Calcolo delle derivate ed applicazioni (di Cinzia Cerroni) Introduzione

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Calcolo delle derivate ed applicazioni (di Cinzia Cerroni)

Introduzione

Il modulo è rivolto ad una V Liceo Scientifico. La durata prevista è di 20 ore comprese le verifiche.

I contenuti del modulo sono presentati sotto forma di “Concetti Base” e “Concetti Organizzatori” e vengono presentati in base a “Situazioni”. Ogni situazione viene confrontata con la mappa degli esiti di formazione della presente programmazione, in modo da permettere al docente, in fase di verifica dell’acquisizione delle competenze acquisite (per competenze si intendono le capacità globali che l’allievo deve acquisire), una corretta valutazione e certificazione di tali competenze, in base alle situazioni trattate nel modulo.

È importante notare che la struttura stessa del modulo permette la trattazione delle varie situazioni in maniera non sequenziale, in modo da poter effettivamente svolgere quell’insegnamento per temi che è stato da tempo ormai inserito nelle direttive ministeriali.

Tutte le lezioni sono svolte in modo interattivo e con la partecipazione diretta degli studenti.

La metodologia usata è:

1. Lezione dialogata, uso di mappe concettuali, diagrammi di flusso e schemi a blocchi;

2. sviluppo dei concetti tramite il problem solving;

3. applicazione dei concetti acquisiti tramite ulteriori esercizi svolti alla lavagna.

Competenze

C1. Conoscere e saper applicare correttamente i meccanismi operativi e le tecniche del calcolo.

C2. Riuscire ad estrapolare le regole.

C3. Saper applicare in modo corretto le regole.

C4. Coordinare ed integrare i concetti acquisiti con le nuove conoscenze.

C5. Saper applicare i concetti acquisiti nel contesto operativo specifico.

C6. Riuscire ad enucleare i concetti essenziali.

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C7. Comprendere i legami tra algebra e geometria.

C8. Conoscere la simbologia.

C9. Saper collocare un concetto nel settore di appartenenza.

C10. Saper inventare e ricercare connessioni e correlazioni.

C11. Saper condurre un ragionamento analitico con rigore logico.

C12. Saper cercare percorsi alternativi.

Esiti di formazione

a) Saper calcolare le derivate delle funzioni facendo uso della definizione di derivata;

b) Conoscere e saper calcolare le derivate delle funzioni elementari;

c) Conoscere le regole di calcolo delle derivate;

d) Saper calcolare le derivate delle funzioni mediante le regole di calcolo;

e) Riconoscere una funzione composta;

f) Conoscere la regola di derivazione della funzione composta;

g) Saper calcolare le derivate delle funzioni composte;

h) Riconoscere la funzione inversa di una funzione data;

i) Conoscere la regola di derivazione della funzione inversa;

j) Saper calcolare la derivata di una funzione inversa di una funzione data;

k) Saper applicare il significato geometrico della derivata;

l) Conoscere la definizione di crescenza e decrescenza per una funzione;

m) Saper riconoscere una funzione crescente ed una funzione decrescente;

n) Conoscere la relazione esistente tra la crescenza e la decrescenza di una funzione derivabile ed il segno della derivata prima.

o) Conoscere la definizione di punto di massimo e di minimo relativo.

p) Saper trovare i punti di massimo e di minimo per una funzione derivabile.

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q) Saper interpretare la derivata seconda di una funzione come indicatore dell’andamento tendenziale;

r) Conoscere la definizione di concavità del grafico di una funzione;

s) Saper individuare in un grafico gli intervalli in cui la concavità è verso l’alto e quelli in cui è verso il basso;

t) Conoscere la relazione esistente tra concavità del grafico di una funzione derivabile ed il segno della derivata seconda.

u) Conoscere la definizione di punto di flesso di una funzione;

v) Saper trovare i punti di flesso di una funzione due volte derivabile.

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Relazioni Situazioni/Concetti

Situazione Concetti Base Concetti Organizzatori S1

Calcolo della derivata

delle funzioni, a, x, ax + b.

