QUADERNO 1 E – 2019/2020 SETTIMANA 4 CONCETTO (PRIMITIVO) DI INSIEME In matematica, con la parola “

(1)

QUADERNO 1 E – 2019/2020

SETTIMANA 4 CONCETTO (PRIMITIVO) DI INSIEME

In matematica, con la parola “insieme” si intende una raccolta, una collezione, un raggruppamento di “elementi”, che abbiano una qualche caratteristica in comune che possa essere riconosciuta in modo oggettivo. Non si tratta di una definizione, ma di un concetto primitivo, come il numero e come i punti della geometria.

ESERCIZIO n.1 pag.213

Le città più importanti d'italia formano un insieme? E quelle capoluogo di regione?

Risposta:

Le città più importanti d'Italia non formano un insieme perché manca un criterio oggettivo per determinarle. Le città capoluogo di regione invece sono determinate per legge in modo inequivocabile.

NOTAZIONE

Solitamente gli insiemi si indicano con lettere maiuscole e gli elementi con lettere minuscole. La scrittura a∈A si legge “a appartiene ad A”

Per rappresentare gli insiemi si possono usare due diversi approcci.

DEFINIZIONE

L'insieme si dice rappresentato in forma estensiva se elenco i suoi elementi; si dice rappresentato in forma intensiva se descrivo una proprietà caratteristica dei suoi elementi

[pag.179 vol. Algebra 1]

ESEMPI

Per descrivere l'insieme degli alunni di una classe non ho altro modo che elencarli uno per uno (forma estensiva).

Se invece volessi descrivere l'insieme dei numeri pari mi sarebbe impossibile elencarli (visto che sono infiniti), devo quindi descrivere la loro proprietà caratteristica, ovvero che sono i numeri naturali multipli di 2.

Utilizzando una scrittura formale per l'insieme dei numeri pari: {n∈ℕ∣n=2 k ∧k ∈ℕ} ; in forma simbolica abbiamo scritto che l'insieme dei numeri pari è l'insieme formato dai numeri naturali n

“tali che” (linea verticale) n=2 k “e” (la V rovesciata) k numero naturale qualsiasi.

Con i diagrammi di Eulero-Venn possiamo dare una rappresentazione di tipo grafico che ci sarà d'aiuto per poter ragionare sulle operazioni tra gli insiemi.

(2)

Individuare la proprietà caratteristica degli elementi dell'insieme {3 1

; 4

2

; 5

3

; 6

4

;...}

e darne una rappresentazione in forma intensiva.

Risposta:

Si nota abbastanza facilmente che in queste frazioni la differenza tra numeratore e denominatore è sempre 2. Quindi potremmo rappresentare l'insieme in questo modo:

{x∈ℚ: x= n+2

n

∧n∈ℕ∧n≥1}

Rappresentare in modo estensivo l'insieme {x∈ℤ : x²<8}

Risposta:

I quadrati di interi minori di 8 sono soltanto 0, 1 e 4, non dobbiamo comunque dimenticare i numeri negativi, quindi possiamo rappresentare l'insieme in questo modo: {−2 ;−1; 0 ;1; 2}

DEFINIZIONI

Due insiemi si dicono uguali se hanno gli stessi elementi. Si scrive semplicemente A= B L'insieme privo di elementi si dice insieme vuoto. Si indica con ∅ o anche con ϕ . L'insieme di tutti gli elementi si dice insieme universo.

Si dice che A è sottoinsieme di B se ogni elemento di A appartiene anche a B. Si scrive: A⊂B Un sottoinsieme di A si dice proprio se è diverso da A e dall'insieme vuoto.

Si dice insieme delle parti di A l'insieme che ha come elementi tutti i possibili sottoinsiemi di A.

[pag.180-181 vol. Algebra 1]

Scrivere due parole le cui lettere formino rispettivamente due insiemi A e B tali che

A⊂B

. Risposta:

Potremmo provare con la parola “matematica”, utilizzando le lettere di questa parola potremmo scrivere altre parole come “tema”, “cima”, “meta”, “mamma” e forse qualcun'altra.

