Mattia Natali
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Teoria: funzioni reali di più variabili
µ Definizioni:
Ø Derivate parziali (caso bidimensionale):
§
∂f
∂x ( x
0, y
0) = lim
h→0f (x
0+ h, y
0) − f x (
0, y
0)
h
;§
∂f
∂y ( x
0, y
0) = lim
k→0f (x
0, y
0+ k) − f x (
0, y
0)
k
.§ Osservazione: per poter calcolare le derivate parziali di
f
in un puntox
0
, è necessario che anche il punto incrementato appartenga al dominio dif
. Questo è certamente vero se il dominio dif
è un insieme aperto.Ø Funzione derivabile: una funzione
f : A ⊆
n→
si dice derivabile in un punto del suo dominio se in quel punto esistono tutte le sue derivate parziali; si dice derivabile inA
se è derivabile in ogni punto diA
.§ Osservazione: la derivabilità in due (o più) variabili non implica né la continuità né l’esistenza del piano tangente.
Ø Gradiente: è il vettore delle sue derivate parziali ∇f x
( )
= ∂x∂f1
x
( )
, ∂x∂f2
x
( )
,…, ∂x∂fn
x
⎛
( )
⎝⎜
⎞
⎠⎟. Ø Differenziabilità: sia
f : A ⊆
n→
conA
aperto e siax
0 ∈A
. Diremo chef
è differenziabilein
x
0
se esiste il limitelim
h
→0
f x
0+ h
( ) − f x ( )
0− ∇f x ( )
0⋅ h
h = 0
.§ Caso
n = 2
:f
è differenziabile in( x
0, y
0)
se esiste il limiteh, k
lim
( )→ 0,0( )
f x (
0+ h, y
0+ k ) − f x ⎧ ⎨ (
0, y
0) + ∂ ∂x f ( x
0, y
0) h + ∂ ∂y f ( x
0, y
0) k
⎩
⎫ ⎬
⎭
h
2+ k
2= 0
.§ Osservazione: dimostrare la differenziabilità con la definizione risulta abbastanza noioso, fortunatamente c’è una condizione sufficiente (ma non necessaria) di differenziabilità à se le derivate parziali di
f
esistono e sono continue in un intorno dix
0
, alloraf
è differenziabile inx
0
.Ø Differenziale: se
f
è differenziabile inx
0
, si dice differenziale dif
calcolato inx
0
la funzione linearedf x
0( ) :
n→
definita dadf x
0( ) : h ∇f x ( )
0⋅ h
.Ø Piano tangente (caso bidimensionale): siano
f : A ⊆
2→
conA
aperto e( x
0, y
0) ∈A
in cuif
sia differenziabile, alloraz = f x (
0, y
0) + ∂x ∂f ( x
0, y
0) ( x − x
0) + ∂f ∂y ( x
0, y
0) ( y − y
0)
èl’equazione del piano tangente in
( x
0, y
0)
.Ø Derivata direzionale: siano
f : A ⊆
n→
conA
aperto e siax
0 ∈A
ev
un versore. Si dice derivata direzionale dif
rispetto al versorev
, nel puntox
0
, il limiteDvf x0
( )
= limt→0f x0 + tv
( )
− f x( )
0t purché esista finito.
Mattia Natali
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§ Osservazione: grazie al teorema della formula del gradiente che vedremo più avanti possiamo dire che la derivata direzionale è anche il prodotto scalare del gradiente con il versore à
D
vf x
0( ) = ∇f x ( )
0⋅ v
.Ø Classi: diremo che una funzione
f : A ⊆ →
, conA
aperto, è di classeC
k( ) A
se tutte le derivate parziali fino all’ordinek
esistono e sono continue inA
.Ø Multiindice: chiamiamo multiindice (a
n
componenti) ognin
-‐upla di interi non negativiα = α (
1, α
2,…,α
n)
. L’interoα = α
1+ α
2+…+ α
n si chiama altezza del multiindiceα
à data una funzionef ∈C
k( ) A
si pone allora, seα ≤ k
,D
αf x
( ) = ∂x ∂f
α( ) x = ∂
αf x ( )
∂
x1 α1∂
x2α2
…∂
xnαn per ogni
x ∈A
. Il numeroα
è l’ordine della derivata.§ Nota: la notazione multiindice presuppone che l’ordine in cui eseguiamo le derivate sia indifferente (teorema di Schwarz).