Variabile, costante, funzione, limite, incremento.

Definizione di derivata di una funzione.

S2

Calcolo della derivata delle funzioni, x , ²

x ,3 x ,…., ⁴ x . ⁿ Calcolo della derivata delle funzioni

, x3

x e ⁴ x . Generalizzazione a

n . x

Variabile, funzione, limite, incremento, potenze, potenze di un binomio.

Divisione tra polinomi.

S3

Calcolo della derivata della funzione ax + ³ bx ed analoghe. ²

Variabile, costante, polinomi, limite, incremento.

Combinazione lineare di funzioni.

Algebra dei limiti.

S4

Dimostrazione della regola di derivazione della funzione af(x) + bg(x).

Variabile, costante, funzione, limite, incremento.

Combinazione lineare di funzioni.

Algebra dei limiti.

S5

Calcolo delle derivate del prodotto di alcune funzioni e

generalizzazione.

Variabile, funzione, limite, incremento.

Algebra dei limiti

S6

Calcolo delle derivate del rapporto di alcune funzioni e

generalizzazione.

Variabile, funzione, limite, incremento

Algebra dei limiti

S7

Calcolo della derivata della funzioni senx, cosx, tagx, cotgx.

Funzioni goniometriche, rapporto di funzioni.

Regole di calcolo delle derivate.

S8

Calcolo della derivata, di alcune particolari funzioni composte di due funzioni, facendo uso della definizione.

(senx², senx,….).

Dimostrazione nel caso generale.

Generalizzazione alle funzioni composte di più funzioni.

Funzione, funzione composta.

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S9

Calcolo della derivata di particolari funzioni inverse, facendo uso della definizione.

(arcsenx, arccosx,…).

Dimostrazione nel caso generale.

Funzione, funzione inversa.

Algebra dei limiti

S10

Enunciato e

significato geometrico del teorema di Lagrange.

Funzione, incremento, coefficiente angolare di una retta.

Significato geometrico della derivata.

S11

Dimostrazione della relazione esistente tra la crescenza e la decrescenza di una funzione derivabile ed il segno della derivata prima, come

applicazione del teorema di Lagrange.

Funzione, incremento, coefficiente angolare di una retta, crescenza, decrescenza.

S12

Definizione di punti di massimo e di minimo relativi. Esempi di funzioni note. (senx, cosx, parabola…)

Funzione, intorno. Confronto tra valori assunti da una funzione.

S13

Condizione necessaria perché un punto sia di massimo o di minimo, e criteri per

determinarli.

Funzione, incremento, coefficiente angolare di una retta, crescenza e decrescenza.

S14

Grafico della parabola e della funzione modulo.

Definizione di concavità di una funzione continua, esempi grafici.

Funzione, intorno, retta, retta tangente alla funzione in un punto.

Intersezione tra una curva ed una retta.

S15

Grafico della cubica x3

y= , definizione di punto di flesso.

Funzione, intorno, retta, retta tangente alla funzione in un punto.

Intersezione tra una curva ed una retta.

S16

Dimostrazione grafica della relazione esistente tra la concavità di una funzione due volte derivabile ed il segno della derivata seconda.

Funzione, incremento, retta tangente alla funzione in un punto.

Definizione di derivata seconda di una funzione.

Relazione che intercorre tra la crescenza/decrescenza di una funzione ed il segno della derivata prima.

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S17

Grafico della funzione x5

y= .Criteri per determinare i punti di flesso di una funzione.

Grafico della funzione cubica, della sua derivata prima e della sua derivata seconda.

Esempi vari.

Funzione, incremento. Definizione di derivate successive.

Definizione di punto di flesso.

Verifica Formativa

La verifica formativa è effettuata all’interno di ogni situazione. Infatti, gli studenti sono direttamente partecipi, i concetti si introducono con la metodologia del problem solving, si fanno domande dal posto e si mandano gli studenti alla lavagna. Inoltre, alla fine di ogni situazione, i ragazzi sono mandati alla lavagna ad esercitarsi, e si chiede ad i ragazzi dal posto di dettare e di inventare esercizi per i compagni.