Prendiamo “mamma” per la quale occorrono soltanto due lettere:

A={a ;m}

^;

Le lettere della parola matematica costituiscono l'insieme

B={m ; a ; t ;e ;i ;c}

. Tali insiemi soddisfano le condizioni richieste.

DEFINIZIONI: OPERAZIONI CON GLI INSIEMI Consideriamo due insiemi A e B.

L'unione di A e B è l'insieme che contiene tutti gli elementi di A e tutti gli elementi di B.

A∪B={x : x∈A∨x∈B}

L'intersezione di A e B è l'insieme che contiene gli elementi che appartengono sia ad A che a B.

A∩B={x : x∈A∧x∈B}

La differenza A meno B è l'insieme che contiene gli elementi che appartengono ad A ma che non appartengono a B.

A−B={x : x∈A∧x∉B}

Il complementare di A è l'insieme che contiene tutti gli elementi che non appartengono ad A A={x : x∉A}

(3)

ESERCIZI pag. 217 dal 58 al 63

Si tratta di esercizi a risposta chiusa (“a crocette”) del tipo vero/falso n.58

a. vero;

b. falso, perché è sbagliata la notazione: il simbolo “forchettina” si riferisce alla relazione elemento/insieme mentre il simbolo “U sdraiata” si riferisce alla relazione sottoinsieme/insieme.

c. vero

d. falso, per la stessa motivazione scritta sopra.

n.59

a. falso (nella figura si vede che l'elemento c sta fuori dall'insieme C);

b. vero;

c. vero;

d. vero;

e. vero.

n.60

a. falso (è sbagliata la notazione, o cambiamo la “forchettina” con la “U sdraiata”, oppure cancelliamo le parentesi graffe);

b. vero;

c. vero;

d. falso (è sbagliata la notazione, occorre cambiare la “forchettina” con la “U sdraiata”);

e. vero.

n.61 a. vero;

b. falso (è sbagliata la notazione) c. vero;

d. vero;

e. vero.

n.62

a. falso ( a sinistra c'è l'insieme contenente come unico elemento l'insieme vuoto, a destra c'è un insieme che fra i suoi elementi non ha l'insieme vuoto);

b. falso (stessa motivazione scritta sopra);

c. vero, ma semplicemente perché l'insieme vuoto è e contenuto in qualunque altro insieme e non perché a destra vedo l'insieme che ha come unico elemento l'insieme vuoto.

d. vero, come detto sopra l'insieme vuoto è contenuto in qualunque insieme.

n.63 a. vero;

b. vero;

c. vero;

d. falso, l'insieme delle parti di A è l'insieme di tutti i sottoinsiemi di A ma non contiene gli elementi di A.

e. falso, un sottoinsieme di A è un elemento dell'insieme delle parti di A, quindi bisognava usare la

“forchettina”;

f. vero;

g. vero.

(4)

ESERCIZI pag.218 dal 64 al 67

66

A={3,6 ,9}

B={2,4 ,6}

A∩B={6}

A∪B={2,3 ,4 ,6,9}

67

A={2,4,10 ,12 ,20 ,24}; B={2,4};C={6,12 ,14,24 } A∪B={2,4 ,10 ,12 ,20,24}; B∪C={2,4,6 ,12 ,14 ,24}

A∪C={2,4 ,6 ,10 ,12 ,14,20 ,24}

A∩B={2,4}; B∩C =∅ ; A∩C ={12,24}

(B∩C)∪C={6,12,14 ,24}

(5)

Dati gli insiemi

A={0 ;1 ;2}

,

B={1 ;2 ;3 ; 4}

,

C={1; 3;5}

determinare gli insiemi

A∪(B∩C )

,

B∪( A∩C )

,

A∩(B∪C )

,

C∩( A∪B)

.

Risposta:

Ci conviene osservare, come passaggio intermedio, che

B∩C={1 ;3}

e

A∩C ={1}

. Detto questo possiamo soddisfare le richieste.

