

) ^{= lim}

_h→0

^{f (x}

⁰

^{+ h, y}

⁰

^{) − f x} (

⁰

^{, y}

⁰

)

h

^;  

§

∂f

∂y ( x

₀

, y

₀

) ^{= lim}

_k→0

^{f (x}

⁰

^{, y}

⁰

^{+ k) − f x} (

⁰

^{, y}

⁰

)

k

^.  

§ Osservazione:  per  poter  calcolare  le  derivate  parziali  di  

f

 in  un  punto  

x

⁰



,  è  necessario  che   anche  il  punto  incrementato  appartenga  al  dominio  di  

f

.  Questo  è  certamente  vero  se  il   dominio  di  

f

 è  un  insieme  aperto.  

Ø Funzione  derivabile:  una  funzione  

f : A ⊆ 

ⁿ

→ 

 si  dice  derivabile  in  un  punto  del  suo  dominio   se  in  quel  punto  esistono  tutte  le  sue  derivate  parziali;  si  dice  derivabile  in  

A

 se  è  derivabile  in  ogni   punto  di  

A

.  

§ Osservazione:  la  derivabilità  in  due  (o  più)  variabili  non  implica  né  la  continuità  né  l’esistenza   del  piano  tangente.  

Ø Gradiente:  è  il  vettore  delle  sue  derivate  parziali  ∇f x

( )

⁼ _∂x^∂f

1

x

( )

^, _∂x^∂f

2

x

( )

^,…, _∂x^∂f

n

x

⎛

( )

⎝⎜

⎞

⎠⎟^.   Ø Differenziabilità:  sia  

f : A ⊆ 

ⁿ

→ 

 con  

A

 aperto  e  sia  

x

⁰

 ∈A

.  Diremo  che  

f

 è  differenziabile  

in  

x

⁰



 se  esiste  il  limite  

lim

h

→0

f x 

₀

+ h 

( ) ^{− f x} ( ) ^

⁰

^{− ∇f x} ( ) ^

⁰

^{⋅ h }

h  = 0

.  

§ Caso  

n = 2

:  

f

 è  differenziabile  in  

( x

₀

, y

₀

)

 se  esiste  il  limite

h, k

lim

( )^{→ 0,0}( )

f x (

₀

+ h, y

0

+ k ) ^{− f x ⎧} ⎨ (

⁰

^{, y}

⁰

) ^{+ ∂} _∂x ^f ( ^x

⁰

^{, y}

⁰

) ^{h + ∂} _∂y ^f ( ^x

⁰

^{, y}

⁰

) ^k

⎩

⎫ ⎬

⎭

h

²

+ k

²

= 0

.  

§ Osservazione:  dimostrare  la  differenziabilità  con  la  definizione  risulta  abbastanza  noioso,   fortunatamente  c’è  una  condizione  sufficiente  (ma  non  necessaria)  di  differenziabilità  à  se  le   derivate  parziali  di  

f

 esistono  e  sono  continue  in  un  intorno  di  

x

⁰



,  allora  

f

 è  differenziabile   in  

x

⁰



.  

Ø Differenziale:  se  

f

 è  differenziabile  in  

x

⁰



,  si  dice  differenziale  di  

f

 calcolato  in  

x

⁰



 la  funzione   lineare  

df x 

₀

( ) ^{: }

ⁿ

^{→ }

 definita  da  

df x 

₀

( ) ^{: h   ∇f x} ( ) ^

⁰

^{⋅ h }

^.  

Ø Piano  tangente  (caso  bidimensionale):  siano  

f : A ⊆ 

²

→ 

 con  

A

 aperto  e  

( x

₀

, y

₀

) ^∈A

 in  cui  

f

 sia  differenziabile,  allora  

z = f x (

₀

, y

₀

) ⁺ _∂x ^∂f ( ^x

0

, y

₀

) ( ^{x − x}

0

) ^{+ ∂f} _∂y ( ^x

0

, y

₀

) ( ^{y − y}

0

)

 ^è  

l’equazione  del  piano  tangente  in  

( x

₀

, y

₀

)

^.  