Verifica Complessiva

La verifica complessiva è effettuata alla fine del modulo. Consiste sia di interrogazioni orali, sia di compiti scritti, sia di un test. Le interrogazioni ed i compiti scritti sono stati svolti e programmati con il tutor. Il test è corredato di una mappa che indica quesito per quesito quali esiti possono essere verificati.

Valutazione: corrispondenza tra voti e livelli di apprendimento

Apprendimento nullo : voto 1/2 “ scarso: voto 3

“ insufficiente: voto 4 “ liev. Insuffi: voto 5 “ sufficiente: voto 6 “ discreto: voto 7 “ buono voto 8 “ distinto voto 9 “ ottimo voto 10

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Mappa di Riferimento Situazioni/Esiti

a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v

S1 × × ×

S2 × ×

S3 × × ×

S4 × × ×

S5 × × ×

S6 × × ×

S7 × × × ×

S8 × × × × ×

S9 × × × × × ×

S10 ×

S11 × × × ×

S12 ×

S13 × × × × ×

S14 × ×

S15 × × ×

S16 × × × ×

S17 × × × × × ×

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Indicazioni relative alle situazioni proposte

S1

L’obiettivo principale della situazione proposta far comprendere agli studenti la derivata di una funzione costante, la derivata della funzione y = x, ed una loro combinazione lineare. La metodologia usata è la lezione interattiva, ed il problem solving.

S2

Obiettivo principale della situazione proposta è la deduzione e la dimostrazione della regola di derivazione della funzione x , ⁿ n∈N. Si procede in più passi. Prima, la si dimostra in casi particolari, e dopo aver fatto dedurre la regola, si procede alla dimostrazione nel caso generale. In seguito la si estenderà al caso di esponente reale, e si farà dedurre la regola di derivazione della radice n-sima. La metodologia utilizzata è la lezione interattiva ed il problem solving. Si mandano sempre studenti alla lavagna durante la lezione.

S3

Obiettivo principale della situazione proposta è quello di arrivare a dedurre la regola di derivazione della combinazione lineare di funzioni. Durante il calcolo del limite del rapporto incrementale di funzioni polinomiali, si farà notare che il rapporto incrementale si può scrivere come somma dei rapporti incrementali delle singole potenze, e che le costanti si portano fuori dall’operazione di limite.

S4

La metodologia usata è la lezione interattiva ed il problem solving. Si suppone che gli studenti deducano da soli la regola, e siano in grado di dimostrarla.

S5/S6

La metodologia utilizzata è la lezione interattiva ed il problem solving.

Saranno mandati alla lavagna anche gli studenti. La tecnica è sempre quella di passare dal caso particolare al generale. Prima con esempi concreti e poi con la dimostrazione della regola in generale.

S7

L’obiettivo principale della situazione proposta è quello di dedurre le regole di derivazione delle funzioni goniometriche e di saper applicare la regola di derivazione del rapporto di funzioni. La metodologia usata è quella del problem solving e della lezione interattiva. Gli studenti parteciperanno attivamente andando alla lavagna.

S8

La metodologia usata è il problem solving e la lezione interattiva. Si inizia con il calcolo della derivata di alcune funzioni composte come limite del rapporto incrementale. Successivamente, si calcola il limite del rapporto incrementale di queste funzioni, ripercorrendo nel caso particolare, la dimostrazione generale. In modo da evidenziare che si ottiene il prodotto del limite di due rapporti incrementali. Quindi, si fa emergere la regola generale e la si dimostra. Si calcolano alcune derivate di particolari funzioni composte, sempre in modo interattivo e si fanno andare gli studenti alla lavagna ad esercitarsi. In seguito, si chiede loro come deriverebbero la funzione composta di più funzioni, dedotta la regola la si dimostra.