A∪(B∩C)={0 ;1 ; 2 ;3}

B∪( A∩C )={1 ; 2 ;3 ;4}=B A∩(B∪C)={1 ;2}

C∩( A∪B)={1 ;3}

ESERCIZI pag.221 n.106,107,108

a. vero b. vero

c. falso, B∩C={d , p}

d. falso, C={d , h ,i , m , n , p } n.107

a. vero

b. falso, A∪B={a ,b , c , d , n , g , p}

c. vero d. vero n.108

a. falso, (A∪B)∪C ={a , b , c , d , h , i , m , n , g , p }

b. falso, la scrittura corretta è {d }=A∩B∩C (con le parentesi graffe per indicare l'insieme costituito dal solo elemento d.

c. vero d. vero

ESERCIZIO pag. 221 n.111

Dato un insieme non vuoto A, deduci le caratteristiche dell'insieme X

Relazione tra A e X X Relazione tra A e X X

A∩X = X X ⊆A A∪X = X A⊆X

A∩X = A A⊆X A∪X = A X ⊆A

A∩X =∅ X ⊆A A∪X =∅ X =∅

A∩∅= X X =∅ A∪∅= X X =A

X ∩ X =A X =A X ∪ X =A X =A

ESERCIZI pag.225 dal 166 al 170

(6)

a. falso, la definizione “gli studenti alti” è troppo generica, non è oggettiva.

b. vero c. vero

d. falso, esiste solo un insieme vuoto.

n.167

a. falso, i sottoinsiemi possibili sono molti di più.

b. vero

c. falso, basti pensare all'intersezione dell'insieme dei numeri pari con l'insieme dei numeri dispari.

d. falso, B potrebbe essere anche un sottoinsieme di A.

e. vero n.168

a. falso, se B fosse vuoto sarebbe vuota anche l'intersezione, casomai A è sottoinsieme di B.

b. vero c. vero

d. falso, se l'intersezione non è vuota il numero totale degli elementi è minore di 8.

e. falso, se l'intersezione non è vuota gli elementi da togliere sono meno di 7.

n.169 a. vero

b. falso, se a∈A−B allora a∉B . c. vero

d. vero n.170 a. vero

b. falso, è sbagliata la notazione.

c. vero d. vero

e. falso, casomai A∪B= B f. falso, casomai A∩B= A ESERCIZIO n.119 pag.222

Considerando ℕ come insieme universo, determinare il complementare dell'insieme

A={x∈ℕ : x>4}

e rappresentarlo sia in modo estensivo che in modo intensivo.

Risposta:

A è l'insieme dei numeri naturali maggiori di 4, quindi

A={0 ;1 ;2 ;3 ; 4}={x∈ℕ: x≤4}

. ESERCIZI Pag. 228 dal 187 al 196

Si tratta di domande a risposta chiusa (“a crocette”). Le giustificazioni che ho scritto sono anche una sorta di indicazione su come ragionare nel modo più veloce possibile (almeno secondo me).

n.187 risposta b

Basta osservare che 3×0+1=1 e già elimino le risposte c e d;

poi osservo che 3×1+1=4 ;3×2+1=7 ;3×3+1=10 e quindi la risposta giusta è la b.

n.188 risposta c

(7)

Si osservi che considerando n=0 possiamo escludere la risposta d, visto che è l'unica in cui il primo elemento non è 4 ma 1.

Considerando n=1 possiamo escludere anche la risposta a, che mi dà come elemento 5 che non fa parte dell'insieme A.

Se la giocano b e c, la cui unica differenza sta nel numero di elementi, se ci fate caso l'insieme descritto alla risposta b ha soltanto 3 elementi corrispondenti a n=0;n=1;n=2, mentra alla risposta c posso prendere anche n=3 e quindi ho i quattro elementi di A.

n.189 risposta d

Scorrendo velocemente le quattro risposte possiamo notare che nella a c'è anche 11 e non ci deve essere; nella b e nella c c'è anche 9 che non è prima, e quindi, anche soltanto per esclusione, la risposta giusta è la d.