Ø Derivata  direzionale:  siano  

f : A ⊆ 

ⁿ

→ 

 con  

A

 aperto  e  sia  

x

⁰

 ∈A

 e  

v

 un  versore.  Si  dice   derivata  direzionale  di  

f

 rispetto  al  versore  

v

,  nel  punto  

x

⁰



,  il  limite  

D_vf x₀

( )

^{= lim}t→0

f x₀ + tv

( )

^{− f x}

^{( )}

^0

t  purché  esista  finito.  

Mattia  Natali  

  2  

§ Osservazione:  grazie  al  teorema  della  formula  del  gradiente  che  vedremo  più  avanti  possiamo   dire  che  la  derivata  direzionale  è  anche  il  prodotto  scalare  del  gradiente  con  il  versore  à  

D

_v

f x 

₀

( ) ^{= ∇f x} ( ) ^

⁰

^{⋅ v}

^.  

Ø Classi:  diremo  che  una  funzione  

f : A ⊆  → 

,  con  

A

 aperto,  è  di  classe  

C

^k

( ) A

 se  tutte  le   derivate  parziali  fino  all’ordine  

k

 esistono  e  sono  continue  in  

A

.  

Ø Multiindice:  chiamiamo  multiindice  (a  

n

 componenti)  ogni  

n

-­‐upla  di  interi  non  negativi  

α = α (

₁

, α

₂

,…,α

_n

)

.  L’intero  

α = α

1

+ α

2

+…+ α

n  si  chiama  altezza  del  multiindice  

α

 à  data   una  funzione  

f ∈C

^k

( ) A

 si  pone  allora,  se  

α ≤ k

,  

D

^α

f x 

( ) ⁼ _∂x ^∂f

^α

( ) ^{x  = ∂}

^α

^{f x} ( ) ^

∂

x₁ α₁

∂

x₂

α₂

…∂

x_n

α_n  per  ogni  

x ∈A

.  Il  numero  

α

 è  l’ordine  della  derivata.  

§ Nota:  la  notazione  multiindice  presuppone  che  l’ordine  in  cui  eseguiamo  le  derivate  sia   indifferente  (teorema  di  Schwarz).  

Ø Differenziale  secondo:  se  

f ∈C

²

( ) A

 ^e  

_x

0

 ∈A

,  si  dice  differenziale  secondo  di  

f

 in  

x

⁰



 la  

funzione  

d

²

f x 

₀

( ) ^{: }

ⁿ

^{→ }

 definita  da  

d

²

f x 

₀

( ) ^{: h  } _∂x ^∂

²

^f

i

∂

_j

 x

₀

( ) ^h

ⁱ

^h

^j

j=1

∑

n i=1

∑

n .  Per  il  caso  

bidimensionale  il  gradiente  assume  la  forma:  

d²f x

(

₀, y₀

)

^{= fxx}

(

^{x0, y0}

)

^{h2+ 2 fxy}

(

^{x0, y0}

)

^{hk+ fyy}

(

^{x0, y0}

)

^k2.  

§ Matrice  hessiana:  i  coefficienti  

∂

²

f

∂x

_i

∂

_j

x 

₀

( )

 che  compaiono  nel  differenziale  secondo  possono   essere  ordinati  in  una  matrice  

n × n

 detta  matrice  hessiana  di  

f

 in  

x

⁰



.  Se  

f

 è  una  funzione  

di  due  variabili  H_f

(

x₀, y₀

)

^{= fxx}

(

^{x0, y0}

)

^fxy

(

x₀, y₀

)

f_yx

(

x₀, y₀

)

^fyy

(

^{x0, y0}

)

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟.  Per  il  teorema  di  Schwarz  (si  veda  

più  avanti),  se  

f

 è  di  classe  

C

²

( ) A

 la  matrice  hessiana  è  simmetrica  in  ogni  punto  di  

A

.    

