Geometria Differenziale Esercizi 10
1 Una curva α : (a, b) → R3 ha unit speed e la sua traccia (cioè, immagine) è contenuta in una sfera di raggio 1 e centro l’origine. Dire se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera o falsa, giustificando brevemente le risposte:
(a)I vettori α e α′′ sono entrambi ortogonali al versore tangente α′. (b) La curvatura κ di α soddisfa κ á 1 in ogni punto.
(c)Se la torsione τ di α è identicamente nulla allora α è una geode- tica.
2 Una curva piana α(s) ha unit speed. Inoltre, esiste un punto P nel piano tale che la distanza tra P e la retta normale a α nel punto α(s) è uguale ad una costante d > 0.
(a) Se P è rappresentato dal vettore p, mostrare che p−α(s)
·α′(s) = ±d.
(b) Sia f (s) = κ2(s) > 0 la curvatura di α. Dedurre che
−1 + f (s) p−α(s)
·Jα′(s) = 0, f′(s) p−α(s)
·Jα′(s) − f (s)2 p−α(s)
·α′(s) = 0.
(c) Concludere che f (s) = (a+bs)−1/2 dovea, b sono costanti. Dare un esempio di una curva con questa funzione (di curvatura in termini di lunghezza).
3 Si consideri la superficie E , immagine della parametrizzazione y(u, v) = (v cos u, v sin u, u3), (u, v) ∈ R2. In che senso è diversa dal solito elicoide?
(a) Trovare i coefficienti E, F , G e il versore normale U.
(b) Calcolare e, f , g , la curvatura Gaussiana K e quella media H . (c) Descrivere l’immagine di E rispetto all’applicazione di Gauss.