In questo caso occorre una conoscenza non matematica: il significato della parola “sillaba” (suono emesso con unica emissione di voce) e quindi le sillabe “ca” e “car” sono sillabe diverse. L'unico insieme che le contiene entrambe è alla risposta b.

Avendo presente la definizione di unione si va subito a cercare la risposta “non più di 12”. Infatti se i due insiemi hanno intersezione vuota, la loro unione conterrà i 12 elementi, se invece l'intersezione non è vuota, vuol dire che ci sono degli elementi in comune, e quindi il totale sarà minore di 12.

Anche in questo caso, andiamo direttamente a cercare la risposta “non più di 5”, avendo bene a mente la definizione di intersezione. Gli elementi in comune non potranno essere in numero superiore agli elementi dell'insieme più piccolo.

Vado subito a cercare l'insieme con gli articoli determinativi e ce ne è soltanto uno alla risposta b.

Non importa fare altro, dato che nella differenza descritta ci stanno gli articoli che non sono note, (praticamente è stato tolto soltanto “la”).

La risposta a la escludo subito perché il 6 è proprio uno degli elementi da togliere, e per lo stesso motivo escludo la c. Nello risposta d vedo altri due elementi che invece dovevano essere tolti e quindi, anche solo per esclusione posso fare la crocetta su b.

n.195 risposta c

Guardo la figura e cerco le risposte con “B meno qualcosa”, quindi escludo b e d e mi concentro su a e c. Dò un'altra occhiata alla figura e mi rendo conto che sono state tolte completamente le parti di A e di C , ovvero è stata tolta l'unione di A e C. Dunque crocetta su c.

n.196 risposta d

Prima di tutto il prodotto cartesiano descritto deve avere 6 elementi e così in modo immediato escludo le risposte a e b. Inoltre le coppie del prodotto cartesiano sono coppie orientate e gli elementi 0,1,2 devono stare al posto di sinistra. Dunque crocetta su d, senza neanche guardare le coppie una per una.

ESERCIZIO pag.228 n.197

(8)

Sono dati gli insiemi A={1,5 ,10}; B={2,4 ,6 ,10} .

Determinare gli insiemi A−B ; B−A ; A∪B ; A∩B ;C_{A∪ B}B . Verificare che A−B=CA∪BB

Risposta:

A−B={1,5}

B− A={2,4,6}

A∪B={1,2 ,4,5 ,6 ,10}

A∩B={10}

C_A∪BB={1,5}

L'ultima notazione va intesa come “il complementare di B considerando insieme universo l'unione di A e B”. In effetti tale complementare coincide con la differenza tra A e B.

Dati gli insiemi A={m , n , p , q}; B={m , q , r ,t } , determina gli insiemi A−B ; B−A . Verifica che ^A−B=CA∪BB

Risposta:

A−B={n , p}

B−A={r ,t } C_A∪BB={n , p }

Come nell'esercizio precedente la differenza “A meno B” coincide con il complementare di B nell'universo dell'unione di A e B. In effetti il calcolo di entrambe le operazioni si svolge con le stesse modalità, ovvero togliendo da A gli elementi che appartengono a B.

Risposta:

In entrambi i casi, il risultato finale è qualcosa del genere:

Evidentemente D=E.

Per definire D ho tolto tutto B e tutto C ma poi ho di nuovo aggiunto l'intersezione di B e C.

Per definire E invece ho tolto l'unione di B e C mancante della loro intersezione. In entrambi i casi l'intersezione di B e C è rimasta.

(9)

Si tratta di associare ad ogni figura colorata la corrispondente scrittura formale.

a. L−S b. L∪S c. S −L

d. L∩S e. L f. S

g. L∪S h. L−S

Nelle figure in cui prevale la parte colorata, potrebbe essere comodo definire la parte bianca e poi passare al complementare.

A∪B insieme degli alunni che non praticano la pallacanestro o praticano il calcio

A∪B insieme degli alunni che non praticano il calcio o non praticano la pallacanestro A∩B idem

A∩B insieme degli alunni che non praticano né il calcio né la pallacanestro.