µ Teoremi:  

Ø Teorema  di  Weierstrass:  Sia  

E ⊂ 

ⁿ  un  insieme  chiuso  e  limitato  e  

f : E → 

 sia  continua.  

Allora  

f

 ammette  massimo  e  minimo  in  

E

.  

Ø Teorema  degli  zeri:  Sia  

E

 un  insieme  connesso  di  



^{n  e}  

f : E → 

 sia  continua.  Se  

x 

,  

y



 sono   due  punti  di  

E

 tali  che  

f x 

( ) ^{> 0}

 ^e  

^{f y} ( ) ^{ < 0}

,  allora  esiste  un  terzo  punto  

z 

∈E

 in  cui  

f

 si   annulla.  In  particolare,  lungo  ogni  arco  di  curva  continua  (contenuto  in  

E

)  che  congiunge  

x 

 e  

y



,   c’è  almeno  un  punto  in  cui  

f

 si  annulla.  

Ø Teorema  condizione  sufficiente  di  differenziabilità:  siano  

f : A ⊆ 

ⁿ

→ 

,  con  

A

 aperto  e  

x

⁰

 ∈A

.  Supponiamo  che  le  derivate  parziali  di  

f

 esistano  in  un  intorno  di  

x

⁰



 e  siano  continue  in  

x

⁰



.  Allora  

f

 è  differenziabile  in  

x

⁰



.  In  particolare,  se  le  derivate  parziali  di  

f

 esistono  e  sono   continue  in  tutto  

A

,  allora  

f

 è  differenziabile  in  tutti  i  punti  di  

A

.  

Ø Teorema  formula  del  gradiente:  sia  

f : A → 

 con  

A

 aperto  in  



^n,  

f

 differenziabile  in  

x

⁰

 ∈A

.   Allora  per  ogni  versore  

v

 esiste  la  derivata  direzionale  

D

_v

f x 

₀

( )

 e  vale  l’identità:  

Mattia  Natali  

  3  

D

_v

f x 

₀

( ) ^{= ∇f x} ( ) ^

⁰

^{⋅ v =} _∂x ^∂f

i

x

₀

( )  ^v

ⁱ

i=1

∑

n .  Tutte  le  derivate  direzionali  risultano  così  combinazione   lineare  delle  derivate  parziali.  

§ Corollario  (direzioni  di  massima  e  minima  crescita):  sia  

f : A → 

 con  

A

 aperto  in  



^n,  

f

  differenziabile  in  

x

⁰

 ∈A

.  Allora  il  vettore  

∇f x 

₀

( )

 indica  la  direzione  (e  il  verso)  di  massimo   accrescimento  di  

f

,  ossia  la  direzione  corrispondente  alla  massima  derivata  direzionale;  

−∇f x 

₀

( )

 è  la  direzione  corrispondente  alla  minima  derivata  direzionale.  Nella  direzione   ortogonale  al  gradiente  le  derivate  direzionali  sono  nulle.  

Ø Teorema  di  Schwarz:  sia  

f : A ⊆ 

ⁿ

→ 

 con  

A

 aperto.  Supponiamo  che  le  derivate  seconde   miste  

f

_x

ix_j

, f

_x

jx_i  esistano  in  un  intorno  di  un  punto  

x

⁰



 e  siano  entrambe  continue  in  

x

⁰



;  allora   esse  coincidono  in  

x

⁰



.  In  particolare,  se  le  derivate  seconde  miste  

f

_x

ixj

, f

_x

jxi  esistono  e  sono   continue  in  

A

,  allora  esse  coincidono  in  tutto  

A

.  

§ Nota:  Una  funzione  che  ha  tutte  le  derivate  parziali  seconde  continue  in  un  aperto  

A

 si  dice  di   classe  

C

²

( ) A

^.  