Ø Differenziale secondo: se
f ∈C
2( ) A
ex
0 ∈A
, si dice differenziale secondo dif
inx
0
lafunzione
d
2f x
0( ) :
n→
definita dad
2f x
0( ) : h ∂x ∂
2f
i
∂
j x
0( ) h
ih
jj=1
∑
n i=1∑
n . Per il casobidimensionale il gradiente assume la forma:
d2f x
(
0, y0)
= fxx(
x0, y0)
h2+ 2 fxy(
x0, y0)
hk+ fyy(
x0, y0)
k2.§ Matrice hessiana: i coefficienti
∂
2f
∂x
i∂
jx
0( )
che compaiono nel differenziale secondo possono essere ordinati in una matricen × n
detta matrice hessiana dif
inx
0
. Sef
è una funzionedi due variabili Hf
(
x0, y0)
= fxx(
x0, y0)
fxy(
x0, y0)
fyx
(
x0, y0)
fyy(
x0, y0)
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟. Per il teorema di Schwarz (si veda
più avanti), se
f
è di classeC
2( ) A
la matrice hessiana è simmetrica in ogni punto diA
.µ Teoremi:
Ø Teorema di Weierstrass: Sia
E ⊂
n un insieme chiuso e limitato ef : E →
sia continua.Allora
f
ammette massimo e minimo inE
.Ø Teorema degli zeri: Sia
E
un insieme connesso di
n ef : E →
sia continua. Sex
,y
sono due punti diE
tali chef x
( ) > 0
ef y ( ) < 0
, allora esiste un terzo puntoz
∈E
in cuif
si annulla. In particolare, lungo ogni arco di curva continua (contenuto inE
) che congiungex
e
y
, c’è almeno un punto in cuif
si annulla.Ø Teorema condizione sufficiente di differenziabilità: siano
f : A ⊆
n→
, conA
aperto ex
0 ∈A
. Supponiamo che le derivate parziali dif
esistano in un intorno dix
0
e siano continue inx
0
. Alloraf
è differenziabile inx
0
. In particolare, se le derivate parziali dif
esistono e sono continue in tuttoA
, alloraf
è differenziabile in tutti i punti diA
.Ø Teorema formula del gradiente: sia
f : A →
conA
aperto in
n,f
differenziabile inx
0 ∈A
. Allora per ogni versorev
esiste la derivata direzionaleD
vf x
0( )
e vale l’identità:Mattia Natali
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D
vf x
0( ) = ∇f x ( )
0⋅ v = ∂x ∂f
i
x
0( ) v
ii=1
∑
n . Tutte le derivate direzionali risultano così combinazione lineare delle derivate parziali.§ Corollario (direzioni di massima e minima crescita): sia
f : A →
conA
aperto in
n,f
differenziabile inx
0 ∈A
. Allora il vettore∇f x
0( )
indica la direzione (e il verso) di massimo accrescimento dif
, ossia la direzione corrispondente alla massima derivata direzionale;−∇f x
0( )
è la direzione corrispondente alla minima derivata direzionale. Nella direzione ortogonale al gradiente le derivate direzionali sono nulle.Ø Teorema di Schwarz: sia
f : A ⊆
n→
conA
aperto. Supponiamo che le derivate seconde mistef
xixj
, f
xjxi esistano in un intorno di un punto
x
0
e siano entrambe continue inx
0
; allora esse coincidono inx
0
. In particolare, se le derivate seconde mistef
xixj
, f
xjxi esistono e sono continue in
A
, allora esse coincidono in tuttoA
.§ Nota: Una funzione che ha tutte le derivate parziali seconde continue in un aperto
A
si dice di classeC
2( ) A
.Ø Formula di Taylor con il resto secondo Peano: sia
f ∈C
2( ) A
. Per ognix
0 ∈A
vale la formula:f x
0+ h
( ) = f x ( )
0+ ∂x ∂f
i
x
0( ) h
ii=1
∑
n+ 1 2 ∂x ∂
2f
i∂x
jx
0( ) h
ih
ji, j=1
∑
n+ o h ( )
2 perh
→ 0
.§ Formula estesa di Taylor nel caso bidimensionale:
f x (
0+ h, y
0+ k ) = f x (
0, y
0) + ∂f ∂x ( x
0, y
0) h + ∂f ∂y ( x
0, y
0) k +
+ 1 2
∂
2f
∂x
2( x
0, y
0) h
2+ 2 ∂x∂y ∂
2f ( x
0, y
0) hk + ∂ ∂y
2f
2( x
0, y
0) k
2⎡
⎣ ⎢ ⎤
⎦ ⎥ + o h (
2+ k
2)
per( ) h, k → 0,0 ( )
.Ø Teorema di Fermat: sia
f : A ⊆
n→
, conA
aperto ex
0 ∈A
un punto di minimo o massimo locale perf
. Sef
è derivabile inx
0
, allora∇f x
0( ) = 0
. I punti in cui il gradiente di una funzionef
si annulla si dicono punti critici o stazionari.Ø Teorema moltiplicatori di Lagrange: siano
f , g ∈C
1( )
2 e( x
∗, y
∗)
punto di estremo vincolato perf
sotto il vincolog x, y ( ) = b
. Se( x
∗, y
∗)
è regolare per il vincolo, cioè∇g x (
∗, y
∗) ≠ 0,0 ( )
,allora esiste
λ
∗∈
(detto moltiplicatore di Lagrange) tale che:∇f x (
∗, y
∗) = λ
∗∇g x (
∗, y
∗)
.§ Osservazione: introducendo la funzione
Λ = Λ x, y, ( λ )
, detta Lagrangiana, definita da:Λ x, y,
( λ )
= f x, y( )
−λ
⎡⎣g x, y( )
− b⎤⎦, il teorema afferma che se( x
∗, y
∗)
è un punto di estremo vincolato, allora esisteλ
∗ tale che il punto( x
∗, y
∗, λ
∗)
sia punto critico libero perΛ
. Infatti i punti critici diΛ
sono soluzioni del sistemaΛ
x= f
x− λg
x= 0 Λ
y= f
y− λg
y= 0 Λ
λ= b − g = 0
⎧
⎨ ⎪
⎩ ⎪
. La teoria sviluppataindica il seguente modo di procedere, noto come metodo dei moltiplicatori di Lagrange:
• Si isolano gli eventuali punti non regolari dell’insieme
g x, y ( ) = b
, che vanno esaminati a parte;• Si cercano i punti critici liberi della Lagrangiana, trovando le soluzioni del sistema appena scritto;
Mattia Natali
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• Si determina la natura dei punti critici, facendo uso anche del teorema di Weierstrass.