(10)

A∪B idem

A∩B Insieme degli alunni che praticano sia il calcio che la pallacanestro.

A∪B Insieme degli alunni che praticano il calcio o la pallacanestro.

A−B Insieme degli alunni che praticano la pallacanestro ma non in calcio

(11)

B−A insieme degli alunni che praticano il calcio ma non la pallacanestro

ESERCIZIO pag. 229 n.202

a. (A−B)∪( B−A) b. B c. (A−B)∪(B−A)

d. [(A∩B)∪(B∩C )∪( A∩C )]−( A∩B∩C ) e. (A∩C)∪(B∩C ) f. (A∩B)−C

Conviene scrivere gli insiemi A e B in forma estensiva:

A={0,1 ,2,3}

B={3,2}

A questo punto risulta facile rispondere alla richiesta:

A∪B={0,1 ,2,3}

A∩B={2,3}

A−B={0,1}

B−A=∅

DEFINIZIONE

(12)

Dati due insiemi A e B si definisce il loro prodotto cartesiano come l'insieme di coppie ordinate che hanno come primo elemento un elemento di A e come secondo elemento un elemento di B.

NOTAZIONE

A× B={(a , b): a∈A∧b∈B}

OSSERVAZIONE

Gli elementi del prodotto cartesiano sono a loro volta dei piccoli insiemi di due elementi con una caratteristica in più: sono anche ordinati, ovvero c'è un primo elemento e c'è un secondo elemento.

Alla fine occorre ricordare che se a≠b allora anche (a ,b)≠(b , a) . OSSERVAZIONE

Il simbolo del prodotto cartesiano A× B è evidentemente ispirato dal “per” della moltiplicazione tra numeri. Attenzione però che se è vero che per la moltiplicazione tra numeri si possono usare altri simboli come il puntino, scrivere incognite attaccate e così via, per il prodotto cartesiano si usa soltanto il simbolo che somiglia ad una X maiuscola.

ESEMPI

Chi conosce già il “piano cartesiano” può avere l'esempio più utilizzato di prodotto cartesiano (non a caso sono entrambi cartesiani!). Nel caso specifico abbiamo A= B=ℝ .

Un esempio non numerico di prodotto cartesiano potrebbe essere questo: consideriamo A come insieme dei nomi e B come insieme dei cognomi, il prodotto cartesiano sarà l'insieme di tutti i possibili abbinamenti nome / cognome. Si noti anche l'importanza della coppia ordinata, visto che in Italia esistono parole che possono essere usate sia come nome che come cognome: (Franco, Ruggero) e (Ruggero, Franco) sono coppie diverse.

l'enunciato formale per arricchire l'esercizio.) ESERCIZIO n.204 pag.230

Dati gli insiemi

A={3 n+1∣n∈ℕ}

e

B={3 n+2∣n∈ℕ}

, determinare ℕ−(

A∪B)

. Risposta:

In classe ho utilizzato un metodo di scrittura formale leggermente diverso da quello utilizzato nel libro. Le descrizioni degli insiemi possono essere scritte come:

A={x∈ℕ: x=3n+1∧n∈ℕ}

B={x∈ℕ: x=3 n+2∧n∈ℕ}

Fatta questa precisazione dobbiamo essere in grado di leggere queste scritture e capire quali numeri naturali rimangono fuori da queste descrizioni.

Leggendo correttamente la scrittura formale ci rendiamo conto che l'insieme A è costituito dai numeri naturali che divisi per 3 hanno resto 1, mentre l'insieme B è costituito dai numeri naturali che divisi per 3 hanno resto 2. L'unione di A e B è l'insieme dei numeri naturali che divisi per 3 hanno resto diversi da zero. In conclusione, il complementare dell'unione di A e B è l'insieme dei numeri naturali che divisi per 3 hanno resto 0, ovvero l'insieme dei multipli di 3. Quindi:

ℕ−( A∪B)={x∈ℕ: x=3 n∧n∈ℕ}

(13)

Dati gli insiemi

A={a ,b}

e

B={b , c , d }

, determinare gli insiemi

A

²

∩( A×B)

^e

A×( A∩B)

e confrontare i risultati.