Ø Formula  di  Taylor  con  il  resto  secondo  Peano:  sia  

f ∈C

²

( ) A

.  Per  ogni  

x

⁰

 ∈A

 vale  la  formula:  

f x 

₀

+ h 

( ) ^{= f x} ( ) ^

⁰

⁺ _∂x ^∂f

i

x

₀

( )  ^h

ⁱ

i=1

∑

n

^{+ 1} _{2 ∂x} ^∂

²

^f

i

∂x

_j

x 

₀

( ) ^h

ⁱ

^h

^j

i, j=1

∑

n

^{+ o h} ( ) ^

²  per  

h 

→ 0 

.  

§ Formula  estesa  di  Taylor  nel  caso  bidimensionale:  

f x (

₀

+ h, y

₀

+ k ) ^{= f x} (

0

, y

₀

) ^{+ ∂f} _∂x ( ^x

0

, y

₀

) ^{h + ∂f} _∂y ( ^x

0

, y

₀

) ^{k +}

+ 1 2

∂

²

f

∂x

²

( x

₀

, y

₀

) ^h

²

^{+ 2} _∂x∂y ^∂

²

^f ( ^x

0

, y

₀

) ^{hk + ∂} _∂y

²

^f

2

( x

₀

, y

₀

) ^k

²

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ + o h (

²

+ k

²

)

 per  

( ) h, k ^{→ 0,0} ( )

^.  

Ø Teorema  di  Fermat:  sia  

f : A ⊆ 

ⁿ

→ 

,  con  

A

 aperto  e  

x

⁰

 ∈A

 un  punto  di  minimo  o  massimo   locale  per  

f

.  Se  

f

 è  derivabile  in  

x

⁰



,  allora  

∇f x 

₀

( ) ^{= 0 }

.  I  punti  in  cui  il  gradiente  di  una  funzione  

f

 si  annulla  si  dicono  punti  critici  o  stazionari.  

Ø Teorema  moltiplicatori  di  Lagrange:  siano  

f , g ∈C

¹

( ) 

^{2  e}  

( ^x

^∗

^{, y}

^∗

)

 punto  di  estremo  vincolato   per  

f

 sotto  il  vincolo  

g x, y ( ) ^{= b}

.  Se  

( x

^∗

, y

^∗

)

 è  regolare  per  il  vincolo,  cioè  

∇g x (

^∗

, y

^∗

) ^{≠ 0,0 ( )}

^,  

allora  esiste  

λ

^∗

∈

 (detto  moltiplicatore  di  Lagrange)  tale  che:  

∇f x (

^∗

, y

^∗

) ^{= λ}

^∗

^{∇g x} (

^∗

^{, y}

^∗

)

^.  

§ Osservazione:  introducendo  la  funzione  

Λ = Λ x, y, ( λ )

,  detta  Lagrangiana,  definita  da:  

Λ x, y,

( λ )

^{= f x, y}

( )

⁻

λ

_⎡⎣g x, y

( )

^{− b}_⎤⎦,  il  teorema  afferma  che  se  

( x

^∗

, y

^∗

)

 è  un  punto  di   estremo  vincolato,  allora  esiste  

λ

^∗  tale  che  il  punto  

( x

^∗

, y

^∗

, λ

^∗

)

 sia  punto  critico  libero  per  

Λ

.   Infatti  i  punti  critici  di  

Λ

 sono  soluzioni  del  sistema  

Λ

_x

= f

_x

− λg

x

= 0 Λ

_y

= f

_y

− λg

y

= 0 Λ

_λ

= b − g = 0

⎧

⎨ ⎪

⎩ ⎪

.  La  teoria  sviluppata  

indica  il  seguente  modo  di  procedere,  noto  come  metodo  dei  moltiplicatori  di  Lagrange:  

• Si  isolano  gli  eventuali  punti  non  regolari  dell’insieme  

g x, y ( ) ^{= b}

,  che  vanno  esaminati  a   parte;  

• Si  cercano  i  punti  critici  liberi  della  Lagrangiana,  trovando  le  soluzioni  del  sistema  appena   scritto;  

Mattia  Natali  

  4  

• Si  determina  la  natura  dei  punti  critici,  facendo  uso  anche  del  teorema  di  Weierstrass.