S9

La metodologia usata è il problem solving e la lezione interattiva. Si calcola il limite del rapporto incrementale di alcune funzioni, ripercorrendo nel caso particolare, la dimostrazione generale. In seguito, la si dimostra nel caso generale. Saranno mandati gli studenti alla lavagna.

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S10

La metodologia usata è la lezione frontale. Si illustrerà il significato geometrico del teorema di Lagrange con esempi grafici.

S11

La metodologia usata è la lezione interattiva. Dopo aver dimostrato la relazione che intercorre tra la crescenza e la decrescenza ed il segno della derivata, si portano esempi di funzioni derivabili, crescenti e decrescenti, evidenziando la posizione della retta tangente nei punti, per evidenziare il significato geometrico della condizione di crescenza e di decrescenza.

S12

La metodologia utilizzata è la lezione interattiva ed il problem solving. Si chiederà agli studenti di produrre loro stessi esempi di funzioni che hanno punti di massimo e di minimo relativi, tra le funzioni che già conoscono.

S13

La metodologia usata è la lezione interattiva ed il problem solving. Si farà dedurre agli studenti la condizione necessaria perché un punto di una funzione derivabile sia di massimo o di minimo relativo, usando il significato geometrico della derivata e la conseguente posizione della retta tangente ad una curva. Si sottolineerà che è solo una condizione necessaria, portando esempi di punti di flesso a tangente orizzontale. Si spiegheranno poi i criteri per determinarli.

S14

La metodologia usata è la lezione interattiva. Si disegnano la parabola e la funzione modulo, e si introduce il concetto di concavità in modo grafico.

S15

La metodologia usata è la lezione interattiva ed il problem solving. Si disegnerà insieme agli studenti il grafico della cubica y=x³, facendo notare loro che nell’origine ha un punto di flesso e contemporaneamente si darà la definizione rigorosa.

S16

La metodologia usata è la lezione interattiva ed il problem solving. Si ricorderà agli studenti il legame tra la crescenza e la decrescenza di una funzione e la derivata prima, ed il fatto che la derivata prima è il coefficiente angolare della retta tangente, in seguito graficamente si farà notare che se la funzione rivolge la concavità verso l’alto, il coefficiente angolare delle rette tangenti cresce, e conseguentemente la derivata seconda dovrà essere positiva.

S17

La metodologia usata è la lezione interattiva ed il problem solving. Si partirà dal grafico della funzione y =x⁵, e dalle sue derivate successive calcolate nell’origine, e si dedurranno i criteri per determinare i punti di flessi, ed il criterio delle derivate successive. Si faranno andare i ragazzi alla lavagna ad esercitarsi. Si faranno poi confrontare i grafici della cubica, della sua derivata prima e della sua derivata seconda per far capire il legame grafico tra esse.

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Test

Rispondere ai seguenti quesiti. Accanto ad ogni domanda sono riportati i punteggi corrispondenti.

La sufficienza è raggiunta se si ottiene la totalità di 12 punti.

T1. Dimostrare che la derivata della funzione cosx è –senx. (1)

T2. Dimostrare che la derivata della funzione x è ⁷ 7x (1,5) ⁶.

T3. Calcolare la derivata della funzione

x senx

log

2

. (1)

T4. Calcolare la derivata della funzione ^sen

(

^log ^x³

)

^. (1) T5. Dimostrare che la derivata dell’arctanx è .

1 1

x2

+ (2,5)

T6. Fare un esempio di una funzione (che non sia la retta) sempre crescente o sempre decrescente (a scelta) e dimostrarlo. (3,5)

T7. Fare un esempio di funzione che rivolge sempre la concavità verso l’alto (o verso il basso a scelta) e dimostrarlo.(3,5)

T8. Disegnare il grafico della funzione y =x³ −3x² −x+3, della sua derivata prima e della sua derivata seconda, segnalando la relazione tra i grafici. (3,5)

T9. Dire che tipo di punto ha nell’origine la funzione y= x⁸ −1, dimostrarlo e scrivere la retta tangente in tale punto. (2,5)

Calcolo delle derivate ed applicazioni (di Cinzia Cerroni) Introduzione