Risposta:

Precisiamo che la scrittura

A

²=

A× A

^.

Per ragionare meglio potremmo fare una tabella con gli elementi di

A

² e una con gli elementi di

A× B

.

A

²

A× B

(a , a) (b , a)

(a , b) (b ,b)

(a , b) (a , c) (a , d ) (b ,b) (b , c) (b , d )

Osservando la tabella ci rendiamo conto che

A

²

∩( A×B)={(a ,b),(b , b)}

Osserviamo adesso che

A∩B={b}

quindi risulta facile capire che

A×( A∩B)={(a ,b),(b , b)}

.

Confrontando i risultati scopriamo che

A

²

∩( A×B)= A×( A∩B)

, un'uguaglianza che somiglia molto alla proprietà distributiva dei numeri rispetto ad addizione e moltiplicazione.

ESERCIZIO n.206 pag.230 Consideriamo gli insiemi

A={x∈ℕ: x=2 n+1∧ x≤5∧n∈ℕ}

B={x∈ℕ: x= n+2

n−2 ∧3≤n≤6∧n∈ℕ}

Determinare gli insiemi

A∪B ; A∩ B ; A−B ; B−A

Risposta:

In questo caso è possibile descrivere gli insiemi in forma estensiva, semplicemente facendo i calcoli con le formule riportate.

A={1,3,5}

B={5,3,2}

Si noti che nel caso dell'insieme B al valore

n=5

corrisponderebbe

x= 7

3 che però non è un numero naturale e quindi non fa parte dell'insieme universo.

A questo punto è molto facile soddisfare le richieste:

A∪B={1,2,3 ,5}

A∩B={3,5}

A−B={1}

B− A={2}

(14)

Consideriamo gli insiemi

A={x∈ℕ:1≤x≤10}

B={x∈ A:15=n x∧n∈ℕ}

C={x∈ A: x=3 n∧n∈ℕ}

Rappresentare in modo estensivo gli insiemi

B∩C ; A−( B∪C )

Risposta:

In questo caso è possibile rappresentare tutti gli insiemi coinvolti in modo estensivo.

A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

B={1,3,5}

C={3,6,9 }

La prima richiesta è facilmente soddisfatta:

B∩C={3}

Per rispondere alla seconda richiesta osserviamo preliminarmente che

B∪C={1,3,5,6,9}

e di conseguenza

A−(B∪C )={2,4,7 ,8 ,10}

ESERCIZIO n.208 pag.230 Consideriamo gli insiemi

A={x∈ℕ: 4≤x

²

<25}

B={x∈ℕ: x= 2n+2

n−1 ∧(n=3∨n=5)}

Determinare gli insiemi

A∪B ; A∩ B ; A−B ; B−A

Risposta:

In questo caso possiamo rappresentare gli insiemi indicati anche in forma estensiva:

A={2,3,4}

B={4,3}

A questo punto è molto facile soddisfare le richieste:

A∪B={2,3 ,4}

A∩B={3,4}

A−B={2}

B− A=∅

Utilizzando il concetto di insieme, interpreta il significato delle frasi: “un numero pari è divisibile per 4”; “un numero divisibile per 4 è pari”. Le due affermazioni sono entrambe vere?

Risposta:

La prima frase “un numero pari è divisibile per 4” posso tradurla in termini insiemistici come

“l'insieme dei numeri pari è contenuto nell'insieme dei numeri divisibili per 4”. Tale affermazione è falsa, basti pensare a numeri come 2,6,10, etc.

La seconda frase “un numero divisibile per 4 è pari” posso tradurla in termini insiemistici come

“l'insieme dei numeri divisibili per 4 è contenuto nell'insieme dei numeri pari”. Tale affermazione è vera perché un numero divisibile per 4 è anche divisibile per 2.